Wzór na objętość walca

Przykład 1

Wyobraź sobie, że pojemnik w kształcie walca o wysokości $H > 1$ wypełniamy jednakowymi krążkami o wysokości $1$ i promieniu podstawy równym promieniowi podstawy pojemnika.
Ile takich krążków zmieści się w pojemniku?
Jeśli przyjmiemy, że objętość takiego krążka jest równa $V$ , to ile wynosi objętość pojemnika?
Jeśli teraz zwiększymy promień podstawy pojemnika i analogicznie promień podstawy krążków, to czy objętość pojemnika zmieni się?

Objętość walca zależy od jego wysokości i pola podstawy. Obliczamy ją podobnie jak objętość graniastosłupa.

Ważne!

Objętość $V$ walca o promieniu podstawy $r$ jest równa iloczynowi pola podstawy $P_{p}$ walca przez jego wysokość $H$ .

RXVkSg9MT3Exw1

Rysunek walca o wysokości równej H i promieniu podstawy r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

V = P_{p} \cdot H

V = π r^{2} \cdot H

Przykład 2

Ile litrów wody mieści się w pojemniku o wysokości $2,5 m$ i średnicy podstawy $2,8 m$ ? Przyjmij $π = \frac{22}{7}$

R17jIyXcEjR961

Rysunek walca o wysokości równej 2,5 m i średnicy podstawy 2,8 m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy pojemnika wynosi $2,8 m : 2 = 1,4 m$ . Obliczamy objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

V = \frac{22}{7} \cdot {(1,4)}^{2} \cdot 2,5

V = \frac{22}{7} \cdot \frac{14}{10} \cdot \frac{14}{10} \cdot \frac{25}{10}

V = \frac{22 \cdot 10 \cdot 7}{1 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{77}{5}

V = 15,4 m^{3}

Wiadomo, że $1 m^{3} = 1000 l$ , stąd $15,4 m^{3}$ to $15,4 \cdot 1000 l = 15400 l$ .
W pojemniku mieści się $15 400 l$ wody.

Przykład 3

Objętość walca przedstawionego na rysunku jest równa $89,2 {cm}^{3}$ .

RZgqVjDD3FEvd1

Rysunek walca o wysokości równej 7,1 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz promień podstawy tego walca. Przyjmij $π = 3 \frac{10}{71}$ .
Korzystamy ze wzoru na objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

89,2 = 3 \frac{10}{71} \cdot r^{2} \cdot 7,1

\frac{892}{10} = \frac{223}{71} \cdot \frac{71}{10} \cdot r^{2}

892 = 223 r^{2}

r^{2} = 4

r = 2

r > 0

r = 2 cm

Promień podstawy walca wynosi $2 cm$ .

iUNY6cH6Cv_d5e202

Obliczanie objętości walca

Przykład 4

R1EmCgwgIYTJ61

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Oblicz objętość walca, którego siatkę przedstawia rysunek. Przyjmij $π = 3$ .

R1LtHenmFn7k71

Rysunek siatki walca, w której prostokąt ma wymiary 6 na 15. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem, którego długość jest równa obwodowi koła, będącego podstawą walca.
Obliczamy promień $r$ tego koła.

2 πr = 15

2 \cdot 3 \cdot r = 15

r = 2,5

Wysokość $H$ walca jest równa szerokości prostokąta, czyli $H = 6$ .

RcFtvYGskuhCC1

Rysunek siatki walca, w której prostokąt ma wymiary 6 na 15 oraz walca o wysokości 6 i promieniu podstawy 2,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

V = 3 \cdot {(2,5)}^{2} \cdot 6 = 112,5

Objętość walca jest równa $112,5$ .

Przykład 6

Element przedstawiony na rysunku wykonany jest ze stali o gęstości $7,5 kg / {dm}^{3}$ .

R4584jKdEjopy1

Rysunek sześcianu o krawędzi długości 4 dm. W środku sześcianu wycięto otwór w postaci walca, o średnicy podstawy równej 2 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz masę elementu.
Element jest w kształcie sześciennej kostki z wydrążonym otworem w kształcie walca.
Obliczamy najpierw objętość $V$ elementu. Jest ona równa różnicy objętości sześcianu i objętości walca o wysokości $4 dm$ i promieniu podstawy $2 dm : 2 = 1 dm$ .

