W tym materiale zawarte są informacje na temat wartości bezwzględnej. Poznasz definicję, niektóre własności oraz interpretację geometryczną wartości bezwzględnej. Zamieszczone tu przykłady pokazują też sposoby rozwiązywania równań i nierówności z wartością bezwzględną.

 Wartość bezwzględna
Definicja:  Wartość bezwzględna

Niech a będzie dowolną liczbą rzeczywistą.

  • Odległość liczby a od liczby 0 na osi liczbowej nazywamy wartością bezwzględną liczby a.

  • Wartość bezwzględną liczby a oznaczamy a.

 Własności wartości bezwzględnej
Własność:  Własności wartości bezwzględnej

Zauważmy, że z definicji wartości bezwzględnej wynikają jej własności:

  • wartość bezwzględna liczby jest dodatnia lub równa 0, czyli

x0, dla dowolnej liczby rzeczywistej x,

  • jeśli x=0, to x=0,

  • wartości bezwzględne liczb przeciwnych są równe, czyli

x=-x dla dowolnej liczby rzeczywistej x.

Przykład 1
R1ETt2T9d4knM1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy zaznaczyć liczby oddalone od liczby 0 o 4. Są dwie takie liczby: 4 i -4. Ich odległości od liczby 0 są takie same i wynoszą 4.
Przykład 2
R1Za51u1rAb6x1
Animacja pokazuje rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x =a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest równa a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem równania wartość bezwzględna z liczby x =a jest x =a lub x =-a.
1
Ćwiczenie 1

Zaznacz na osi liczbowej liczby spełniające równanie.

  1. x=6

  2. x=5

  3. x=29-1 

R1NXaZqXAHuM2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz, w którym miejscu na osi liczbowej znajdują się liczby spełniające równanie.

  1. x=6

  2. x=5

  3. x=29-1 

Przykład 3
R19B1ryEswbWQ1
Animacja pokazuje na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby x <a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest mniejsza od a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z liczby x <a jest przedział (-a, a).
Przykład 4
R12DKrIEPIL0p1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy znaleźć na osi liczbowej wszystkie liczby, których odległość od liczby 0 jest mniejsza niż 4. W tym celu na osi liczbowej zaznaczamy odległości od liczby 0 liczb -4 i 4, równe 4. Liczby, których odległość od 0 jest mniejsza niż 4 należą do przedziału(-4, 4). Możemy zatem powiedzieć, że przedział (-4, 4) zawiera liczby, które spełniają nierówność wartość bezwzględna z liczby x <4.
Przykład 5
R18DSA4IaA1Gb1
Animacja pokazuje na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby x >a, gdzie a większe lub równe 0. Szukamy takich liczb, których odległość od liczby 0 jest większa od a. Na osi zaznaczona odległość liczby a od liczby 0, równa a oraz odległość liczby –a od liczby 0, równa a. Zapis: Niech a większe lub równe 0. Rozwiązaniem nierówności wartość bezwzględna z liczby x > a jest suma przedziałów (minus nieskończoność, -a) i (a, plus nieskończoność).
Przykład 6
R11MaBkm1UJAL1
Animacja przedstawia oś liczbową z zaznaczonymi punktami od -6 do 6. Należy znaleźć na osi liczbowej wszystkie liczby, których odległość od liczby 0 jest większa niż 4. W tym celu na osi liczbowej zaznaczamy odległości od liczby 0 liczb -4 i 4, równe 4. Liczby, których odległość od 0 jest większa niż 4 należą do sumy przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (4, plus nieskończoność). Możemy zatem powiedzieć, że zbiór przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (4, plus nieskończoność) zawiera liczby, które spełniają nierówność wartość bezwzględna z liczby x >4.

Wartość bezwzględna liczby jest przydatna do definiowania odległości miedzy liczbami na osi liczbowej.

Przykład 7

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb 2,59.

RSavxLZD93aIe1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami 9 oraz dwa i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby (9 – dwa i jedna druga) = wartość bezwzględna z liczby (dwa i jedna druga -9) = sześć i jedna druga.

Odległość między tymi liczbami obliczyliśmy, odejmując mniejszą z nich od większej, czyli

9-2,5=6,5.

