Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się aby dodać do ulubionych Ten materiał nie może być udostępniony Dodaj całą stronę do teczki

Budowa walca

Przykład 1

W jakim kształcie są wieże na zdjęciach? Jakie bryły geometryczne przypominają?

R1PSEcIRIhTtV1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 2

Zmieniaj wymiary obracającego się prostokąta. Jaka jest zależność między wysokością otrzymywanego walca a jego tworzącą? Jaka jest zależność między promieniem podstawy walca a długością boku prostokąta prostopadłego do osi obrotu?

R1Ef62TllcZa51
Animacja przedstawia konstrukcję walca na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest prostokąt, którego jeden bok zawiera się w promieniu okręgu a drugi leży na osi obrotu. Obracając prostokąt wokół jednego z boków otrzymujemy walec.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

W wyniku obrotu prostokąta wokół prostej przechodzącej przez jeden z boków otrzymujemy bryłę, zwaną walcem.
Walec ma dwie równoległe podstawy w kształcie przystających kół. Odcinek łączący podstawy walca i prostopadły do tych podstaw to wysokość walca. Wysokość jest równa odległości podstaw walca.
Każdy odcinek zawarty w powierzchni bocznej walca o końcach należących do podstaw walca nazywamy tworzącą. Długość tworzącej walca jest równa jego wysokości.

Przykład 3

Określ dla każdego z walców jego wysokość, długość tworzącej, promień podstawy i średnicę podstawy.

R4wKiiebkYdmY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekroje walca

Przykład 4
RRxZPpCqBmsjI1
Animacja 3D pokazuje baterię elektryczną. Kreślone są krawędzie – powstaje walec. Następnie przekroje skośne i poprzeczne dzielą walce na dwie bryły.
Przykład 5
R1a6j2O8Pmk6L1
Animacja
Przykład 6
R17RQtiriYrJ41
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RP1d9lrLyaIhR1
Animacja przedstawia różne przekroje walca. Oprócz przekroju osiowego i poprzecznego walec ma jeszcze inne przekroje. Ich kształt zależy od kąta nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 7
RKFyxSh44CVLp1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 8

Przekrój osiowy walca jest prostokątem o  szerokości 9 cm. Pole tego przekroju jest równe 108 cm2.
Określ wysokość i promień podstawy walca.
Obliczamy długość prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca.

108 cm2 : 9 cm = 12 cm 

Prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, ma wymiary 9 cm na 12 cm.
Możliwe są dwa przypadki.

Rwv7uqEMx0IE51
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

I przypadek
Wysokość walca jest równa 9 cm, a promień jego podstawy jest równy 12 cm : 2 = 6 cm.
II przypadek
Wysokość walca jest równa 12 cm, a promień jego podstawy jest równy 9 cm : 2 = 4,5 cm.

Przykład 9

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, którego przekątna długości 20 cm jest nachylona do dłuższego boku pod kątem 30°. Wysokość walca jest równa długości tego prostokąta. Oblicz pole podstawy walca.

R3EiPqPnX0deE1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekątna dzieli prostokąt, będący przekrojem osiowym walca, na dwa przystające trójkąty prostokątne.
Przeciwprostokątna w tak otrzymanym trójkącie ma długość 20 cm, a jeden z kątów ostrych ma miarę 30°. W takim trójkącie naprzeciw kąta o mierze 30° leży przyprostokątna dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, czyli w tym przypadku o długości 20 cm : 2 = 10 cm. Druga z przyprostokątnych ma długość 103 cm.

RXRznmwwv52oT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy walca jest więc równy 10 cm : 2 = 5 cm.
Obliczamy pole koła, będącego podstawą walca.

P=π52
P=25π cm2

Pole podstawy walca jest równe 25π cmIndeks górny 2.

Przykład 10

Obwód przekroju poprzecznego walca jest równy 34π dm2. Stosunek wysokości walca do promienia podstawy jest równy 7 :9. Oblicz wysokość walca.
Obliczamy promień r podstawy walca.

2πr=34π/:2π
r=17 dm

Korzystamy z tego, że stosunek wysokości H walca do promienia jego podstawy jest równy 7 : 9.

