RAtGKJSVCtNey
Ilustracja przedstawiająca błękitną planszę w kratkę. Pojedyncze pola zamalowano kolorem pomarańczowym, białym oraz ciemnoniebieskim.

Ułamki zwykłe

Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Z podziałem całości na jednakowe części spotykamy się niemal codziennie. Dzielimy jabłko na pół, kostkę masła na cztery równe części, tort na dwanaście jednakowych kawałków. Każdą z tak otrzymanych części możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Odpowiednio: 12, 14, 112.

W tym materiale omówimy najważniejsze własności ułamków zwykłych – ułamki będziemy skracać, rozszerzać, porównywać, przedstawiać je na osi liczbowej.

  1. Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna

  2. Gra edukacyjnaGra edukacyjna

  3. Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych

  4. SłownikSłownik

Twoje cele
  • Zapiszesz cześć całości w postaci ułamka.

  • Przedstawisz ułamek w postaci ilorazu.

  • Skrócisz lub rozszerzysz ułamek.

  • Przedstawisz ułamek na osi liczbowej.

1

Ułamek zwykły zapisujemy za pomocą dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską to mianownik.

ab

gdzie:
a – licznik,
b – mianownik

Mianownik ułamka pokazuje, na ile równych części podzielono daną całość. Licznik ułamka pokazuje, ile z tych części wzięto.

Przykład 1

Prostokąt podzielono na sześć równych części.

RYkyoP2HPBOS8
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Pokolorowano 56 wszystkich części. Niezamalowana część to 16 wszystkich części.
56 – czytamy: pięć szóstych,
16 – czytamy: jedna szósta.

Ułamek jest inną formą zapisu ilorazu dwóch liczb, z których dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.

Przykład 2

Każdy z podanych ułamków zapiszemy jako iloraz.

78=7:8
116=1:16
59=5:9.

Przykład 3

Każdy z ilorazów zapiszemy za pomocą ułamka.

10:9=109
20:30=2030
1:3=13

Ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi jest równy 1.

55=5:5=1
1717=17:17=1
Ważne!

Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.

Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywamy ułamkiem właściwymułamek właściwyułamkiem właściwym.

Ułamek, którego licznik jest większy od mianownika, nazywamy ułamkiem niewłaściwymułamek niewłaściwyułamkiem niewłaściwym.

12, 717, 23, 1169ułamki właściweułamek właściwyułamki właściwe,

41, 92, 123120, 54ułamki niewłaściweułamek niewłaściwyułamki niewłaściwe.

Punkty, odpowiadające ułamkom, można zaznaczać na osi liczbowej.

Przykład 4

Zaznaczmy na osi liczbowej ułamki: 14, 34, 84, 104.

Na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy na cztery równe części.

R1Qy8u9qh7LPG
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że ułamek 84 odpowiada liczbie 2, a ułamek 104 to 224.
Możemy zapisać:
84=2,

104=224.

Ułamek 104 zapisaliśmy w postaci liczby mieszanej 224. Liczba mieszana składa się z części całkowitej i części ułamkowej.
224 – czytamy: dwie całe i dwie czwarte, 2 – część całkowita, 24 – część ułamkowa.

Przykład 5

Zapiszemy, jakiej liczbie odpowiadają zamalowane części figury składającej się czterech sześciokątów.

R1F5Zox2y5YBA
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Na rysunku zamalowane są trzy sześciokąty i zamalowanych jest też pięć z sześciu części czwartego sześciokąta.
Sytuację tę możemy zapisać za pomocą liczby mieszanej 356 lub ułamka 236.
Wynika stąd, że

356=236
Przykład 6

Zamienimy liczbę mieszaną 413 na ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyułamek niewłaściwy.

I sposób:

413=4+13=123+13=133

II sposób:

413=3·4+13=12+13=133

Ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwyUłamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną, wykonując dzielenie z resztą.

Przykład 7

Zapiszemy każdy z ułamków 145, 323,192 w postaci liczby mieszanej.
145=14:5=2 r 4, czyli 145=245
323=32:3=10 r 2, czyli 323=1023
192=19:2=9 r 1, czyli 192=912.

Ułamki, podobnie jak liczby naturalne, możemy porównywać.
Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach ten jest większy, którego licznik jest większy.

Przykład 8

Porównamy ułamki 6828 oraz 410710.

R1WEQDn6mE8fN
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RTDdwsjKJw2Qp
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Przykład 9

Zapiszemy ułamki 24, 216, 264 od najmniejszego do największego.

R1GkZH4FvaGGZ
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
264<216<24

Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy.

Na każdym z poniższych rysunków zamalowano taką samą część prostokąta. Zatem ułamki opisujące zamalowane części są równe.

R1QvBWhLJziPC
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
12=24=36

Zauważ, że

12=1·22·2=24
12=1·32·3=36

Zatem mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, różną od 0, otrzymujemy ułamek równy danemu. Taką czynność nazywamy rozszerzaniem ułamkarozszerzanie ułamkarozszerzaniem ułamka.

Przykład 10

Każdy z ułamków 34, 76, 13 sprowadzimy do mianownika 12, odpowiednio go rozszerzając.

