Ułamki zwykłe

Prostokąt podzielono na sześć równych części.

RYkyoP2HPBOS8

Ilustracja przedstawia sześć prostokątów, połączonych ze sobą krótszym bokiem. Pięć z sześciu prostokątów zacieniowano niebieskim kolorem.

Pokolorowano $\frac{5}{6}$ wszystkich części. Niezamalowana część to $\frac{1}{6}$ wszystkich części.
$\frac{5}{6}$ – czytamy: pięć szóstych,
$\frac{1}{6}$ – czytamy: jedna szósta.

Ułamek jest inną formą zapisu ilorazu dwóch liczb, z których dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Każdy z podanych ułamków zapiszemy jako iloraz.

$\frac{7}{8}=7:8$
$\frac{1}{16}=1:16$
$\frac{5}{9}=5:9$.

Każdy z ilorazów zapiszemy za pomocą ułamka.

$10:9=\frac{10}{9}$
$20:30=\frac{20}{30}$
$1:3=\frac{1}{3}$

Ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi jest równy $1$.

Zaznaczmy na osi liczbowej ułamki: $\frac{1}{4}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{8}{4}$, $\frac{10}{4}$.

Na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy na cztery równe części.

R1Qy8u9qh7LPG

Ilustracja przedstawia oś liczbową od zera do jedenastu czwartych, z podziałką co jedna czwarta. Zaznaczono punkt jedna czwarta, trzy czwarte, osiem czwartych i dziesięć czwartych.

Zauważmy, że ułamek $\frac{8}{4}$ odpowiada liczbie $2$, a ułamek $\frac{10}{4}$ to $2$ i $\frac{2}{4}$.
Możemy zapisać:
$\frac{8}{4}=2$,

$\frac{10}{4}=2\frac{2}{4}$.

Ułamek $\frac{10}{4}$ zapisaliśmy w postaci liczby mieszanej $2\frac{2}{4}$. Liczba mieszana składa się z części całkowitej i części ułamkowej.
$2\frac{2}{4}$ – czytamy: dwie całe i dwie czwarte, $2$ – część całkowita, $\frac{2}{4}$ – część ułamkowa.

Zapiszemy, jakiej liczbie odpowiadają zamalowane części figury składającej się czterech sześciokątów.

R1F5Zox2y5YBA

Ilustracja przedstawia cztery sześciokąty, podzielone na sześć trójkątów równobocznych. Zacieniowano trzy całe sześciokąty oraz pięć z sześciu trójkątów w czwartym sześciokącie

Na rysunku zamalowane są trzy sześciokąty i zamalowanych jest też pięć z sześciu części czwartego sześciokąta.
Sytuację tę możemy zapisać za pomocą liczby mieszanej $3\frac{5}{6}$ lub ułamka $\frac{23}{6}$.
Wynika stąd, że

Zamienimy liczbę mieszaną $4\frac{1}{3}$ na ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyułamek niewłaściwy.

$\text{I}$ sposób:

$\text{II}$ sposób:

Ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyUłamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną, wykonując dzielenie z resztą.

Zapiszemy każdy z ułamków $\frac{14}{5}$, $\frac{32}{3}$,$\frac{19}{2}$ w postaci liczby mieszanej.
$\frac{14}{5}=14:5=2 \mathrm{r} 4$, czyli $\frac{14}{5}=2\frac{4}{5}$
$\frac{32}{3}=32:3=10 \mathrm{r} 2$, czyli $\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$
$\frac{19}{2}=19:2=9 \mathrm{r} 1$, czyli $\frac{19}{2}=9\frac{1}{2}$.

Porównamy ułamki $\frac{6}{8}$ i $\frac{2}{8}$ oraz $\frac{4}{10}$ i $\frac{7}{10}$.

R1WEQDn6mE8fN

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty, podzielone na osiem kwadratów. W prostokącie znajdującym się po lewej stronie zamalowano sześć z ośmiu kwadratów. Niżej zapisano ułamek sześć ósmych. W prostokącie znajdującym się po prawej stronie zamalowano dwa z ośmiu kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie ósme. Pomiędzy ułamkami znajduje się znak większości.

RTDdwsjKJw2Qp

Ilustracja przedstawia dwa prostokąty, podzielone na dziesięć kwadratów. W prostokącie znajdującym się po lewej stronie zamalowano cztery z dziesięciu kwadratów. Niżej zapisano ułamek cztery dziesiąte. W prostokącie znajdującym się po prawej stronie zamalowano siedem z dziesięciu kwadratów. Niżej zapisano ułamek siedem dziesiątych. Pomiędzy ułamkami znajduje się znak większości.

Zapiszemy ułamki $\frac{2}{4}$, $\frac{2}{16}$, $\frac{2}{64}$ od najmniejszego do największego.

R1GkZH4FvaGGZ

Ilustracja przedstawia trzy kwadraty o takim samym rozmiarze. Kwadrat pierwszy podzielono na cztery kwadraty, kolorem różowym zamalowano dwa z czterech kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie czwarte. Kwadrat drugi podzielono na szesnaście kwadratów, kolorem różowym zacieniowano dwa z szesnastu kwadratów. Niżej zapisano ułamek dwie szesnaste. Kwadrat trzeci podzielono na sześćdziesiąt cztery kwadraty, kolorem różowym zamalowano dwa z nich. Niżej zapisano ułamek dwie sześćdziesiąte czwarte.

Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy.

Na każdym z poniższych rysunków zamalowano taką samą część prostokąta. Zatem ułamki opisujące zamalowane części są równe.

R1QvBWhLJziPC

Ilustracja przedstawia trzy takie same kwadraty. Kwadrat pierwszy podzielono na dwie równe części i zamalowano jedną z nich. Niżej zapisano ułamek jedna druga. Kwadrat drugi podzielono na cztery części, dwie z nich zamalowano. Niżej zapisano ułamek dwie czwarte. Kwadrat trzeci podzielono na sześć części, trzy z nich zamalowano. Niżej zapisano ułamek trzy szóste.

Zauważ, że

Każdy z ułamków $\frac{3}{4}$, $\frac{7}{6}$, $\frac{1}{3}$ sprowadzimy do mianownika $12$, odpowiednio go rozszerzając.

Skrócimy każdy z ułamków $\frac{15}{30}$, $\frac{36}{48}$, $\frac{55}{33}$, $\frac{6}{6}$ przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.

Przykłady ułamków nieskracalnych.

ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.

ułamek, którego licznik jest większy od mianownika.

mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od $0$.

dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę większą od $1$