Wielokąty i okręgi - zadania obliczeniowe

Ważne jest, aby znać podstawowe własności wielokątów oraz wiedzieć, jak obliczyć obwód oraz pole podanego wielokąta. W tej lekcji:

wyznaczysz brakujące kąty w wielokącie,
określisz długość średnicy oraz cięciwy w okręgu,
obliczysz pola i obwody wielokątów.

Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie własności dotyczące okręgów, skorzystaj z lekcji Okrąg i kołoPXj0nbySbOkrąg i koło. Informacje na temat wielokątów możesz jeszcze raz przeanalizować, korzystając z lekcji Wielokąty, ich własności i rodzajeP8UYIULyuWielokąty, ich własności i rodzaje. Własności kątów w wielokącie znajdziesz w lekcji Kąty w figurach, przekątneP17eDnFE2Kąty w figurach, przekątne.

Ważne!

Podczas rozwiązywania zadań przydatne będą wzory na pole trójkąta, kwadratu oraz prostokąta. Przypomnijmy je teraz.

Pole trójkąta

$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ , gdzie $h$ oznacza wysokość trójkąta poprowadzoną do tej podstawy.

Pole kwadratu

$P = a^{2}$ , gdzie $a$ oznacza długość boku kwadratu.

Pole prostokąta

$P = a b$ , gdzie $a$ , $b$ to długości boków prostokąta.

R13YDHtcIyc1n1

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RxPbyoWhRdKL41

Ćwiczenie 2

Wybierz.

4 cm, 12 cm, 9 cm, 3 cm

a) Średnica okręgu o promieniu $6 cm$ ma długość ............
b) Cięciwa okręgu o promieniu $4 cm$ nie może mieć długości ............

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAQjp1vut9P4f1

Ćwiczenie 3

Uzupełnij poniższe zdania podanymi wartościami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Dwa kąty trójkąta mają miary

35 °

75 °

. Trzeci kąt tego trójkąta ma miarę 1.

69 °

, 2.

85 °

, 3.

70 °

, 4.

71 °

.Kąt między ramionami trójkąta równoramiennego ma miarę

42 °

. Kąt przy podstawie tego trójkąta ma miarę 1.

69 °

, 2.

85 °

, 3.

70 °

, 4.

71 °

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YSi7WbUVuUD1

Ćwiczenie 4

Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednie liczby. Jeśli w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę

60 °

, to najmniejszy z kątów ma miarę Tu uzupełnij

°

W trójkącie prostokątnym równoramiennym miary kątów wynoszą:

90 °

, Tu uzupełnij

°

oraz Tu uzupełnij

°

.Jeśli w trójkącie równoramiennym rozwartokątnym jeden z kątów ma miarę

110 °

, to pozostałe dwa kąty mają miary Tu uzupełnij

°

oraz Tu uzupełnij

°

.Jeśli w trójkącie równoramiennym dwa z kątów mają miary

50 °

oraz

80 °

, to trzeci kąt ma miarę Tu uzupełnij

°

Uzupełnij.

a) Jeśli w trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę $60 °$ , to najmniejszy z kątów ma miarę ............ $°$
b) W trójkącie prostokątnym równoramiennym miary kątów wynoszą: $90 °$ , ............ $°$ oraz ............ $°$ .
c) Jeśli w trójkącie równoramiennym rozwartokątnym jeden z kątów ma miarę $110 °$ , to pozostałe dwa kąty mają miary ............ $°$ oraz ............ $°$ .
d) Jeśli w trójkącie .............................. dwa z kątów mają miary $50 °$ oraz $80 °$ , to trzeci kąt ma miarę ............ $°$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R50DqscTQebL61

Ćwiczenie 5

Czy z odcinków o długości

1 m

2 m

3 m

można skonstruować trójkąt?
Wybierz z listy poprawną odpowiedź na powyższe pytanie oraz poprawne uzasadnienie. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: 1. suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka., 2. suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa długości najdłuższego odcinka., 3. Nie, 4. Tak , ponieważ 1. suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka., 2. suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa długości najdłuższego odcinka., 3. Nie, 4. Tak

Wybierz z listy poprawną odpowiedź na poniższe pytanie oraz poprawne uzasadnienie.

Tak, suma długości dwóch krótszych odcinków jest równa długości najdłuższego odcinka., Nie, suma długości dwóch krótszych odcinków jest większa od długości najdłuższego odcinka.

Czy z odcinków o długości $1 m$ , $2 m$ , $3 m$ można skonstruować trójkąt ?

.............................................................................................................................................................................................. , ponieważ ..............................................................................................................................................................................................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1euMHG91LTZI1

Ćwiczenie 6

W każdym rombie przekątne są prostopadłe.
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
Czworokąt, który ma tylko jedną parę boków równoległych to równoległobok.
Każdy kwadrat jest trapezem.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Wielokąty przedstawione na rysunku to: romb, trapez i równoległobok.

