Wartość bezwzględna - definicja - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale zawarte są informacje na temat wartości bezwzględnej. Poznasz definicję, niektóre własności oraz interpretację geometryczną wartości bezwzględnej. Zamieszczone tu przykłady pokazują też sposoby rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

Wartość bezwzględna

Definicja: Wartość bezwzględna

Niech $a$ będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

Odległość liczby $a$ od liczby $0$ na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną liczby $a$ .
Wartość bezwzględną liczby $a$ oznaczamy $|a|$ .

Własności wartości bezwzględnej

Własność: Własności wartości bezwzględnej

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:

wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa $0$ , czyli

$|x| \geq 0$ , dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ ,

jeśli $|x| = 0$ , to $x = 0$ ,
wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli

$|x| = |- x|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Przykład 1

R1ETt2T9d4knM1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 2

R1Za51u1rAb6x1

Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.

$|x| = 6$
$|x| = \sqrt{5}$
$|x| = \sqrt{29} - 1$

R1NXaZqXAHuM2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz, w którym miejscu na osi liczbowej znajdują się liczby spełniające równanie.

$|x| = 6$
$|x| = \sqrt{5}$
$|x| = \sqrt{29} - 1$

Przykład 3

R19B1ryEswbWQ1

Przykład 4

R12DKrIEPIL0p1

Przykład 5

R18DSA4IaA1Gb1

Przykład 6

R11MaBkm1UJAL1

Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi liczbowej.

Przykład 7

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb $2,5$ i $9$ .

RSavxLZD93aIe1

Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli

9 - 2,5 = 6,5

Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, która z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.

|9 - 2,5| = |2,5 - 9| = 6,5

Przykład 8

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb $- 1$ i $7,5$ .

R171pxLlgA2sn1

Odległość liczb na osi liczbowej

Definicja: Odległość liczb na osi liczbowej

Odległość liczb $a$ i $b$ na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy $|a - b|$ .
Zapis $|x - 5| = 3$ możemy czytać następująco: odległość liczby $x$ od liczby $5$ na osi liczbowej jest równa $3$ .

Przykład 9

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie

|x - 2| = 4

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby $x$ , których odległość na osi liczbowej od $2$ jest równa $4$ .

RsTKNHdoLXSIg1

Korzystając z interpretacji geometrycznej równości, zauważamy, że w odległości $4$ od liczby $2$ znajdują się liczby $- 2$ i $6$ . Są to liczby spełniające równanie.

|x - 2| = 4

Przykład 10

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

|x - 1| \leq 4

R15LYqRBCk9Tp1

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność $|x - 1| \leq 4$ spełniają liczby należące do przedziału $〈- 3, 5〉$ .

Przykład 11

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

|x + 1| > 3

Jeśli nierówność $|x + 1| > 3$ zapiszemy jako $|x - (- 1)| > 3$ , to będzie można ją odczytać: odległość liczby $x$ od liczby $(- 1)$ jest większa od $3$ .
Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.

Rg8meDiLQktJ01

Nierówność $|x + 1| > 3$ spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów $(- \infty, - 4) \cup (2, \infty)$ .

R12i5aeXBg94C11

Ćwiczenie 2

Połącz w pary nierówności z odpowiednimi opisami słownymi.

|x - 7| \leq 2

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

|x + 7| \leq 2

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

|x - 2| \leq 7

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

|x + 2| \leq 7

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

|x - 7| > 2

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

|x + 7| > 2

Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby

x

od liczby

7

jest większa od

2

, 2. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest większa od

2

, 3. odległość liczby

x

od liczby

2

jest mniejsza lub równa

7

, 4. odległość liczby

x

od liczby

(- 7)

jest mniejsza lub równa

2

, 5. odległość liczby

x

od liczby

7

jest nie większa niż

2

, 6. odległość liczby

x

od liczby

(- 2)

jest nie większa niż

7

Połącz w pary nierówności z odpowiednimi opisami słownymi.

odległość liczby x od liczby (-7) jest większa od 2, odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, odległość liczby x od liczby (-7) jest mniejsza lub równa 2, odległość liczby x od liczby (-2) jest nie większa niż 7, odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2

$"\|"x - 7"\|" \leq 2$
$"\|"x + 7"\|" \leq 2$
$"\|"x - 2"\|" \leq 7$
$"\|"x + 2"\|" \leq 7$
$"\|"x - 7"\|" > 2$
$"\|"x + 7"\|" > 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSY3xfi2VSTEa1

Ćwiczenie 3

$- 4$ oraz $4$
$- 5$ oraz $5$
$1$ oraz $9$
$- 1$ oraz $- 9$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RPIKbV6GTfNjX1

Ćwiczenie 4

$(- 2,10)$
$"〈"- 2,10"〉"$
$(- 10,2)$
$"〈"- 10,2"〉"$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RHztkfqt0cnjx21

Ćwiczenie 5

Przeciągnij i upuść.

