Wielokąty i ich własności
W tym materiale zapoznasz się z pojęciami związanymi z wielokątami oraz przeanalizujesz przykłady wykorzystania tych pojęć. Rozwiązując zamieszczone tu ćwiczenia, zastosujesz zdobytą wiedzę wyznaczając elementy wielokątów, obliczając ich obwody oraz pola.
Wielokąt
Wielokąt, który ma -boków, nazywamy -kątem.
Połącz w pary.
<img><br>, <img><br>, <img><br>, <img><br>
pięciokąt | |
sześciokąt | |
siedmiokąt | |
dziesięciokąt |
Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.
Stosunek długości dwóch boków prostokąta jest równy . Obwód tego prostokąta jest równy . Obliczymy pole prostokąta.
Oznaczmy:
– długość prostokąta (w ),
– szerokość prostokąta (w ).
R1d5XpNK9d5CM1 Zapisujemy i rozwiązujemy równanie wynikające z treści zadania.
,,,.Obliczamy długości boków prostokąta.
– długość prostokąta,
– szerokość prostokąta.
Obliczamy pole prostokąta.
Odpowiedź. Pole prostokąta jest równe .
Greckie okręty wojenne wyposażone były w żagle prostokątne. Pełniły one rolę pomocniczą, gdyż główny napęd okrętów stanowiły wiosła.
Egipcjanie, żeglując po Nilu, posługiwali się żaglami trójkątnymi, wykorzystującymi wiatr wiejący z pustyni w poprzek rzeki.
Łodzie w północnej Europie korzystały z pojedynczego żagla w kształcie trapezu lub prostokąta.
Przekątne wielokąta
Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.
Narysuj przekątne poniższych wielokątów.
Ile przekątnych będzie miał:
a) czworokąt,
b) pięciokąt,
c) sześciokąt?
Rysunek przedstawia wielokąty z zaznaczonymi przekątnymi.
Niech będzie liczbą naturalną większą od .
Wielokąt o –bokach ma przekątnych.
Obliczymy, ile przekątnych ma stukąt.
Korzystamy ze wzoru na liczbę przekątnych -kąta.
Odpowiedź: Stukąt ma przekątnych.
Wielokąt wypukły – dowolne dwa jego punkty można połączyć odcinkiem zawartym w wielokącie.
Wielokąt wklęsły – wielokąt, który nie jest wypukły.
Suma kątów wielokąta
Suma miar kątów w trójkącie wynosi .
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.
Każdy wielokąt wypukły można podzielić na trójkąty o wspólnym wierzchołku, który jest zarazem wierzchołkiem wielokąta.
Na ile takich trójkątów można podzielić czworokąt? A pięciokąt? A sześciokąt?
A siedmiokąt? Określ, na ile takich trójkątów można podzielić ośmiokąt i sprawdź swoje przypuszczenia, wykonując odpowiedni rysunek.
Czy zauważasz jakąś zależność między liczbą kątów wielokąta a liczbą utworzonych trójkątów?
Czy już wiesz, na ile trójkątów można podzielić w ten sposób – kąt?
R1f21dFCxqVNC1
Podział wielokątów na trójkąty jest przydatny przy określeniu sumy miar kątów dowolnego wielokąta.
Czworokąt podzielony na trójkąty.
RzxKlRxS3iSKC1 Suma miar kątów czworokąta jest równa .
Pięciokąt podzielony na trójkąty.
R16hDZpvw7H1i1 Każdy -kąt wypukły można podzielić na trójkąty. Suma miar kątów w każdym trójkącie wynosi , a to oznacza, że suma miar kątów w -kącie jest równa .
Niech będzie liczbą naturalną większą od .
Suma miar kątów –kąta jest równa .
Wyznaczymy miarę kąta sześciokąta foremnego.
Suma miar wszystkich kątów sześciokąta wynosi:
W sześciokącie foremnym kąty są równe. Jest ich sześć, zatem miara jednego z nich jest równa:
Odpowiedź. Miara kąta sześciokąta foremnego jest równa .
W pewnym wielokącie suma miar kątów jest równa . Ile boków ma ten wielokąt?
Oznaczmy: – liczba boków wielokąta ( – liczba naturalna dodatnia).
Otrzymujemy równanie:
Równanie rozwiązujemy metodą działań odwrotnych.
Działaniem odwrotnym do mnożenia jest dzielenie.
Działaniem odwrotnym do odejmowania jest dodawanie.
Odpowiedź: Wielokąt, którego suma miar kątów jest równa , to dziesięciokąt.
Trapezy
Czworokąty, podobnie jak trójkąty, można klasyfikować ze względu na miary ich kątów oraz długości ich boków.
Zapoznaj się z poniższym apletem.
Zapoznaj się z opisem poniższego apletu.
Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.
Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.
Trapez, którego ramiona są równe, i nie jest on równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.
W trapezie równoramiennym:
przekątne są równe,
miary kątów leżących przy tej samej podstawie są równe.
Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę nazywamy trapezem prostokątnym.
W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.
Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa .
Uzasadnij, że suma miar kątów przy jednym z ramion trapezu jest równa .
Pole trapezu o podstawach , i wysokości wyraża się wzorem.
Oblicz pole każdego z trapezów. Przyjmij jako jednostkę pola pole jednej kratki.
Obwód trapezu równoramiennego jest równy . Jedna podstawa ma długość , a druga jest trzykrotnie dłuższa. Wysokość jest o krótsza od długości ramienia. Oblicz pole trapezu.
