Zaobserwuj, jaką bryłę otrzymujemy w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego wokół jednej z przyprostokątnych. W kształcie jakiej figury jest podstawa bryły? Ile ma wierzchołków?

RoJ9EOC5r4eKf1

Animacja przedstawia konstrukcję stożka na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna zawiera się w promieniu okręgu a druga przyprostokątna leży na osi obrotu. Obracając trójkąt prostokątny wokół jednej z przyprostokątnych otrzymujemy stożek

Animacja przedstawia konstrukcję stożka na płaszczyźnie. Na płaszczyźnie dany jest punkt O, odcinek OW prostopadły do płaszczyzny i okrąg o środku w punkcie O. Na okręgu leży punkt P. Na płaszczyźnie narysowany jest trójkąt prostokątny, którego jedna przyprostokątna zawiera się w promieniu okręgu a druga przyprostokątna leży na osi obrotu. Obracając trójkąt prostokątny wokół jednej z przyprostokątnych otrzymujemy stożek

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbKCVKgzF

Na oklejenie kartonowej czapeczki w kształcie stożka zużyto $44\mathrm{ cm}$ niebieskiej taśmy.
Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia podstawy. Oblicz tę wysokość. Przyjmij

Z treści zadania wynika, że długość okręgu, będącego brzegiem podstawy stożka, w kształcie którego jest czapeczka, jest równy $44\mathrm{ cm}$.
Obliczmy promień r tego okręgu.

Wysokość czapeczki jest trzykrotnie większa od promienia, czyli wynosi

W trójkącie równoramiennym $\mathrm{ABC}$ kąt $\mathrm{ACB}$ między ramionami ma miarę $120°$, a ramię $\mathrm{BC}$ ma długość $10\mathrm{ dm}$.
Trójkąt ten obrócono wokół prostej, na której leży wysokość $\mathrm{CD}$. Oblicz średnicę podstawy tak utworzonego stożka i jego wysokość.

RdHv4tNxIUZIT1

Rysunek stożka z zaznaczonym wewnątrz trójkątem równoramiennym A B C . Wierzchołki A i B są końcami średnicy stożka, punkt C jest wierzchołkiem stożka. W trójkącie kąt A C B ma miarę 120 stopni. Poprowadzona wysokość trójkąta CD prostopadła do podstawy AB.

Kąt $\mathrm{BCD}$ jest połową kąta $\mathrm{ACB}$, ma zatem miarę $60°$.
Trójkąt $\mathrm{BCD}$ jest więc trójkątem prostokątnym, w  którym jeden z kątów ostrych ma miarę $60°$. Z własności takiego trójkąta wynika, że

Zatem wysokość stożka jest równa $5\mathrm{ dm}$, a średnica podstawy ma długość

Przyjrzyj się przekrojom stożka. Jaki kształt ma przekrój osiowy? Jaki kształt ma przekrój poprzeczny?
Dowiedz się, jak nazywa się figura otrzymana w wyniku przekroju stożka płaszczyzną, która nie jest ani równoległa, ani prostopadła do podstawy.

RAkJc5kI5J5U01

Animacja przedstawia różne przekroje stożka. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się półstożkiem. Natomiast stożek to dwa przystające szkolne stożki mające wspólny wierzchołek. Obserwujemy różne przekroje stożka zależnie od położenia płaszczyzny przecinającej bryłę. Jeśli płaszczyzna przecina stożek pod kątem alfa = 0 stopni lub alfa = 180 stopni otrzymujemy w przekroju dwie proste przecinające się. Dla kąta w przedziale od 0 stopni do 45 stopni lub od 135 stopni do 180 stopni otrzymujemy hiperbolę. Dla alfa = 45 stopni lub alfa = 135 stopni – parabolę. W przedziale od 45 stopni do 90 stopni lub od 90 stopni do 135 stopni – elipsę, a dla 90 stopni – koło.

Animacja przedstawia różne przekroje stożka. W matematyce popularny szkolny stożek nazywa się półstożkiem. Natomiast stożek to dwa przystające szkolne stożki mające wspólny wierzchołek. Obserwujemy różne przekroje stożka zależnie od położenia płaszczyzny przecinającej bryłę. Jeśli płaszczyzna przecina stożek pod kątem alfa = 0 stopni lub alfa = 180 stopni otrzymujemy w przekroju dwie proste przecinające się. Dla kąta w przedziale od 0 stopni do 45 stopni lub od 135 stopni do 180 stopni otrzymujemy hiperbolę. Dla alfa = 45 stopni lub alfa = 135 stopni – parabolę. W przedziale od 45 stopni do 90 stopni lub od 90 stopni do 135 stopni – elipsę, a dla 90 stopni – koło.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbKCVKgzF

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem, w którym jeden z kątów ma miarę $160°$. Znajdź miary pozostałych kątów tego trójkąta.
Trójkąt będący przekrojem osiowym stożka jest równoramienny. Kąt o mierze $160°$ jest kątem rozwartym, zatem jest kątem między ramionami tego trójkąta. Kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego mają równe miary.
Każdy z nich jest więc równy

Pozostałe kąty trójkąta są równe $10°$, $10°$.