Odległość jest zawsze liczbą nieujemną. Ponieważ nie zawsze możemy łatwo stwierdzić, która z danych liczb jest większa, a która mniejsza, wykorzystamy wartość bezwzględną.

9-2,5=2,5-9=6,5.
Przykład 8

Oblicz odległość na osi liczbowej liczb -17,5.

R171pxLlgA2sn1
Animacja przedstawia zaznaczoną na osi liczbowej odległość między liczbami -1 oraz siedem i jedna druga. Zapis: wartość bezwzględna z liczby [siedem i jedna druga -(-1)] = wartość bezwzględna z liczby (-1, siedem i jedna druga) = osiem i jedna druga.
 Odległość liczb na osi liczbowej
Definicja:  Odległość liczb na osi liczbowej
  • Odległość liczb ab na osi liczbowej jest równa wartości bezwzględnej ich różnicy a-b.

  • Zapis x-5=3 możemy czytać następująco: odległość liczby x od liczby 5 na osi liczbowej jest równa 3.

Przykład 9

Zaznacz na osi liczbowej liczby, które spełniają równanie

x-2=4.

Aby rozwiązać równanie, należy znaleźć takie liczby x, których odległość na osi liczbowej od 2 jest równa 4.

RsTKNHdoLXSIg1
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie równania: wartość bezwzględna z liczby x -2 =4. Szukamy takiej liczby x, której odległość na osi liczbowej od liczby 2 wynosi 4. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej 2. Od liczby 2 zaznaczamy odległość 4 do liczb -2 i 6. Szukane liczby to x z indeksem dolnym jeden =-2 i x z indeksem dolnym dwa =6.

Korzystając z interpretacji geometrycznej równości, zauważamy, że w  odległości 4 od liczby 2 znajdują się liczby -26. Są to liczby spełniające równanie.

x-2=4.
Przykład 10

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

x-14.
R15LYqRBCk9Tp1
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby (x -1) mniejsza lub równa 4. Szukamy takich liczb x, której odległość na osi liczbowej od liczby 1 jest mniejsza lub równa 4. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej 1. Od liczby 1 zaznaczamy odległość 4 do liczb -3 i 5. Szukane liczby należą do przedziału <-3, 5>.

Korzystając z interpretacji geometrycznej nierówności, zauważamy, że nierówność x-14 spełniają liczby należące do przedziału -3,5.

Przykład 11

Wyznacz liczby, które są rozwiązaniem nierówności

x+1>3.

Jeśli nierówność x+1>3 zapiszemy jako x--1>3, to będzie można ją odczytać: odległość liczby x od liczby -1 jest większa od 3.
Zaznaczymy liczby spełniające nierówność na osi liczbowej.

Rg8meDiLQktJ01
Animacja przedstawia na osi liczbowej rozwiązanie nierówności: wartość bezwzględna z liczby (x +1) >3. Wartość bezwzględna z liczby [x –(-1)] >3. Szukamy takich liczb x, której odległość na osi liczbowej od liczby 1 jest większa od 3. W tym celu zaznaczamy na osi punkt o współrzędnej -1. Od liczby -1 zaznaczamy odległość 3 do liczb -4 i 2. Szukane liczby należą do sumy przedziałów (minus nieskończoność, -4) i (2, plus nieskończoność).

Nierówność x+1>3 spełniają wszystkie liczby należące do sumy przedziałów -,-42,.