$"|"x - 1"|" < 4$ , $"|"x + 1"|" < 4$ , $"|"x - 3"|" < 5$ , $"|"x + 3"|" < 5$

Przedział (-3,5) jest rozwiązaniem nierówności .................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReEwKQtBwrJ4a2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcJvjVWVRgcM61

Ćwiczenie 7

$(1, \frac{3}{2})$
$"〈"- \frac{3}{2}, - 1"〉"$
$"〈"1, \frac{3}{2}"〉"$
$(- \frac{3}{2}, - 1)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1QzVFqh7DAFq

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RWHKGTJrHpcyP1

Ćwiczenie 9

$(0,1)$
$(- 1,0)$
$(1,2)$
$(2,3)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rh3MVDtViw6aM2

Ćwiczenie 10

R1J4zkqy2Bcg0

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFNSGeQtYjfUV1

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Wskaż nierówność, którą spełniają liczby należące do przedziału zaznaczonego na rysunku. Zaznacz poprawną odpowiedź.

RmPE4Wl6wOTHY1

Rysunek przedziału liczbowego obustronnie zamkniętego od 3 do 9 — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rc2aYLcCjJboK

$"|"x - 3"|" \leq 6$
$"|"x + 3"|" \leq 6$
$"|"x - 6"|" \leq 3$
$"|"x + 6"|" \leq 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R8wOUGGdcuqXO1

Ćwiczenie 13

Liczba $1 - \sqrt{3}$ spełnia nierówność $"|"x"|" > 1$ .
Liczba $2 + \sqrt{5}$ spełnia nierówność $"|"x - 1"|" \geq 3$ .
Liczba $\sqrt{7} - 3$ spełnia nierówność $"|"x + 2"|" < 1$ .
Liczba $\sqrt{8} + 4$ spełnia nierówność $"|"x - 5"|" > 2$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ReZa0rbtQeYUb3

Ćwiczenie 14

Rozwiąż poniższe nierówności, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej nierówności.

- 4 x - 6 \leq 0

x \geq

- \frac{6}{11}

, 2.

\frac{23}{6}

, 3.

3, 8

, 4.

4

, 5.

- 1, 6

, 6.

- \frac{11}{6}

, 7.

- \frac{3}{2}

, 8.

27

, 9.

- \frac{17}{2}

, 10.

- 6

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

\frac{15}{7}

, 13.

- 31, 5

, 14.

\frac{47}{10}

, 15.

- \frac{15}{8}

, 16.

\frac{7}{5}

, 17.

- \frac{4}{5}

, 18.

- \frac{5}{4}

, 19.

\frac{23}{6}

, 20.

- \frac{2}{3}

, 21.

3, 8

, 22.

- 4 \frac{3}{5}

- \frac{4}{5} x + 3 \leq 4

x \geq

- \frac{6}{11}

, 2.

\frac{23}{6}

, 3.

3, 8

, 4.

4

, 5.

- 1, 6

, 6.

- \frac{11}{6}

, 7.

- \frac{3}{2}

, 8.

27

, 9.

- \frac{17}{2}

, 10.

- 6

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

\frac{15}{7}

, 13.

- 31, 5

, 14.

\frac{47}{10}

, 15.

- \frac{15}{8}

, 16.

\frac{7}{5}

, 17.

- \frac{4}{5}

, 18.

- \frac{5}{4}

, 19.

\frac{23}{6}

, 20.

- \frac{2}{3}

, 21.

3, 8

, 22.

- 4 \frac{3}{5}

7 (x - 6) > - 3 x + 5

x >

- \frac{6}{11}

, 2.

\frac{23}{6}

, 3.

3, 8

, 4.

4

, 5.

- 1, 6

, 6.

- \frac{11}{6}

, 7.

- \frac{3}{2}

, 8.

27

, 9.

- \frac{17}{2}

, 10.

- 6

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

\frac{15}{7}

, 13.

- 31, 5

, 14.

\frac{47}{10}

, 15.

- \frac{15}{8}

, 16.

\frac{7}{5}

, 17.

- \frac{4}{5}

, 18.

- \frac{5}{4}

, 19.

\frac{23}{6}

, 20.

- \frac{2}{3}

, 21.

3, 8

, 22.

- 4 \frac{3}{5}

\frac{x + 7}{4} < \frac{2 x - 3}{6}

x >

- \frac{6}{11}

, 2.

\frac{23}{6}

, 3.

3, 8

, 4.

4

, 5.

- 1, 6

, 6.

- \frac{11}{6}

, 7.

- \frac{3}{2}

, 8.

27

, 9.

- \frac{17}{2}

, 10.

- 6

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

\frac{15}{7}

, 13.

- 31, 5

, 14.

\frac{47}{10}

, 15.

- \frac{15}{8}

, 16.

\frac{7}{5}

, 17.