34=3·34·3=912
76=7·26·2=1412
13=1·43·4=412

Licznik i mianownik ułamka możemy nie tylko mnożyć przez tę samą liczbę, ale również dzielić przez tę samą liczbę, różną od 0, będącą wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika. Taką czynność nazywamy skracaniem ułamkaskracanie ułamkaskracaniem ułamka. W wyniku otrzymujemy również ułamek równy danemu.

Przykład 11

Skrócimy każdy z ułamków 1530, 3648, 5533, 66 przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.

1530=15:1530:15=12
3648=36:1248:12=34
5533=55:1133:11=53
126=12:66:6=21=2

Jeżeli licznik i mianownik ułamka nie mają wspólnych dzielników większych od 1, to takiego ułamka nie możemy skrócić. Ułamek taki nazywamy nieskracalnym.

Przykład 12

Przykłady ułamków nieskracalnych.

12, 34, 58, 715, 2037

Notatnik

R1eB4zvzkbBWk
(Uzupełnij).
2

Gra edukacyjna

1
RWkRQr22Hd65O
Gra edukacyjna nawiązująca do treści materiału
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R1FPVLusVTTU5
Ćwiczenie 1
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz Prawda albo Fałsz.
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
R1Z4sgl2LuIY0
Ćwiczenie 2
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Zaznacz Prawda albo Fałsz.
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 1

Przez jaką liczbę należy rozszerzyć ułamek 95, aby otrzymać 12430?

RQjpZhCMs4Bkm
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 2

Ułamek 3236 skrócono, otrzymując ułamek nieskracalny. Tak otrzymany ułamek rozszerzono przez 7. Ile otrzymano?

RIEw9ylqKXniO
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Polecenie 3

Ustal, jakie działania wykonano, otrzymując poniższą równość.

24:72=60:180
RZLUCaBjTtTi6
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
3

Zestaw ćwiczeń interaktywnych

Ćwiczenie 1

Jaka część prostokąta jest zamalowana? Jaka część prostokąta jest niezamalowana?

R1PZr7GBrJnIS
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
RDlvXmPnuubqL
Możliwe odpowiedzi: 1. 62 - część zamalowana, 26 - część niezamalowana, 2. 34 - część zamalowana, 24 - część niezamalowana, 3. 68 - część zamalowana, 16 - część niezamalowana, 4. 68 - część zamalowana, 14 - część niezamalowana
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 2

Wskaż liczbę, której odpowiada punkt P zaznaczony na osi liczbowej.

RvclCx6BhGWIR
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
ROlXqj7RV3RgV
Możliwe odpowiedzi: 1. 15, 2. 215, 3. 115, 4. 245
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 3
R1d9TV2BaR1CT
Uzupełnij równości, wpisując odpowiednie liczby. 79=7:Tu uzupełnij110=1:Tu uzupełnij83=8:Tu uzupełnij55=Tu uzupełnij:5112=Tu uzupełnij:2324=14:Tu uzupełnij
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 4
R1YMZGJvQ6DDi
Połącz w pary ułamek zapisany słowami i ułamek zapisany liczbami. trzy czwarte Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118 osiem jedenastych Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118 piętnaście piątych Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118 jedenaście ósmych Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118 cztery trzecie Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118 pięć piętnastych Możliwe odpowiedzi: 1. 515, 2. 43, 3. 34, 4. 811, 5. 155, 6. 118
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 5
RwYOoCEtQSQAI
Połącz w pary ułamki równe. 1020 Możliwe odpowiedzi: 1. 25, 2. 31, 3. 14, 4. 47, 5. 12 217 Możliwe odpowiedzi: 1. 25, 2. 31, 3. 14, 4. 47, 5. 12 615 Możliwe odpowiedzi: 1. 25, 2. 31, 3. 14, 4. 47, 5. 12 832 Możliwe odpowiedzi: 1. 25, 2. 31, 3. 14, 4. 47, 5. 12 4477 Możliwe odpowiedzi: 1. 25, 2. 31, 3. 14, 4. 47, 5. 12
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 6
R1FhmgA4wMfOv
Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wyrazy.
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 7
  1. Zapisz ułamki 59, 19, 139, 89, 209 od najmniejszego do największego.

  2. Zapisz 710, 74, 7100, 72, 713 ułamki od największego do najmniejszego.

RAtviYHnUOCmb
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
Ćwiczenie 8

Alina i Florian zebrali cały koszyk grzybów. Alina zebrała 58 wszystkich grzybów, a Florian 38.
Które z dzieci zebrało więcej grzybów?

R1WmUgtqA3ImU
(Uzupełnij).
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.
4

Słownik

ułamek właściwy
ułamek właściwy

ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.

ułamek niewłaściwy
ułamek niewłaściwy

ułamek, którego licznik jest większy od mianownika.

rozszerzanie ułamka
rozszerzanie ułamka

mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od 0.

skracanie ułamka
skracanie ułamka

dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę większą od 1

Bibliografia

Enzensberger H. M., (2002), Diabeł liczbowy, Warszawa: Wydawnictwo Albatros.