R12i5aeXBg94C11
Ćwiczenie 2
Połącz w pary nierówności z odpowiednimi opisami słownymi. x-72 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7 x+72 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7 x-27 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7 x+27 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7 x-7>2 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7 x+7>2 Możliwe odpowiedzi: 1. odległość liczby x od liczby 7 jest większa od 2, 2. odległość liczby x od liczby -7 jest większa od 2, 3. odległość liczby x od liczby 2 jest mniejsza lub równa 7, 4. odległość liczby x od liczby -7 jest mniejsza lub równa 2, 5. odległość liczby x od liczby 7 jest nie większa niż 2, 6. odległość liczby x od liczby -2 jest nie większa niż 7
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSY3xfi2VSTEa1
Ćwiczenie 3
Jakie liczby spełniają równanie x-5=4? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. - 4 oraz 4 , 2. - 5 oraz 5 , 3. 1 oraz 9 , 4. - 1 oraz - 9
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPIKbV6GTfNjX1
Ćwiczenie 4
Który z poniższych przedziałów jest rozwiązaniem nierówności x+46? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. - 2,10 , 2. - 2,10 , 3. - 10,2 , 4. - 10,2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RHztkfqt0cnjx21
Ćwiczenie 5
Uzupełnij poniższą lukę w zdaniu odpowiednią nierównością. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawne wyrażenie. Przedział -3,5 jest rozwiązaniem nierówności 1. x-3<5, 2. x+1<4, 3. x+3<5, 4. x-1<4.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReEwKQtBwrJ4a2
Ćwiczenie 6
Do którego przedziału należy liczba 154? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2 3 , 7 6 , 2. 3 5 , 5 3 , 3. 5 4 , 3 2 , 4. 6 7 , 11 10
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcJvjVWVRgcM61
Ćwiczenie 7
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Równanie -2x+4=1 spełnia liczba należąca do przedziału: Możliwe odpowiedzi: 1. 1 , 3 2 , 2. - 3 2 , - 1 , 3. 1 , 3 2 , 4. - 3 2 , - 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1QzVFqh7DAFq
Ćwiczenie 8
Możliwe odpowiedzi: 1. 2 x - 1 > x + 5 , 2. 2 x - 1 > x + 6 , 3. 2 x - 1 > x + 7 , 4. 2 x - 1 > x + 8
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RWHKGTJrHpcyP1
Ćwiczenie 9
Dokończ zdanie, wybierając poprawną odpowiedź.
Liczba 5-5 należy do przedziału: Możliwe odpowiedzi: 1. 0,1 , 2. - 1,0 , 3. 1,2 , 4. 2,3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rh3MVDtViw6aM2
Ćwiczenie 10
Który z poniższych rysunków przedstawia liczby należące jednocześnie do przedziału -5,3 oraz -1,5? Zaznacz poprawną odpowiedź.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1J4zkqy2Bcg0
Ćwiczenie 10
Do którego przedziału liczbowego należą liczby, które należą jednocześnie do przedziałów -5,3-1,5? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Przedział liczbowy od minus jeden do trzy prawostronnie domknięty., 2. Przedział liczbowy od minus pięć do minus jeden obustronnie otwarty., 3. Przedział liczbowy od trzech do pięciu lewostronnie domknięty., 4. Przedział liczbowy od minus pięciu do pięciu obustronnie otwarty.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RFNSGeQtYjfUV1
Ćwiczenie 11
Ile liczb całkowitych należy do przedziału -3,2? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 3 , 2. 4 , 3. 5 , 4. 6
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 12

Wskaż nierówność, którą spełniają liczby należące do przedziału zaznaczonego na rysunku. Zaznacz poprawną odpowiedź.

RmPE4Wl6wOTHY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rc2aYLcCjJboK
Możliwe odpowiedzi: 1. x - 3 6 , 2. x + 3 6 , 3. x - 6 3 , 4. x + 6 3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R8wOUGGdcuqXO1
Ćwiczenie 13
Oceń, czy poniższe stwierdzenia są prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz wszystkie stwierdzenia prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Liczba 1 - 3 spełnia nierówność x > 1 ., 2. Liczba 2 + 5 spełnia nierówność x - 1 3 ., 3. Liczba 7 - 3 spełnia nierówność x + 2 < 1 ., 4. Liczba 8 + 4 spełnia nierówność x - 5 > 2 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReZa0rbtQeYUb3
Ćwiczenie 14
Rozwiąż poniższe nierówności, a następnie uzupełnij luki odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą liczbę dla każdej nierówności. -4x-60
x 1. -611, 2. 236, 3. 3,8, 4. 4, 5. -1,6, 6. -116, 7. -32, 8. 27, 9. -172, 10. -6, 11. 23, 12. 157, 13. -31,5, 14. 4710, 15. -158, 16. 75, 17. -45, 18. -54, 19. 236, 20. -23, 21. 3,8, 22. -435
-45x+34
x 1. -611, 2. 236, 3. 3,8, 4. 4, 5. -1,6, 6. -116, 7. -32, 8. 27, 9. -172, 10. -6, 11. 23, 12. 157, 13. -31,5, 14. 4710, 15. -158, 16. 75, 17. -45, 18. -54, 19. 236, 20. -23, 21. 3,8, 22. -435
7x-6>-3x+5
x> 1. -611, 2. 236, 3. 3,8, 4. 4, 5. -1,6, 6. -116, 7. -32, 8. 27, 9. -172, 10. -6, 11. 23, 12. 157, 13. -31,5, 14. 4710, 15. -158, 16. 75, 17. -45, 18. -54, 19. 236, 20. -23, 21. 3,8, 22. -435
x+74<2x-36
x> 1. -611, 2. 236, 3. 3,8, 4. 4, 5. -1,6, 6. -116, 7. -32, 8. 27, 9. -172, 10. -6, 11. 23, 12. 157, 13. -31,5, 14. 4710, 15. -158, 16. 75, 17. -45, 18. -54, 19. 236, 20. -23, 21. 3,8, 22. -435
3x-432x-35+x
x 1. -611, 2. 236, 3. 3,8, 4. 4, 5. -1,6, 6. -116, 7. -32, 8. 27, 9. -172, 10. -6, 11. 23, 12. 157, 13. -31,5, 14. 4710, 15. -158, 16. 75, 17. -45, 18. -54, 19. 236, 20. -23, 21. 3,8, 22. -435
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1aE0E6X9K38c31
Ćwiczenie 15
Poniżej przedstawiono pewne nierówności i ich rozwiązania. Połącz w pary nierówność z odpowiednim rozwiązaniem. 4x+32-4x+2x-2<5 Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527 x+22>x2+4 Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527 4x+32+1-2x1+2x<-x+2 Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527 9x+162<13x-5+3x-162 Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527 x3-2x3+2<x-223 Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527 3x-4233x-32+x Możliwe odpowiedzi: 1. x<-4733, 2. x>0, 3. x<-75, 4. x<-4724, 5. x<4, 6. x6527
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 16

Wypisz wszystkie liczby całkowite:

  1. należące do przedziału-, 3 i do przedziału -2,1

  2. należące do przedziału-4,8 i do przedziału 0,6

  3. należące do przedziału-5,-3 i do przedziału -4,

  4. należące do przedziału-5,-3

R15RSidGF65Dd
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Relq5SdXVEeJJ3
Ćwiczenie 17
Rozwiąż równania i pogrupuj odpowiedzi. Przeciągnij odpowiednie rozwiązanie w puste pole. x-10=6 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 x+55=11 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 x-12=13 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 x+534=314 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 2x-4=7 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 3x-5=9 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 4-x=6 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 5+x=78 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3 x-2=3 Możliwe odpowiedzi: 1. x=4, 2. x=12, 3. x=56, 4. x=-66, 5. x=-44, 6. x=-9, 7. x=423, 8. x=10, 9. x=-418, 10. x=712, 11. x=-113, 12. x=2+3, 13. x=-578, 14. x=16, 15. x=16, 16. x=-2, 17. x=-212, 18. x=2-3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 18

Wyznacz liczby spełniające poniższe równania. Zaznacz poprawne odpowiedzi dla każdego równania.

RQUMlTi5Vi9jF
a. x=6,25·1015 Możliwe odpowiedzi: 1. x=-6,25·1015, 2. x=-6,25·1010, 3. x=6,25·10, 4. x=6,25·1015, 5. x=15·106,25
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgOYftyZ4OUWQ
b. x-210=29 Możliwe odpowiedzi: 1. x=3·29, 2. x=29, 3. x=2·39, 4. x=210, 5. x=3·210
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Rst3XWFRmxx9w3
Ćwiczenie 19
Uzupełnij poniższe zdania tak, aby były zdaniami prawdziwymi. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz prawidłową odpowiedź. Równanie x-2=3 1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.Równanie x-3=5 1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.Równanie x+9=0 1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.Równanie x+3=-2 1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.Równanie x-7=0 1. nie ma rozwiązań, 2. ma dokładnie dwa rozwiązania, 3. nie ma rozwiązań, 4. ma dokładnie dwa rozwiązania, 5. ma dokładnie dwa rozwiązania, 6. ma dokładnie dwa rozwiązania, 7. ma dokładnie dwa rozwiązania, 8. nie ma rozwiązań, 9. nie ma rozwiązań, 10. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 11. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 12. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 13. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 14. ma dokładnie jedno rozwiązanie, 15. nie ma rozwiązań.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.