Wielokąty i ich własności

Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.

Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy $3:2$. Obwód tego prostokąta jest równy $60\mathrm{ dm}$. Obliczymy pole prostokąta.

Oznaczmy:

• $3x$ – długość prostokąta (w $\mathrm{dm}$),

• $2x$ – szerokość prostokąta (w $\mathrm{dm}$).

  R1d5XpNK9d5CM1

  Rysunek prostokąta o bokach 3x i 2x.

  

  Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.

  $$2\cdot 3x+2\cdot 2x=60$$,
  $$6x+4x=60$$,
  $$10x=60$$,
  $$x=6$$.

  Obliczamy długości boków prostokąta.

• $3\cdot 6=18 \left[\mathrm{dm}\right]$ – długość prostokąta,

• $2\cdot 6=12 \left[\mathrm{dm}\right]$ – szerokość prostokąta.

Obliczamy pole prostokąta.

Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe $216 {\mathrm{dm}}^2$.

Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $3$.

Wielokąt o  $n$–bokach ma $\frac{n\left(n-3\right)}{2}$ przekątnych.

Obliczymy, ile przekątnych ma stukąt.

Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych $n$-kąta.

Odpowiedź: Stukąt ma $4850$ przekątnych.

Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.

1. Czworokąt podzielony na trójkąty.

   RzxKlRxS3iSKC1

   Rysunek prostokąta podzielonego przekątną na dwa trójkąty.

   

   Suma miar kątów czworokąta jest równa $2·180°=360°$.

2. Pięciokąt podzielony na trójkąty.

   R16hDZpvw7H1i1

   Rysunek pięciokąta podzielonego na trzy trójkąty.

   

   Każdy $n$-kąt wypukły można podzielić na $n-2$ trójkąty. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi $180°$, a to oznacza, że suma miar kątów w $n$-kącie jest równa $\left(n-2\right)·180°$.

Niech $n$ będzie liczbą naturalną większą od $2$.

Suma miar kątów $n$–kąta jest równa $\left(n-2\right)·180°$.

Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.

RiWcdH6x2UQdv1

Rysunek sześciokąta foremnego.

Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi:

W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa:

Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa $120°$.

W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa $1440°$. Ile boków ma ten wielokąt?

Oznaczmy: $x$ – liczba boków wielokąta ($x$ – liczba naturalna dodatnia).

Otrzymujemy równanie:

Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.

• Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.

• Działaniem odwrotnym do odejmowania jest dodawanie.

Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa $1440°$, to dziesięciokąt.

Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.

R1FyLXwM77OyP1

Rysunek trapezu z nazwami boków: podstawa górna, podstawa dolna, ramię, ramię. Z wierzchołka górnej podstawy poprowadzona wysokość, która z podstawą dolną tworzy kąt 90 stopni.

Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.

Trapez, którego ramiona są równe, i nie jest on równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.

R1LpXcWmP1oOV1

Rysunek trapezu równoramiennego. Kąty wewnętrzne przy podstawie dolnej mają miarę alfa, kąty przy podstawie górnej miarę beta.

Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę $90°,$ nazywamy trapezem prostokątnym.

R1IWBMCNhtHv51

Rysunek trapezu prostokątnego. Zaznaczony kąt 90 między ramieniem a podstawą dolną.

W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.

Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa $180°$.

Obwód trapezu równoramiennego jest równy $22\mathrm{ cm}$. Jedna podstawa ma długość $3\mathrm{ cm}$, a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o $1\mathrm{ cm}$ krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.

Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając $a$ – długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa:

R1VaPjNytyc9a1

Rysunek trapezu równoramiennego o podstawach 9 cm i 3 cm oraz ramionach długości a. Poprowadzona wysokość h = a -1

Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy $22\mathrm{ cm}$, zatem:

Ramię trapezu ma długość $5\mathrm{ cm}$.

Wysokość jest o $1\mathrm{ cm}$ krótsza niż ramię, więc ma długość:

Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.

