Przykład 1

Zaobserwuj, jaką bryłę otrzymujemy w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. W kształcie jakiej figury jest podstawa bryły? Ile ma wierzchołków?

RoJ9EOC5r4eKf1
Animacja przedstawia konstrukcję stożka na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna zawiera się w promieniu okręgu a druga przyprostokątna leży na osi obrotu. Obracając trójkąt prostokątny wokół jednej z przyprostokątnych otrzymujemy stożek
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

W wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych, otrzymujemy bryłę, zwaną stożkiem.

Prosta ta jest osią obrotu stożka. Jest to również oś symetrii stożka. Podstawą stożka jest koło. Wysokość H stożka jest równa przyprostokątnej, wokół której obracaliśmy trójkąt, a promień r podstawy jest równy drugiej z przyprostokątnych. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny, na której leży podstawa stożka, a więc i do każdego z promieni podstawy.
Wierzchołek obracanego trójkąta nieleżący na podstawie to wierzchołek stożka.
Przeciwprostokątna obracanego trójkąta zakreśliła powierzchnię boczną stożka. Jest ona tworzącą stożka. Tworzącą stożka jest zatem każdy odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem leżącym na okręgu będącym brzegiem podstawy.

RSnGOH7sw5ahz1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1UY3oc8ZpxqP1
Animacja pokazuje stożek, który powstał w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dookoła prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. Zaznaczona wysokość stożka H, tworząca stożka l oraz promień podstawy stożka r.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Przykład 2

Na oklejenie kartonowej czapeczki w kształcie stożka zużyto 44  cm niebieskiej taśmy.
Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia podstawy. Oblicz tę wysokość. Przyjmij

π = 22 7

Z treści zadania wynika, że długość okręgu, będącego brzegiem podstawy stożka, w kształcie którego jest czapeczka, jest równy 44  cm .
Obliczmy promień r tego okręgu.

2 πr = 44
2 22 7 r = 44
r = 7  cm

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia, czyli wynosi

3 7  cm  =   21  cm
Przykład 3

W trójkącie równoramiennym ABC kąt ACB między ramionami ma miarę 120 ° , a ramię BC ma długość 10  dm .
Trójkąt ten obrócono wokół prostej, na której leży wysokość CD . Oblicz średnicę podstawy tak utworzonego stożka i jego wysokość.

RdHv4tNxIUZIT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Kąt BCD jest połową kąta ACB , ma zatem miarę 60 ° .
Trójkąt BCD jest więc trójkątem prostokątnym, w  którym jeden z kątów ostrych ma miarę 60 ° . Z własności takiego trójkąta wynika, że

CD = 1 2 BC = 1 2 10 = 5
BD = 1 2 10 3 = 5 3

Zatem wysokość stożka jest równa 5  dm , a średnica podstawy ma długość

2 5 3  dm = 10 3  dm

Przekroje stożka

Przykład 4

Przyjrzyj się przekrojom stożka. Jaki kształt ma przekrój osiowy? Jaki kształt ma przekrój poprzeczny?
Dowiedz się, jak nazywa się figura otrzymana w wyniku przekroju stożka płaszczyzną, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do podstawy.

RAkJc5kI5J5U01
Animacja przedstawia różne przekroje stożka. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się półstożkiem. Natomiast stożek to dwa przystające szkolne stożki mające wspólny wierzchołek. Obserwujemy różne przekroje stożka zależnie od położenia płaszczyzny przecinającej bryłę. Jeśli płaszczyzna przecina stożek pod kątem alfa = 0 stopni lub alfa = 180 stopni otrzymujemy w przekroju dwie proste przecinające się. Dla kąta w przedziale od 0 stopni do 45 stopni lub od 135 stopni do 180 stopni otrzymujemy hiperbolę. Dla alfa = 45 stopni lub alfa = 135 stopni – parabolę. W przedziale od 45 stopni do 90 stopni lub od 90 stopni do 135 stopni – elipsę, a dla 90 stopni – koło.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Podstawa tego trójkąta jest równa średnicy podstawy stożka, ramię jest równe tworzącej, a wysokość poprowadzona z wierzchołka między ramionami jest równa wysokości stożka.

