Z podziałem całości na jednakowe części spotykamy się niemal codziennie. Dzielimy jabłko na pół, kostkę masła na cztery równe części, tort na dwanaście jednakowych kawałków. Każdą z tak otrzymanych części możemy zapisać w postaci ułamka zwykłego. Odpowiednio: , , .
W tym materiale omówimy najważniejsze własności ułamków zwykłych – ułamki będziemy skracać, rozszerzać, porównywać, przedstawiać je na osi liczbowej.
Interaktywna treść merytorycznaInteraktywna treść merytoryczna
Gra edukacyjnaGra edukacyjna
Zestaw ćwiczeń interaktywnychZestaw ćwiczeń interaktywnych
SłownikSłownik
Zapiszesz cześć całości w postaci ułamka.
Przedstawisz ułamek w postaci ilorazu.
Skrócisz lub rozszerzysz ułamek.
Przedstawisz ułamek na osi liczbowej.
Ułamek zwykły zapisujemy za pomocą dwóch liczb oddzielonych kreską ułamkową. Liczba nad kreską to licznik, a liczba pod kreską to mianownik.
gdzie:
– licznik,
– mianownik
Mianownik ułamka pokazuje, na ile równych części podzielono daną całość. Licznik ułamka pokazuje, ile z tych części wzięto.
Prostokąt podzielono na sześć równych części.
Pokolorowano wszystkich części. Niezamalowana część to wszystkich części.
– czytamy: pięć szóstych,
– czytamy: jedna szósta.
Ułamek jest inną formą zapisu ilorazu dwóch liczb, z których dzielna jest licznikiem, dzielnik mianownikiem, a kreska ułamkowa zastępuje znak dzielenia.
Każdy z podanych ułamków zapiszemy jako iloraz.
.
Każdy z ilorazów zapiszemy za pomocą ułamka.
Ułamek, w którym licznik jest równy mianownikowi jest równy .
Mianownik ułamka musi być liczbą różną od zera.
Ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika, nazywamy ułamkiem właściwymułamkiem właściwym.
Ułamek, którego licznik jest większy od mianownika, nazywamy ułamkiem niewłaściwymułamkiem niewłaściwym.
, , , – ułamki właściweułamki właściwe,
, , , – ułamki niewłaściweułamki niewłaściwe.
Punkty, odpowiadające ułamkom, można zaznaczać na osi liczbowej.
Zaznaczmy na osi liczbowej ułamki: , , , .
Na osi liczbowej odcinek jednostkowy dzielimy na cztery równe części.
Zauważmy, że ułamek odpowiada liczbie , a ułamek to i .
Możemy zapisać:
,
.
Ułamek zapisaliśmy w postaci liczby mieszanej . Liczba mieszana składa się z części całkowitej i części ułamkowej.
– czytamy: dwie całe i dwie czwarte, – część całkowita, – część ułamkowa.
Zapiszemy, jakiej liczbie odpowiadają zamalowane części figury składającej się czterech sześciokątów.
Na rysunku zamalowane są trzy sześciokąty i zamalowanych jest też pięć z sześciu części czwartego sześciokąta.
Sytuację tę możemy zapisać za pomocą liczby mieszanej lub ułamka .
Wynika stąd, że
Zamienimy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwyułamek niewłaściwy.
sposób:
sposób:
Ułamek niewłaściwyUłamek niewłaściwy możemy zamienić na liczbę mieszaną, wykonując dzielenie z resztą.
Zapiszemy każdy z ułamków , , w postaci liczby mieszanej.
, czyli
, czyli
, czyli .
Ułamki, podobnie jak liczby naturalne, możemy porównywać.
Z dwóch ułamków o jednakowych mianownikach ten jest większy, którego licznik jest większy.
Porównamy ułamki i oraz i .
Zapiszemy ułamki , , od najmniejszego do największego.
Z dwóch ułamków o jednakowych licznikach ten jest większy, którego mianownik jest mniejszy.
Na każdym z poniższych rysunków zamalowano taką samą część prostokąta. Zatem ułamki opisujące zamalowane części są równe.
Zauważ, że
Zatem mnożąc licznik i mianownik ułamka przez tę samą liczbę, różną od , otrzymujemy ułamek równy danemu. Taką czynność nazywamy rozszerzaniem ułamkarozszerzaniem ułamka.
Każdy z ułamków , , sprowadzimy do mianownika , odpowiednio go rozszerzając.
Licznik i mianownik ułamka możemy nie tylko mnożyć przez tę samą liczbę, ale również dzielić przez tę samą liczbę, różną od , będącą wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika. Taką czynność nazywamy skracaniem ułamkaskracaniem ułamka. W wyniku otrzymujemy również ułamek równy danemu.
Skrócimy każdy z ułamków , , , przez największy wspólny dzielnik licznika i mianownika.
Jeżeli licznik i mianownik ułamka nie mają wspólnych dzielników większych od , to takiego ułamka nie możemy skrócić. Ułamek taki nazywamy nieskracalnym.
Przykłady ułamków nieskracalnych.
Notatnik
Gra edukacyjna
Przez jaką liczbę należy rozszerzyć ułamek , aby otrzymać ?
Ułamek skrócono, otrzymując ułamek nieskracalny. Tak otrzymany ułamek rozszerzono przez . Ile otrzymano?
Ustal, jakie działania wykonano, otrzymując poniższą równość.
Zestaw ćwiczeń interaktywnych
Jaka część prostokąta jest zamalowana? Jaka część prostokąta jest niezamalowana?
Wskaż liczbę, której odpowiada punkt zaznaczony na osi liczbowej.
Zapisz ułamki , , , , od najmniejszego do największego.
Zapisz , , , , ułamki od największego do najmniejszego.
Alina i Florian zebrali cały koszyk grzybów. Alina zebrała wszystkich grzybów, a Florian .
Które z dzieci zebrało więcej grzybów?
Słownik
ułamek, którego licznik jest mniejszy od mianownika.
ułamek, którego licznik jest większy od mianownika.
mnożenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę różną od .
dzielenie licznika i mianownika ułamka przez tę samą liczbę większą od
Bibliografia
Enzensberger H. M., (2002), Diabeł liczbowy, Warszawa: Wydawnictwo Albatros.