V = 4^{3} - π \cdot 1^{2} \cdot 4

V = (64 - 4 π) {dm}^{3}

Masa $m$ ciała jest równa iloczynowi objętości tego ciała przez jego gęstość.

m = V \cdot 7,5

m \approx (64 - 4 \cdot 3,14) \cdot 7,5 = 385,8

m \approx 385,8 kg

Masa elementu wynosi około $385,8 kg$ .

Przykład 7

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym jeden z boków, równy wysokości walca, jest dwukrotnie dłuższy od drugiego.
Pole powierzchni walca jest równe 250 $π {cm}^{2}$ . Oblicz objętość walca.

R1009MSosSugn1

Rysunek walca o wysokości równej 4x i średnicy podstawy 2x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$x$ – promień podstawy walca w $cm$
$4 x$ - wysokość walca w $cm$ , gdzie $x > 0$ .

Wtedy pole $P$ powierzchni walca jest równe;

P = 2 π x^{2} + 2 πx \cdot 4 x

P = 2 π x^{2} + 8 π x^{2} = 10 π x^{2}

Jednocześnie wiemy, że pole to jest równe $250 π {cm}^{2}$ .

10 π x^{2} = 250 π

x^{2} = 25

x = 5 cm

4 x = 20 cm

Promień podstawy walca jest więc równy $5 cm$ , a jego wysokość $20 cm$ . Obliczamy objętość walca.

V = π \cdot 5^{2} \cdot 20 = 500 π

V = 500 π {cm}^{3}

Objętość walca jest równa $500 π {cm}^{3}$ .

iUNY6cH6Cv_d5e363

Ćwiczenie 1

Kartkę papieru w kształcie prostokąta o wymiarach $a cm$ na $b cm$ można zwinąć na dwa sposoby,
uzyskując za każdym razem walec. Jeden z nich będzie niższy i grubszy, drugi wyższy i chudszy.
Który w tych walców ma większą objętość?
Poniższy rysunek ilustruje w przybliżeniu kartkę papieru i dwa uzyskane walce.
Przyjmując za $a$ i $b$ długość i szerokość kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

Rm0wQLLT2kGDQ1

Rysunki prostokąta o bokach a i b oraz dwóch walców. Pierwszy walec ma wysokość równą a i średnicę podstawy b =2 pi r. Drugi walec ma wysokość równą b i średnicę podstawy a = 2 pi r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W przypadku, gdy kartkę zwinięto tak, że wysokością walca jest $a$ , wówczas:
$2 πr = a$ , skąd $r = \frac{b}{2 π}$ .
Podobnie, gdy kartkę zwiniemy tak, by wysokością walca było $b$ , wówczas:
$2 πR = a$ , skąd $R = \frac{a}{2 π}$ .
Objętość walca w pierwszym przypadku jest równa

V_{walca 1} = π ∙ {(\frac{b}{2 π})}^{2} ∙ (\frac{ab}{4}) ∙ a

zaś w drugim przypadku jest równa: $V_{walca 2} = π ∙ {(\frac{a}{2 π})}^{2} ∙ b = (\frac{ab}{4}) ∙ b$
Ponieważ w obu wzorach występuje ten sam czynnik $(\frac{ab}{4})$ , więc o wielkości objętości
zadecyduje wielkość $a$ lub $b$ .
Z tych wzorów wynika, że dla kwadratowej kartki papieru obie objętości będą równe, co jest oczywiste.

Ćwiczenie 2

Czy w każdej ze szklanek, jak przedstawiono jak na rysunku, zmieści się ćwierć litra wody? Przyjmij $π = 3,14$ .

R10xHqpvj8bW61

Rysunki trzech szklanek w kształcie walców. Pierwsza szklanka ma wysokość równą 10 cm i średnicę podstawy 6 cm. Druga szklanka ma wysokość równą 8 cm i średnicę podstawy 8 cm. Trzecia szklanka ma wysokość równą 14 cm i średnicę podstawy 4 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Butla gazowa domowa – parametry techniczne

Tabela. Dane
Wysokość zewnętrzna bez zaworu	$590 mm$
Masa butli	$10,2 kg$
Średnica zewnętrzna	$300 mm$
Średnica wewnętrzna	$260 mm$

Przyjmij, że butla gazowa ma kształt walca. Oblicz jej pojemność. Przyjmij $π = 3,14$ .