Zaznaczamy na rysunku sytuację przedstawioną w zadaniu, oznaczając – długość ramienia trapezu. Dłuższa podstawa jest równa:
Znajdziemy najpierw długość ramienia trapezu. Obwód trapezu jest równy , zatem:
Ramię trapezu ma długość .
Wysokość jest o krótsza niż ramię, więc ma długość:
Obliczamy pole trapezu, korzystając z odpowiedniego wzoru.
Odpowiedź: Pole trapezu jest równe .
Pole trapezu równoramiennego jest równe . Wysokość trapezu jest dwa razy dłuższa od krótszej podstawy i wynosi . Oblicz długości odcinków, na jakie wysokość poprowadzona z wierzchołka dzieli podstawę .
Obliczamy długość krótszej podstawy.
Obliczamy długość drugiej podstawy, korzystając ze wzoru na pole trapezu.
Druga podstawa ma długość .
Zauważmy, że gdy poprowadzimy wysokości z wierzchołków i , to podzielą one dłuższą podstawę na trzy części. Środkowa z nich jest równa krótszej podstawie, dwie pozostałe mają równe długości.
Oznaczmy: – długość jednej z tych części.
Wysokość podzieliła dłuższą podstawę na odcinki i , z których jeden ma długość , a drugi
Równoległoboki
Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.
Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.
Jeśli kąty w równoległoboku są równe, to taki równoległobok jest prostokątem.
Aby równoległobok był prostokątem, wystarczy, aby jeden jego kąt był prosty.
Przypomnijmy kilka ważnych własności równoległoboku.
Punkt przecięcia przekątnych równoległoboku dzieli każdą z nich na połowę,
RQIh1ujXr8FSN1 Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa jednakowe trójkąty,
Rmd6WLWyOaJzg1 Punkt przecięcia przekątnych wyznacza środek symetrii równoległoboku,
Rdhicrta40etE1 Przeciwległe kąty równoległoboku mają równe miary,
RMLFVU5DD0F5L1 Suma miar kątów, leżących przy jednym boku równoległoboku, jest równa .
RhN6tBirOItze1
Równoległobok ma dwie wysokości. W prostokącie wysokości są zarazem długościami boków.
Pole równoległoboku jest równe iloczynowi wysokości równoległoboku i długości podstawy, do której ta wysokość została poprowadzona.
Pole kwadratu oraz pole rombu można obliczyć inaczej.
Pole kwadratu jest równe połowie kwadratu długości jego przekątnej.
Pole rombu jest równe połowie iloczynu długości jego przekątnych.
R1dysOh8sDYW51
Pole równoległoboku jest równe , a długości jego boków są równe i .
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie .
Oblicz wysokości równoległoboku.
Oblicz pole trójkąta .
Oblicz wysokość trójkąta .
Rozwiązanie.
Równoległobok ma dwie wysokości. Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku – zapisujemy odpowiednie równości, z których wyznaczamy wysokości oraz .
RDSbl60aaTH3b1
Odpowiedź: Wysokości równoległoboku są równe i .
Przekątna dzieli równoległobok na dwa takie same trójkąty. Zatem pole trójkąta jest równe połowie pola równoległoboku.
Odpowiedź: Pole trójkąta jest równe .
Wysokość trójkąta stanowi połowę długości wysokości równoległoboku.
Odpowiedź: Wysokość trójkąta jest równa .
Czworokąty osiowosymetryczne
Zastanów się, które czworokąty mają oś symetrii. Sprawdź swoje przypuszczenia, zmieniając położenie wierzchołków czworokątów.
Zmieniaj położenie punktów , , , . Punkty , , , są obrazami tych punktów w symetrii osiowej.
Jakie czworokąty możemy uzyskać?
Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Własności deltoidu:
Oś symetrii deltoidu jest symetralną drugiej przekątnej.
Przekątne deltoidu są prostopadłe.
Dwa sąsiednie boki deltoidu są tej samej długości.
Kąty między różnymi bokami są równe.
Latawce prawdopodobnie wynaleziono w Chinach ok. . p.n.e. Początkowo były budowane w kształcie ptaków lub bajkowych zwierząt, np. smoków. Często używano ich w czasie działań wojennych, aby przestraszyć wroga. W Polsce w tym celu wykorzystywano latawce w bitwie pod Legnicą w . Przez wieki latawce były pomocne w badaniach meteorologicznych, ratownictwie morskim, wykonywaniu zdjęć z powietrza.
Latawce mogą się wznieść na wysokość .
Obecnie latawce mają najczęściej kształt deltoidów.
Połącz w pary wielokąt z liczbą jego przekątnych.
pięciokąt, studwudziestokąt, siedmiokąt, dwudziestokąt
5 | |
170 | |
14 | |
7020 |
Czy wielokąt może mieć przekątnych? Odpowiedź uzasadnij.
Podaj przykład:
wielokąta, w którym przekątne są równe,
wielokąta foremnego, w którym przynajmniej dwie przekątne mają różne długości.
Na rysunku przedstawiony jest trapez. Oblicz, ile wynosi jego pole.
Oblicz pole każdego z wielokątów. Przyjmij za jednostkę pole jednej kratki.
Pole wielokąta jest równe . Oblicz długość odcinka .
Pole trapezu równoramiennego wynosi . Oblicz długość krótszej podstawy trapezu.
Narysuj czworokąt, który ma
jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.
Podaj czworokąt, który ma
jedną oś symetrii,
dwie osie symetrii,
cztery osie symetrii.
Narysuj deltoid, który nie jest rombem i którego pole jest równe .
Z jakich figur może się składać deltoid, który nie jest rombem i którego pole jest równe ?
Uzasadnij, że czworokąt, którego przekątne przecinają się w połowie długości, jest równoległobokiem.