Wysokość stożka jest równa $12$, a  średnica podstawy ma długość $7$. W odległości $5$ od wierzchołka przecięto stożek płaszczyzną prostopadłą do wysokości. Oblicz pole tak utworzonego przekroju.

R1ZHeysLcjCCc1

Rysunek stożka o promieniu podstawy SA = r oraz zaznaczonym przekrojem poprzecznym w kształcie koła o promieniu CD = x. Punkty A i D leżą na tworzącej stożka. Wysokość stożka podzielona na dwa odcinki SC = H oraz CB = 5.

Oznaczmy:

• $B$- wierzchołek stożka,

• $C$- środek przekroju poprzecznego,

• $\left|\mathrm{CD}\right|=x$ - promień przekroju poprzecznego,

• $\left|\mathrm{SA}\right|=r$ - promień podstawy stożka,

• $H$- wysokość stożka.

Zauważmy, że trójkąty $\mathrm{BCD}$ i $\mathrm{BSA}$ są podobne na podstawie cechy podobieństwa trójkątów kąt‑kąt‑kąt. Istotnie: oba trójkąty są prostokątne, kąt $\mathrm{SBA}$ jest kątem wspólnym obu trójkątów i $\left|\sphericalangle \mathrm{CDB}\right|=\left|\sphericalangle \mathrm{BSA}\right|$ - jako kąty odpowiadające przy prostych równoległych.
Zapisujemy proporcję wynikającą z podobieństwa tych trójkątów i wyznaczamy promień przekroju poprzecznego.

Obliczamy pole przekroju.

Pole przekroju stożka jest równe $4\frac{121}{276}\pi$.

Wytnij z papieru trzy koła.
Pierwsze koło przetnij na pół. Drugie przetnij wzdłuż średnic na 4 równe części. Z trzeciego wytnij dowolny wycinek koła. Zwiń wycięte figury tak, aby otrzymać „czapeczkę”.
Jaki ma kształt każda z otrzymanych „czapeczek”?

ROUj2jid8CqOH1

Aniamcja

Aniamcja

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbKCVKgzF

Aniamcja

Wytnij z papieru koło. Oznacz jego środek $S$, a promień $r$. Przetnij koło wzdłuż promienia i zwiń tak, aby promienie wyznaczone przez miejsce przecięcia pokryły się. Zepnij tak otrzymaną powierzchnię boczną stożka.

1. Jaka jest długość tworzącej ?

2. Jak obliczyć promień podstawy?

3. Który z punktów koła jest wierzchołkiem stożka?

4. W jakim kształcie jest powierzchnia boczna stożka?

5. Z jakich figur składa się powierzchnia całkowita stożka?

Zaobserwuj, jak zmienia się powierzchnia boczna stożka, gdy zmieniamy jego wysokość.
Jaka jest długość promienia podstawy stożka, a jaka tworzącej, gdy powierzchnia boczna jest półkolem?

R1351WDrEBedf1

Animacja przedstawia stożek i siatkę stożka. Siatka stożka składa się z koła o promieniu r i wycinka koła o promieniu l. Na animacji zauważamy, że jak zmienia się wysokość stożka, to zmienia się proporcjonalnie powierzchnia boczna stożka. P = pi R razy (R +l).

Animacja przedstawia stożek i siatkę stożka. Siatka stożka składa się z koła o promieniu r i wycinka koła o promieniu l. Na animacji zauważamy, że jak zmienia się wysokość stożka, to zmienia się proporcjonalnie powierzchnia boczna stożka. P = pi R razy (R +l).

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DbKCVKgzF

Powierzchnia boczna stożka, po rozłożeniu na płaszczyźnie, jest wycinkiem kołowym.
Siatka stożka składa się z koła, będącego podstawą stożka i wycinka koła, będącego powierzchnią boczną.

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyźnie jest półkolem, którego promień jest równy $8$. Oblicz wysokość stożka.
Obliczamy najpierw promień $r$ podstawy stożka.

Aby obliczyć wysokość $H$ stożka, korzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta, którego boki mają długości $H,\mathrm{ r},\mathrm{ l}$.

R1V90CRWISeU91

Rysunek stożka z zaznaczoną wysokością H, tworzącą stożka l i promieniem podstawy r.

Wysokość stożka jest równa $4\sqrt{3}$.