- \frac{4}{5}

, 18.

- \frac{5}{4}

, 19.

\frac{23}{6}

, 20.

- \frac{2}{3}

, 21.

3, 8

, 22.

- 4 \frac{3}{5}

\frac{3 x - 4}{3} \geq \frac{2 x - 3}{5} + x

x \leq

- \frac{6}{11}

, 2.

\frac{23}{6}

, 3.

3, 8

, 4.

4

, 5.

- 1, 6

, 6.

- \frac{11}{6}

, 7.

- \frac{3}{2}

, 8.

27

, 9.

- \frac{17}{2}

, 10.

- 6

, 11.

\frac{2}{3}

, 12.

\frac{15}{7}

, 13.

- 31, 5

, 14.

\frac{47}{10}

, 15.

- \frac{15}{8}

, 16.

\frac{7}{5}

, 17.

- \frac{4}{5}

, 18.

- \frac{5}{4}

, 19.

\frac{23}{6}

, 20.

- \frac{2}{3}

, 21.

3, 8

, 22.

- 4 \frac{3}{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1aE0E6X9K38c31

Ćwiczenie 15

Poniżej przedstawiono pewne nierówności i ich rozwiązania. Połącz w pary nierówność z odpowiednim rozwiązaniem.

4 {(x + 3)}^{2} - 4 (x + 2) (x - 2) < 5

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

{(x + 2)}^{2} > x^{2} + 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

4 {(x + 3)}^{2} + (1 - 2 x) (1 + 2 x) < - x + 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

9 {(x + \frac{1}{6})}^{2} < \frac{1}{3} x - 5 + {(3 x - \frac{1}{6})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

(\frac{x}{\sqrt{3}} - 2) (\frac{x}{\sqrt{3}} + 2) < \frac{{(x - 2)}^{2}}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

\frac{{(3 x - 4)}^{2}}{3} \geq 3 {(x - 3)}^{2} + x

Możliwe odpowiedzi: 1.

x < - \frac{47}{33}

, 2.

x > 0

, 3.

x < - \frac{7}{5}

, 4.

x < - \frac{47}{24}

, 5.

x < 4

, 6.

x \geq \frac{65}{27}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Wypisz wszystkie liczby całkowite:

należące do przedziału $(- \infty, 3)$ i do przedziału $(- 2, 1⟩$
należące do przedziału $(- 4, 8⟩$ i do przedziału $⟨0, 6)$
należące do przedziału $(- 5, - 3)$ i do przedziału $(- 4, \infty)$
należące do przedziału $(- 5, - 3⟩$

R15RSidGF65Dd

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$- 1$ , $0$ , $1$
$0$ , $1$ , $2$ , $3$ , $4$ , $5$
nie istnieje taka liczba
$- 4$ , $- 3$

Relq5SdXVEeJJ3

Ćwiczenie 17

Rozwiąż równania i pogrupuj odpowiedzi. Przeciągnij odpowiednie rozwiązanie w puste pole.

|x - 10| = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x + 55| = 11

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x - \frac{1}{2}| = \frac{1}{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x + 5 \frac{3}{4}| = 3 \frac{1}{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

2 |x - 4| = 7

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|3 x - 5| = 9

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|4 - x| = 6

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|5 + x| = \frac{7}{8}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

|x - \sqrt{2}| = \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

x = 4

, 2.

x = \frac{1}{2}

, 3.

x = \frac{5}{6}

, 4.

x = - 66

, 5.

x = - 44

, 6.

x = - 9

, 7.

x = 4 \frac{2}{3}

, 8.

x = 10

, 9.

x = - 4 \frac{1}{8}

, 10.

x = 7 \frac{1}{2}

, 11.

x = - 1 \frac{1}{3}

, 12.

x = \sqrt{2} + \sqrt{3}

, 13.

x = - 5 \frac{7}{8}

, 14.

x = 16

, 15.

x = \frac{1}{6}

, 16.

x = - 2

, 17.

x = - 2 \frac{1}{2}

, 18.

x = \sqrt{2} - \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Wyznacz liczby spełniające poniższe równania. Zaznacz poprawne odpowiedzi dla każdego równania.

RQUMlTi5Vi9jF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RgOYftyZ4OUWQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rst3XWFRmxx9w3

Ćwiczenie 19

Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Równanie

|x - 2| = 3

1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.Równanie

|x - 3| = 5

|x + 9| = 0

|x + 3| = - 2

|x - 7| = 0

Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Równanie

|x - 2| = 3

|x - 3| = 5

|x + 9| = 0

|x + 3| = - 2

|x - 7| = 0

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$"\|"x - 7"\|" \leq 2$
$"\|"x + 7"\|" \leq 2$
$"\|"x - 2"\|" \leq 7$
$"\|"x + 2"\|" \leq 7$
$"\|"x - 7"\|" > 2$
$"\|"x + 7"\|" > 2$