$31308,94 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 4

Rurkę, taką jak na rysunku przetopiono i wykonano z niej sześcienną kostkę. Oblicz pole powierzchni tej kostki. Wynik podaj z dokładnością do $1 {cm}^{2}$ .

R1FaE5Xm6zhlf1

Rysunek rurki o grubości ściany 2 cm, długości równej 4 dm i średnicy podstawy 2 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ok. $1640 {cm}^{2}$

Ćwiczenie 5

Element betonowy składa się z części w kształcie sześcianu i części w kształcie walca. Ile takich elementów można wykonać z $1 m^{3}$ betonu? Przyjmij $π = 3,14$ .

RDCIDumypVkph1

Rysunek bryły zbudowanej z sześcianu o krawędzi równej 15 mm oraz walca o wysokości 20 mm i średnicy podstawy 10 mm. Walec jest doklejony do ściany bocznej sześcianu. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$202224$

Ćwiczenie 6

Pojemnik z sokiem jest prostopadłościanem o wymiarach $25 cm x 12,5 cm x 8 cm$ . Sok rozlano do szklanek w kształcie walca o średnicy podstawy $5 cm$ i wysokości $10 cm$ . Ile szklanek napełniono sokiem? W obliczeniach przyjmij $π = 3,14$ .

$12$ szklanek

iUNY6cH6Cv_d5e522

Ćwiczenie 7

Która z brył ma większą objętość - sześcian o krawędzi $6 cm$ czy walec o promieniu $3 cm$ i wysokości $10 cm$ . W obliczeniach przyjmij $π = 3,14$ .

Ćwiczenie 8

Głównymi składnikami powietrza są azot i tlen. Zawartość procentowa azotu wynosi $78 %$ , a tlenu $21 %$ . Jeden $1 {dm}^{3}$ powietrza ma masę $0,66 g$ . Jaka jest masa azotu, a jaka tlenu w butli w kształcie walca o średnicy dna $40 cm$ i wysokości $150 cm$ ? W obliczeniach przyjmij $π = 3,14$ .

masa azotu $96,99 g$ , masa tlenu $27,36 g$

Ćwiczenie 9

Walec powstał w wyniku obrotu prostokąta o bokach długości $4 cm$ i $8 cm$ dookoła krótszego boku. Oblicz objętość walca.

$256 π$

Ćwiczenie 10

Długości boków prostokąta pozostają w stosunku $1 : 2$ . Prostokąt obraca się raz wokół dłuższego boku, a raz wokół krótszego boku. Który z tak powstałych walców będzie miał większą objętość i ile razy, a który będzie miał większe pole powierzchni całkowitej i ile razy?

Ćwiczenie 11

Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość walca, którego przekrój osiowy jest kwadratem o polu równym $144 {cm}^{2}$ .

$V = 432 π {cm}^{3}, P_{b} = 144 π {cm}^{2}$

Ćwiczenie 12

Objętość walca jest równa $81 π {cm}^{3}$ . Wysokość walca jest $3$ razy większa od promienia podstawy. Oblicz promień podstawy i wysokość tego walca.

$r = 3, H = 9$

Ćwiczenie 13

Dwa walce $W 1$ oraz $W 2$ mają jednakowe objętości. Długość promienia podstawy walca $W 1$ jest dziesięciokrotnie mniejsza od długości promienia podstawy walca $W 2$ . Ile razy wysokość walca $W 1$ jest większa od wysokości walca $W 2$ ?

Ćwiczenie 14

Wysokość walca jest równa promieniowi podstawy tego walca. Objętość walca jest równa $343 π {cm}^{3}$ . Oblicz pole podstawy tego walca.

$49 π {cm}^{2}$

Ćwiczenie 15

Jaką pojemność ma naczynie w kształcie walca o średnicy podstawy $24 cm$ i wysokości $15 cm$ ?

$2160 π {cm}^{3}$

Walec. Pole powierzchni walca

Stożek. Pole powierzchni stożka

Objętość walca

Wzór na objętość walca

Obliczanie objętości walca