RIY8dycikNCIx1

Rysunek trzech czworokątów. Pierwsza figura to romb podzielony dłuższą przekątną na dwa jednakowe trójkąty. Zaznaczony kąt 110 stopni między bokami rombu i kąt alfa między przekątną a bokiem rombu. Druga figura to trapez, w którym kąty przy jednym ramieniu są równe 65 stopni i beta oraz przy drugim ramieniu 140 stopni i gamma. Trzecia figura to równoległobok o kątach 155 stopni i delta. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1V3du5UPvGOL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R6cuxRzWA9qho2

Ćwiczenie 8

Uzupełnij.

Pole kwadratu o boku długości $20 m$ wynosi ............ $m^{2}$ , czyli $4$ ............. Jeżeli pole o powierzchni $1, 5 ha$ podzielimy na trzy działki o jednakowej powierzchni, to pole jednej działki będzie równe ............ $a$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rx5yrM5te5oiu2

Ćwiczenie 9

Przeciągnij i upuść.

$30, 2 m^{2}$ , $0, 15 {km}^{2}$ , $1 500 {km}^{2}$ , $3, 02 m^{2}$ , $2 000 {mm}^{2}$ , $200 {dm}^{2}$

a) $20 {cm}^{2} =$ ................
b) $302 {dm}^{2} =$ ................
c) $15 ha =$ ................

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

ROrJc6LnZCciL2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Na rysunku znajdują się: trójkąt różnoboczny $A B C$ , trójkąt prostokątny $K L M$ oraz trójkąt równoramienny $S T W$ .

RwSWRApnONcxd1

Rysunek trzech trójkątów. Pierwszy trójkąt różnoboczny A B C ma boki długości 12 cm, 16 cm i 5,5 cm oraz wysokość opuszczoną na najdłuższy bok równą 4 cm. Drugi trójkąt prostokątny K L M ma przyprostokątne równe 6 cm i 8 cm oraz przeciwprostokątną równą 10 cm. Trzeci trójkąt równoramienny S T W ma wysokość opuszczoną na podstawę równą 5 cm, ramię równe 9 cm i połowę podstawy długości 7,5 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1cG2KBi5ywYV

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Przekątna rombu o długości $10 cm$ dzieli go na dwa trójkąty o obwodach $30 cm$ .

ROTLlkcgW67HX1

Rysunek rombu o boku a i przekątnej 10 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1IDYfhb7eKYH

$20 cm$
$40 cm$
$50 cm$
$60 cm$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TpTjQNoColn2

Ćwiczenie 13

W kwadracie o boku

6 cm

dwa równoległe boki zwiększono o

\frac{1}{3}

dotychczasowej długości, a pozostałe dwa zmniejszono o połowę i otrzymano prostokąt.
Uzupełnij luki w zdaniach podanymi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Pole tego prostokąta jest mniejsze od pola kwadratu o 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

15

, 4.

9

, 5.

\frac{5}{3}

, 6.

12

{cm}^{2}

.Pole otrzymanego prostokąta stanowi 1.

\frac{2}{3}

, 2.

\frac{3}{2}

, 3.

15

, 4.

9

, 5.

\frac{5}{3}

, 6.

12

pola kwadratu.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LM3gpu5FEQa3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Trapez równoramienny i prostokąt, przedstawione na poniższym rysunku, mają równe obwody. Oblicz długość ramienia tego trapezu, jeśli promienie kół rozmieszczonych w prostokącie mają po $5 cm$ długości.

RDUbcCvnTPtOr1

Rysunek trapezu równoramiennego i prostokąta. Trapez ma podstawy długości 32 cm i 4,6 dm oraz wysokość równą krótszemu bokowi prostokąta. W prostokącie umieszczone jest 10 kół po pięć w dwóch rzędach. Dłuższy bok prostokąta równy jest długości dziesięciu promieni kół, a krótszy bok prostokąta jest równy długości czterech promieni kół. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15lq3AOpE39V

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1Hd0wl6B8G9v3

Ćwiczenie 16

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

Figura przedstawiona na rysunku składa się z $6$ prostokątów. Długości boków każdego z tych prostokątów wyrażają się liczbami naturalnymi. W każdym z prostokątów wpisane jest jego pole. Oblicz pola oznaczone literami $X$ oraz $Y$ .

R1PBDldcA53sV1

Ilustracja przedstawia prostokąt, podzielony na sześć różnych części. Są to prostokąty, które umieszczone są w dwóch rzędach po trzy. W pierwszym rzędzie pierwszy prostokąt ma pole 6 centymetrów kwadratowych, drugi prostokąt ma pole 8 centymetrów kwadratowych, a trzeci prostokąt ma pole 12 centymetrów kwadratowych. W drugim rzędzie pierwszy prostokąt ma pole X, drugi prostokąt ma pole 16 centymetrów kwadratowych, a trzeci prostokąt ma pole Y. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUJNBVk7cNYPP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.