Hr=79
H17=79
H=1199
H=1329 dm

Wysokość walca jest równa 1329 cm.

i9xorS27vT_d5e251

Siatka walca. Pole powierzchni walca

RBArzW7o4VWUf1
Animacja 3D pokazuje stojące na stole kubki w kształcie walca. Kreślone są krawędzie jednego kubka – powstaje walec, który następnie rozkłada się na siatkę walca.
RFZ8Sqwf8pfjJ1
Animacja 3D pokazuje siatkę walca, która składa się w walec. Następnie walec zamienia się w kubek. Na stole stoją kubki w kształcie walca.
Przykład 11

Obserwuj, jak wraz ze zmianą wysokości i promienia podstawy walca, zmieniają się wymiary figur tworzących siatkę walca. Co zauważasz?

RSnhL9adCIxWY1
Animacja przedstawia walec i jego siatkę. Wysokość walca jest równa H a promień podstawy wynosi R. Na siatkę walca składają się dwie podstawy koła o promieniu R oraz prostokąt, którego długość jest równa obwodowi podstawy czyli 2 pi R i szerokość będąca wysokością walca. Zmieniając wysokość walca i promień podstawy zauważamy, że zmienia się wielkość walca i proporcjonalnie wymiary jego siatki.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Siatka walca składa się z dwóch przystających kół i prostokąta. Promień każdego z tych kół jest równy promieniowi podstawy walca. Boki prostopadłe prostokąta są równe odpowiednio wysokości walca i obwodowi koła, będącego podstawą.

R14de92tKU1KS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Pole P powierzchni walca o wysokości H i promieniu podstawy r jest równe

P=2Pp+Pb

gdzie

  • Pp - pole podstawy

  • Pb - pole powierzchni bocznej.

  • P=2πr2+2πrH

Przykład 12

Ile cm2blachy zużyto na wykonanie metalowej puszki w kształcie walca o wysokości 20 cm i średnicy 8 cm? Wynik podaj z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku.
Promień podstawy walca jest równy 8 cm : 2 =4 cm. Obliczamy, ile blachy zużyto na wykonanie denka puszki.

P=πr2
Pp=π42
Pp=16π cm2

Obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie powierzchni bocznej puszki.

Pb=2π420
Pb=160π cm2

Teraz obliczamy, ile blachy użyto na wykonanie całej puszki.

P=216π+160π=192π

Liczbę π zastępujemy jej przybliżeniem.

P1923,14=602,88
P602,88 cm2

Na wykonanie puszki zużyto około 602, 88 cmIndeks górny 2 blachy.

Przykład 13

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o wymiarach 15 cm x 24 cm. Oblicz promień podstawy walca, wiedząc, że wysokość walca jest równa 15 cm.
Obwód koła, który jest podstawą walca, jest równy długości prostokąta, w kształcie którego jest powierzchnia boczna walca.

2πr=24
r=242π=12π

Promień podstawy walca jest równy 12π cm.

Przykład 14

Tort ma kształt walca o wysokości 25 cm i średnicy podstawy 30 cm. Na pokrycie 100 cm2 powierzchni tortu potrzeba 8 dag polewy. Oblicz, ile dag polewy należy przygotować na pokrycie powierzchni tortu.
Polewą będzie pokryta podstawa górna walca, w kształcie którego jest tort i jego powierzchnia boczna. Obliczamy pole powierzchni do pokrycia.

P=2π30225+π3022
P=750π+225π=975π
P9753,14=3061,5
P3061,5 cm2

Obliczamy, ile dag polewy potrzeba.

3061,5:1008=30,6158=244,92

Liczbę π zaokrągliliśmy z dołu, zatem żeby nie zbrakło polewy, należy przygotować jej trochę więcej niż 244,92 dag.

i9xorS27vT_d5e421
A
Ćwiczenie 1

Kwadrat obracamy wokół prostej p. Określ wysokość i promień podstawy tak otrzymanego walca.