Odpowiedź: Pole trapezu jest równe $24 {\mathrm{cm}}^2$.

Pole trapezu równoramiennego $ABCD$ jest równe $72 {\mathrm{cm}}^2$. Wysokość trapezu jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy i wynosi $8\mathrm{ cm}$. Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość poprowadzona z wierzchołka $D$ dzieli podstawę $AB$.

R6iuEG2oC16751

Rysunek trapezu równoramiennego A B C D o wysokości równej 8 cm i górnej podstawie długości a. Poprowadzone z wierzchołków górnej podstawy wysokości podzieliły dolną podstawę na trzy odcinki. Środkowy odcinek jest równy górnej podstawie, dwa pozostałe odcinki mają długość x.

Obliczamy długość $a$ krótszej podstawy.

Obliczamy długość drugiej podstawy, korzystając ze wzoru na pole trapezu.

Druga podstawa ma długość $14\mathrm{ cm}$.

Zauważmy, że gdy poprowadzimy wysokości z wierzchołków $C$ i $D$, to podzielą one dłuższą podstawę na trzy części. Środkowa z nich jest równa krótszej podstawie, dwie pozostałe mają równe długości.

Oznaczmy: $x$ – długość jednej z tych części.

Wysokość $DE$ podzieliła dłuższą podstawę na odcinki $AE$ i $EB$, z których jeden ma długość $5\mathrm{ cm}$, a drugi

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.

R1TXCsFHpsJuC1

Rysunek równoległoboku A B C D. Zapis: AB równoległe do DC i AD równoległe do BC.

Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.

Pole równoległoboku jest równe iloczynowi wysokości równoległoboku i długości podstawy, do której ta wysokość została poprowadzona.

RXJ25uEnd519D1

Rysunek czterech figur. Kwadrat o boku a. P = a do potęgi drugiej. Prostokąt o bokach a i b. P = a razy b. Romb o boku a i wysokości h. P = a razy h. Równoległobok o bokach a i b, wysokościach h z indeksem dolnym a i h z indeksem dolnym b. P = a razy h z indeksem dolnym a = b razy h z indeksem dolnym b

Pole równoległoboku $ABCD$ jest równe $24 {\mathrm{dm}}^2$, a długości jego boków są równe $6\mathrm{ dm}$ i $12 \mathrm{dm}$.

Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie $S$.

1. Oblicz wysokości równoległoboku.

2. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

3. Oblicz wysokość trójkąta $ASB$.

Rozwiązanie.

1. Równoległobok ma dwie wysokości. Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku – zapisujemy odpowiednie równości, z których wyznaczamy wysokości $h$ oraz $H$.

   RDSbl60aaTH3b1

   Rysunek równoległoboku A B C D o bokach długości 6 dm i 12 dm. Wysokość h poprowadzona do boku 12 dm, a wysokość H do boku 6 dm.

   

Odpowiedź: Wysokości równoległoboku są równe $2\mathrm{ dm}$ i  $4\mathrm{ dm}$.

2. Przekątna dzieli równoległobok na dwa takie same trójkąty. Zatem pole trójkąta $ABC$ jest równe połowie pola równoległoboku.

R1JMjxfY2PGML1

Rysunek równoległoboku A B C D o bokach długości 6 dm i 12 dm z poprowadzoną przekątną AC.

Odpowiedź: Pole trójkąta $ABC$ jest równe $12 {\mathrm{dm}}^2$.

R1CdvnzzCBfDE1

Rysunek równoległoboku A B C D . Przekątne przecinają się w punkcie S. Z punktu S poprowadzony prostopadły odcinek do dłuższego boku równoległoboku.

Wysokość trójkąta $ASB$ stanowi połowę długości wysokości $h$ równoległoboku.

Odpowiedź: Wysokość trójkąta $ASB$ jest równa $1\mathrm{ dm}$.

Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.

R13Px8qLcQPD91

Rysunek deltoidu o bokach a i b. Poprowadzone przekątne przecinają się pod kątem prostym.