Podstawą stożka jest koło o promieniu $r=16\mathrm{ cm}$. Powierzchnia boczna po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu $18\mathrm{ cm}$. Oblicz miarę kąta środkowego wyznaczającego ten wycinek.
Obliczamy obwód podstawy stożka.

Oznaczmy: $\alpha$ - miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek, będący powierzchnią boczną stożka.
Obliczamy długość łuku wyznaczającego wycinek koła.

Porównujemy obwód podstawy stożka i długość łuku wycinka koła i wyznaczamy $\alpha$.

Miara kąta środkowego wyznaczającego wycinek koła, będący powierzchnią boczną stożka, jest równa $320°$.

Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, która po rozwinięciu na płaszczyźnie jest wycinkiem koła o promieniu $l$. Promień podstawy tego stożka jest równy $r$.
Pole powierzchni bocznej $P_b$ obliczymy jako pole wycinka koła. Niech $\alpha$ będzie kątem środkowym tego wycinka. Wtedy

Zapisujemy i przekształcamy równość wynikającą z tego, że długość łuku okręgu wyznaczonego przez wycinek jest równa obwodowi podstawy stożka.

Stąd

Pole powierzchni bocznej jest równe $\mathrm{\pi rl}$.

Oblicz, ile ${\mathrm{dm}}^2$ szkła zużyto na wykonanie klosza do lampy, który ma kształt stożka o wysokości $400\mathrm{ mm}$ i promieniu podstawy $90\mathrm{ mm}$.

Aby obliczyć ile ${\mathrm{dm}}^2$ szkła użyto, obliczymy pole ;powierzchni bocznej stożka, w kształcie którego jest klosz.
$P_b=\mathrm{\pi rl}$, gdzie $r=90\mathrm{ mm}$
Najpierw jednak , korzystając z twierdzenia Pitagorasa, wyznaczymy długość tworzącej odpowiedniego stożka.

RkSUf08UCB9Q01

Rysunek stożka z poprowadzoną wysokością równą 400 oraz promieniem podstawy długości 90.

Zapisujemy wymiary stożka w decymetrach.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka.

Na wykonanie klosza potrzeba $3,69\cdot \pi {\mathrm{dm}}^2$ szkła.

Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o tworzącej długości $\mathrm{4,2}\mathrm{ cm}$ i promieniu podstawy $2\mathrm{ cm}$.
Pole powierzchni całkowitej stożka obliczamy jako sumę pola powierzchni bocznej i pola podstawy.

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe $\mathrm{12,4}\cdot \pi {\mathrm{cm}}^2$.

Pole przekroju osiowego stożka jest równe $660$. Pole podstawy wynosi $121\pi$. Oblicz pole powierzchni bocznej.
Pole podstawy stożka wynosi $121\pi$, zatem promień podstawy stożka jest równy $\sqrt{121}=11$.

RiT7ewOIQHZyT1

Rysunek stożka z poprowadzoną wysokością H, tworzącą stożka l i promieniem podstawy r.

Pole przekroju osiowego to połowa iloczynu wysokości stożka i średnicy jego podstawy. Wiedząc, że pole to jest równe $660$, a średnica $2\cdot 11=22$, można obliczyć wysokość stożka.

Teraz musimy jeszcze wyznaczyć długość tworzącej – korzystamy z twierdzenia Pitagorasa.

Obliczamy pole powierzchni bocznej.

Pole powierzchni bocznej stożka jest równy $671\cdot \pi$.

Pole powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym $72°$ i promieniu $15\mathrm{ dm}$.
Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka.

R12e85Ka8cdfP1

Rysunek wycinka koła o kącie środkowym 72 stopnie i promieniu równym 15 dm.

Obliczamy pole powierzchni bocznej stożka, jako pole wycinka koła .

Teraz wyznaczamy promień $r$ podstawy stożka.

Obliczamy pole podstawy.

Dodajemy wyznaczone wartości , obliczając pole powierzchni całkowitej stożka.

Pole powierzchni całkowitej stożka jest równe $54\mathrm{\pi }{\mathrm{dm}}^2$.

Trójkąt prostokątny o bokach długości $5, 12, 13$ obracamy wokół przeciwprostokątnej. Oblicz pole powierzchni tak powstałej bryły.
W wyniku obrotu trójkąta wokół przeciwprostokątnej powstała bryła składająca się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Tworzące stożków są równe przyprostokątnym trójkąta. Większy stożek ma tworzącą długości $12$, a mniejszy ma tworzącą długości $5$. Promienie podstaw obu stożków są równe.
Zauważmy, że promień $r$ jest wysokością obracanego trójkąta. Jego długość obliczymy, porównując pole trójkąta obliczone dwoma sposobami.

Obliczamy pole powierzchni bryły jako sumę pól powierzchni bocznych dwóch stożków.

Pole powierzchni bryły jest równe $78\frac{6}{13}\pi$.