RTnp0ctjlUIEd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ważne!

Przekrój poprzeczny stożka jest kołem. Promień tego koła jest nie większy od promienia podstawy stożka.

RN9iETyJkvE9V1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 5

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym jeden z kątów ma miarę 160 ° . Znajdź miary pozostałych kątów tego trójkąta.
Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoramienny. Kąt o mierze 160 ° jest kątem rozwartym, zatem jest kątem między ramionami tego trójkąta. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary.
Każdy z nich jest więc równy

18 0 0 - 16 0 0 2 = 10 °

Pozostałe kąty trójkąta są równe 10 ° , 10 ° .

Przykład 6

Wysokość stożka jest równa 12 , a  średnica podstawy ma długość 7 . W odległości 5 od wierzchołka przecięto stożek płaszczyzną prostopadłą do wysokości. Oblicz pole tak utworzonego przekroju.

R1ZHeysLcjCCc1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

  • B - wierzchołek stożka,

  • C - środek przekroju poprzecznego,

  • CD = x - promień przekroju poprzecznego,

  • SA = r - promień podstawy stożka,

  • H - wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty BCD BSA są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt‑kąt‑kąt. Istotnie: oba trójkąty są prostokątne, kąt SBA jest kątem wspólnym obu trójkątów i  CDB = BSA - jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.
Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczamy promień przekroju poprzecznego.

5 x = H r
5 x = 12 7 2
12 x = 35 2
x = 35 2 1 12
x = 35 24

Obliczamy pole przekroju.

P = π x 2
P = 35 24 2 π
P = 1225 π 276 = 4 121 276 π

Pole przekroju stożka jest równe 4 121 276 π .

i6jc90X9io_d5e276

Siatka stożka

Przykład 7

Wytnij z papieru trzy koła.
Pierwsze koło przetnij na pół. Drugie przetnij wzdłuż średnic na 4 równe części. Z trzeciego wytnij dowolny wycinek koła. Zwiń wycięte figury tak, aby otrzymać „czapeczkę”.
Jaki ma kształt każda z otrzymanych „czapeczek”?

ROUj2jid8CqOH1
Aniamcja
Przykład 8

Wytnij z papieru koło. Oznacz jego środek S , a promień r . Przetnij koło wzdłuż promienia i zwiń tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Zepnij tak otrzymaną powierzchnię boczną stożka.

  1. Jaka jest długość tworzącej ?

  2. Jak obliczyć promień podstawy?

  3. Który z punktów koła jest wierzchołkiem stożka?

  4. W jakim kształcie jest powierzchnia boczna stożka?

  5. Z jakich figur składa się powierzchnia całkowita stożka?

Przykład 9

Zaobserwuj, jak zmienia się powierzchnia boczna stożka, gdy zmieniamy jego wysokość.
Jaka jest długość promienia podstawy stożka, a jaka tworzącej, gdy powierzchnia boczna jest półkolem?

R1351WDrEBedf1
Animacja przedstawia stożek i siatkę stożka. Siatka stożka składa się z koła o promieniu r i wycinka koła o promieniu l. Na animacji zauważamy, że jak zmienia się wysokość stożka, to zmienia się proporcjonalnie powierzchnia boczna stożka. P = pi R razy (R +l).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.

Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem kołowym.
Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

Ważne!
RLYtDlsvHdT6T1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Tworząca stożka jest równa promieniowi wycinka koła, będącego powierzchnią boczną stożka .
Obwód podstawy stożka jest równy długości łuku wyznaczonego przez wycinek koła, będący powierzchnią boczną.

Rjx04KzZXAqEi1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Przykład 10

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem, którego promień jest równy 8 . Oblicz wysokość stożka.
Obliczamy najpierw promień r podstawy stożka.

2 πr = 2 π 8 2
r = 4

Aby obliczyć wysokość H stożka, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego boki mają długości H ,  r ,  l .

R1V90CRWISeU91
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
H 2 + r 2 = l 2
H 2 + 4 2 = 8 2
H 2 = 64 - 16
H 2 = 48
H = 48 = 16 3 = 4 3

Wysokość stożka jest równa 4 3 .

Przykład 11

Podstawą stożka jest koło o promieniu r = 16  cm . Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu 18  cm . Oblicz miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.
Obliczamy obwód podstawy stożka.

L = 2 πr
L = 2 π 16
L = 32 π cm

Oznaczmy: α - miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.
Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

L W = α 36 0 0 2 π 18
L W = α 1 0 0 π cm

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy α .

32 π = α 1 0 0 π
α = 320 °

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa 320 ° .

i6jc90X9io_d5e440

Pole powierzchni stożka

Przykład 12

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, która po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu l . Promień podstawy tego stożka jest równy r .
Pole powierzchni bocznej P b obliczymy jako pole wycinka koła. Niech α będzie kątem środkowym tego wycinka. Wtedy

P b = α 36 0 0 π l 2

Zapisujemy i przekształcamy równość wynikającą z tego, że długość łuku okręgu wyznaczonego przez wycinek jest równa obwodowi podstawy stożka.

α 36 0 0 2 π l = 2 π r
α 36 0 0 l = r
α 36 0 0 = r l

Stąd

P b = α 36 0 0 π l 2 = r l π l 2 = πrl

Pole powierzchni bocznej jest równe πrl .

Ważne!
RGBRUnEyn5G4R1
Animacja 3D pokazuje stojące na drodze pachołki drogowe w kształcie stożka. Kreślone są krawędzie jednego pachołka - powstaje stożek, który następnie rozkłada się na siatkę stożka.
Ważne!
Rh5oj13tw4Ks91
Animacja 3D pokazuje siatkę stożka, która następnie składa się w stożek. Stożek zamienia się w pachołek drogowy. Na drodze stoją cztery pachołki.
R1Vw7jkpVQmLP1
Animacja przedstawia stożek o środku podstawy w punkcie A i siatkę stożka. Siatka stożka składa się z koła o promieniu r i wycinka koła o promieniu l. Zmieniając długość promienia lub wysokość stożka zmieniamy wymiary siatki stożka.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY NC 3.0.
Ważne!

Pole powierzchni całkowitej P c stożka o promieniu podstawy r i tworzącej l jest równe

P c = P b + P p

gdzie P b - pole powierzchni bocznej, P p - pole podstawy.
Ponieważ P b = πrl , P p = π r 2 , stąd

P c = πrl + π r 2
Przykład 13

Oblicz, ile dm 2 szkła zużyto na wykonanie klosza do lampy, który ma kształt stożka o wysokości 400  mm i promieniu podstawy 90  mm .

Aby obliczyć ile dm 2 szkła użyto, obliczymy pole ;powierzchni bocznej stożka, w kształcie którego jest klosz.
P b = πrl , gdzie r = 90  mm
Najpierw jednak , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długość tworzącej odpowiedniego stożka.

RkSUf08UCB9Q01
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
l 2 = 40 0 2 + 9 0 2
l 2 = 160000 + 8100
l 2 = 168100
l = 410  mm

Zapisujemy wymiary stożka w decymetrach.

r = 90  mm  =   0,9  dm
l = 410  mm  =   4,1  dm

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

P = π 0,9 4,1
P = 3 , 69 π dm 2

Na wykonanie klosza potrzeba 3 , 69 π dm 2 szkła.

Przykład 14

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości 4,2  cm i promieniu podstawy 2  cm .
Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy jako sumę pola powierzchni bocznej i pola podstawy.

P c = P b + P p
P c = π 2 4,2 + π 2 2
P c = 8,4 π + 4 π
P c = 12,4 π  cm 2

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 12,4 π cm 2 .

Przykład 15

Pole przekroju osiowego stożka jest równe 660 . Pole podstawy wynosi 121 π . Oblicz pole powierzchni bocznej.
Pole podstawy stożka wynosi 121 π , zatem promień podstawy stożka jest równy 121 = 11 .

RiT7ewOIQHZyT1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pole przekroju osiowego to połowa iloczynu wysokości stożka i średnicy jego podstawy. Wiedząc, że pole to jest równe 660 , a średnica 2 11 = 22 , można obliczyć wysokość stożka.

H = 60

Teraz musimy jeszcze wyznaczyć długość tworzącej – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

l 2 = H 2 + r 2
l 2 = 6 0 2 + 1 1 2
l 2 = 3721
l = 61

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

P b = πrl
P b = π 11 61
P b = 671 π

Pole powierzchni bocznej stożka jest równy 671 π .

Przykład 16

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym 72 ° i promieniu 15  dm .
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

R12e85Ka8cdfP1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka, jako pole wycinka koła .

P b = 7 2 0 36 0 0 π 1 5 2
P b = 1 5 π 225
P b = 45 π

Teraz wyznaczamy promień r podstawy stożka.

2 πr = 7 2 0 36 0 0 2 π 15
r = 1 5 15
r = 3  dm

Obliczamy pole podstawy.

P p = π 3 2 = 9 π

Dodajemy wyznaczone wartości , obliczając pole powierzchni całkowitej stożka.

P c = P b + P p
P c = 45 π + 9 π = 54 π

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe 54 π  dm 2 .

Przykład 17

Trójkąt prostokątny o bokach długości 5 ,   12 ,   13 obracamy wokół przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni tak powstałej bryły.
W wyniku obrotu trójkąta wokół przeciwprostokątnej powstała bryła składająca się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Tworzące stożków są równe przyprostokątnym trójkąta. Większy stożek ma tworzącą długości 12 , a mniejszy ma tworzącą długości 5 . Promienie podstaw obu stożków są równe.
Zauważmy, że promień r jest wysokością obracanego trójkąta. Jego długość obliczymy, porównując pole trójkąta obliczone dwoma sposobami.

1 2 13 r = 1 2 12 5
13 r = 60 / : 13
r = 60 13

Obliczamy pole powierzchni bryły jako sumę pól powierzchni bocznych dwóch stożków.

P = π 60 13 12 + π 60 13 5
P = 720 π 13 + 300 π 13
P = 1020 13 π
P = 78 6 13 π

Pole powierzchni bryły jest równe 78 6 13 π .

i6jc90X9io_d5e684
A
Ćwiczenie 1

Podaj promień r podstawy i  wysokość H stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół krótszej przyprostokątnej. W trójkącie tym

  1. długość jednej z przyprostokątnych jest równa 24 , a przeciwprostokątna ma długość 25

  2. pole jest równe 60 , a jedna z przyprostokątnych ma długość 15

  3. jeden z kątów ostrych ma miarę 30 ° , a przeciwprostokątna ma długość 9

A
Ćwiczenie 2

Oblicz pole powierzchni stożka otrzymanego w wyniku obrotu trójkąta

  1. równobocznego o boku długości 6 wokół prostej, na której leży jedna z wysokości trójkąta

  2. równoramiennego wokół wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta między ramionami. Wysokość ta jest równa 8 , a miara jednego z kątów 120 ° .

  3. prostokątnego równoramiennego wokół prostej, na której leży jedna z przyprostokątnych. Pole koła opisanego na tym trójkącie jest równe 100 π .

A
Ćwiczenie 3

Uzupełnij.
Pole powierzchni bocznej stożka, którego wysokość jest równa 12 ,

  1. a pole podstawy jest równe 256 π , wynosi …

  2. a tworząca ma długość 13 , wynosi …

  3. a przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym, wynosi …

A
Ćwiczenie 4

Oblicz, ile dm 2 srebrnego kartonu użyto na wykonanie 4 dekoracyjnych jednakowych choinek . Każda choinka ma kształt stożka o wysokości 0,5  m i promieniu podstawy 1,5  dm . Wynik podaj z dokładnością do 0,01   dm 2 .

A
Ćwiczenie 5

Oblicz, ile cm 2 szkła użyto na wykonanie szklanego klosza do lampki nocnej. Klosz ma kształt stożka o promieniu podstawy 3  cm i wysokości 10  cm .

classicmobile
Ćwiczenie 6

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.
Podstawą stożka jest koło o polu 400 π . Pole powierzchni bocznej jest równe 580 π .

R1Lh0H9tz6z6Z
static
A
Ćwiczenie 7

Uzupełnij tabelkę.

Tabela. Dane

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym, którego przyprostokątna ma długość 2 .

Pole podstawy stożka

Wysokość stożka

Długość tworzącej

Pole powierzchni bocznej

A
Ćwiczenie 8

Średnica podstawy stożka jest równa 175 , a jego wysokość 70 . Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy.
Średnica tak otrzymanego przekroju poprzecznego ma długość 70 .
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka, który otrzymano w wyniku przekroju.

R1WiA62MKnP2W1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 9

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym

  1. o polu 16 3   cm 2

  2. o obwodzie 15  cm

A
Ćwiczenie 10

Pole powierzchni bocznej stożka jest równe 3864 π , a pole podstawy 3136 π . Oblicz wysokość stożka.

i6jc90X9io_d5e963
A
Ćwiczenie 11

Kąt rozwarcia stożka jest równy 120 ° , a tworząca jest równa 8 . Oblicz obwód podstawy i wysokość stożka.

A
Ćwiczenie 12

Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła przedstawionym na rysunku. Oblicz pole podstawy stożka.

RlqgiYLtxs7Ix1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
A
Ćwiczenie 13

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 12  cm . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

A
Ćwiczenie 14

Pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 100 π cm. Promień podstawy stożka ma długość 5  cm . Oblicz długość tworzącej tego stożka.

classicmobile
Ćwiczenie 15

Rozstrzygnij, czy zdanie jest prawdziwe, czy fałszywe.

RbPZxYG6M2M4x
static
C
Ćwiczenie 16

Oceń prawdziwość zdania.
Istnieje stożek, którego pole powierzchni bocznej jest równe polu powierzchni jego podstawy. Odpowiedź uzasadnij.

B
Ćwiczenie 17

Oblicz pole całkowite powierzchni stożka, którego powierzchnię boczną utworzono z półkola o promieniu długości a .

B
Ćwiczenie 18

Koło o promieniu długości 10  cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze 60 ° . Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków.

B
Ćwiczenie 19

Koło o promieniu długości a cm rozcięto na dwa wycinki kołowe. Jeden z wycinków odpowiada kątowi środkowemu o mierze α ° . Z każdego wycinka utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz sumę długości promieni podstaw tych stożków.

B
Ćwiczenie 20

Tworząca stożka ma długość 20  cm i jest nachylona do podstawy pod kątem 30 ° . Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

A
Ćwiczenie 21

Kąt między tworzącą i wysokością stożka ma miarę 45 ° . Promień podstawy stożka ma długość 5  cm . Oblicz pole powierzchni bocznej stożka.

B
Ćwiczenie 22

Naszkicuj bryłę powstałą w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół jego dłuższej podstawy. Oblicz powierzchnię całkowitą otrzymanej bryły, jeśli podstawy trapezu mają długości 5  cm 8  cm , a wysokość trapezu ma długość 4  cm .