RaMHFUxH6mrG21
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 2

Prostokąt o wymiarach 10 cm x 4 cm obracamy wokół dłuższego boku. Średnica podstawy tak otrzymanego walca jest równa

RSN8Q6Br6egzW
static
A
Ćwiczenie 3

Uzupełnij zdania.

  1. Przekrój osiowy walca jest kwadratem o polu 0,25 dm2. Promień podstawy tego walca jest równy … dm.

  2. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Pole podstawy walca jest równe 81π. Wysokość tego walca jest równa …

  3. Przekrój osiowy walca jest kwadratem. Średnica podstawy walca jest równa 12 cm. Wysokość walca jest równa … cm.

A
Ćwiczenie 4

Uzupełnij.

Tabela. Dane

Wysokość walca

Średnica podstawy walca

Pole przekroju osiowego

Pole przekroju płaszczyzną równoległą do podstawy

Długość przekątnej przekroju osiowego

 5 
 30π 
16π 
10
 12
120
1,2
1,44π 
B
Ćwiczenie 5
Rft9LAGt0pZsw1
Zadanie interaktywne
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
classicmobile
Ćwiczenie 6

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 748. Promień podstawy walca jest równy 7. Przyjmij π=227. Wtedy wysokość walca jest równa

R18hUzoCYnHob
static
B
Ćwiczenie 7

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem o wymiarach 10 dm x 12 dm. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca. Rozważ dwa przypadki.

classicmobile
Ćwiczenie 8

Dany jest prostokąt o wymiarach 6 cm na 8 cm. W wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej, na której leży dłuższy bok, otrzymano walec W, a  w wyniku obrotu tego prostokąta wokół prostej, na której leży krótszy bok, otrzymano walec W1.
Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1dvpNVHk71V3
static
A
Ćwiczenie 9

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 42 cm. Przekątna ta tworzy kąt o mierze 45° z jednym z boków prostokąta, będącego przekrojem osiowym walca. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

A
Ćwiczenie 10

Kwadrat o boku długości 16 cm obrócono wokół jednego z boków. Oblicz pole powierzchni bocznej tak otrzymanego walca.

i9xorS27vT_d5e745
A
Ćwiczenie 11

Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta wokół jednego z  jego boków. Przekątna tego prostokąta ma długość 5 cm i jest nachylona do jego boku pod kątem 60°. Oblicz pole powierzchni bocznej walca.

classicmobile
Ćwiczenie 12

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

R1QaHemvO31Bi
static
C
Ćwiczenie 13

Udowodnij, że wszystkie przekroje poprzeczne walca są przystającymi kołami.

C
Ćwiczenie 14

Prostokąt o wymiarach a cm x b cm obrócono wokół boku o długości a cm i  otrzymano walec W1. Ten sam prostokąt obrócono wokół boku o długości b cm i  otrzymano walec W2. Walce W1W2 mają równe pola całkowite. Wykaż, że prostokąt ten jest kwadratem.

B
Ćwiczenie 15

Dwa prostokąty P1P2są podobne w skali 1:2. Prostokąt P1 ma wymiary 5 cm x 10 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej walca powstałego w wyniku obrotu prostokąta P2 wokół dłuższego boku.

A
Ćwiczenie 16

Oblicz pole przekroju osiowego walca otrzymanego w wyniku obrotu prostokąta o wymiarach 20 cm x 5 cm wokół krótszego boku.

B
Ćwiczenie 17

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 122 i tworzy z płaszczyzną podstawy walca kąt o mierze 45°. Oblicz pole powierzchni całkowitej walca.

C
Ćwiczenie 18

Udowodnij, że stosunek powierzchni bocznej dowolnego walca do powierzchni przekroju osiowego tego walca jest zawsze taki sam.

A
Ćwiczenie 19

Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 10 cm, a wysokość walca 8 cm. Oblicz pole powierzchni otrzymanej po rozwinięciu tego walca na płaszczyźnie.

A
Ćwiczenie 20

Pole powierzchni całkowitej walca jest równe 216π. Wysokość walca jest równa średnicy jego podstawy. Oblicz promień podstawy walca oraz jego wysokość.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida