Własności pierwiastków

Obliczanie pierwiastków z dużych liczb bywa bardzo trudne. W tym materiale poznasz twierdzenia, dzięki którym można ułatwić te obliczenia. Poznasz też przykłady zastosowania tych twierdzeń oraz sprawdzisz swoje umiejętności wykonując ćwiczenia.

Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej

Własność: Kwadrat pierwiastka drugiego stopnia z dowolnej liczby nieujemnej

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt{a})}^{2} = \sqrt{a^{2}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a

Na przykład:

\sqrt{57} \cdot \sqrt{57} = 57

{(\sqrt{129})}^{2} = 129

\sqrt{698^{2}} = 698

Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby

Własność: Sześcian pierwiastka trzeciego stopnia z dowolnej liczby

Dla dowolnej liczby $a$ zachodzą równości:

{(\sqrt[3]{a})}^{3} = \sqrt[3]{a^{3}} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a} = a

Na przykład:

\sqrt[3]{74} \cdot \sqrt[3]{74} \cdot \sqrt[3]{74} = 74

{(\sqrt[3]{127})}^{3} = 127

\sqrt[3]{6, 435^{3}} = 6, 435

Przykład 1

R1DStYfPUVeoY1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Dla dowolnych liczb nieujemnych $a$ i $b$ zachodzi równość:

\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}

Dla dowolnych liczb $a$ i $b$ zachodzi równość:

\sqrt[3]{a \cdot b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}

Pierwiastek z iloczynu jest równy iloczynowi pierwiastków.

Przykład 2

Rx40PJc3jpKt21

Zapamiętaj!

Dla dowolnej liczby nieujemnej $a$ i liczby dodatniej $b$ zachodzi równość:

\sqrt{a : b} = \sqrt{a} : \sqrt{b}

oraz

\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}

Dla dowolnej liczby $a$ i liczby $b$ różnej od zera zachodzi równość:

\sqrt[3]{a : b} = \sqrt[3]{a} : \sqrt[3]{b}

oraz

\sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

Pierwiastek z ilorazu jest równy ilorazowi pierwiastków.

Powyższe wzory ułatwiają wyznaczanie pierwiastków kwadratowych i sześciennych z bardzo dużych liczb oraz ułatwiają wykonywanie działań z pierwiastkami.

Przykład 3

RWKslnOthQ4gf1

Przykład 4

R16HfRXGASL5F1

Jeżeli liczba $a$ jest liczbą wymierną, to zwykle piszemy: $a \cdot \sqrt{b} = a \sqrt{b}$ i $a \cdot \sqrt[3]{b} = a \sqrt[3]{b}$ .

Przykład 5

R15lEcF7drzgt1

Przykład 6

Obliczmy wartości pierwiastków, wykorzystując prawa działań na potęgach.

$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt{{(2^{3})}^{2}} = 2^{3} = 8$
$\sqrt{2^{6}} = \sqrt{2^{3 + 3}} = \sqrt{2^{3} \cdot 2^{3}} = \sqrt{2^{3}} \cdot \sqrt{2^{3}} = 2^{3} = 8$
$\sqrt{25^{3}} = \sqrt{25^{1 + 2}} = \sqrt{25^{1}} \cdot \sqrt{25^{2}} = 5 \cdot 25 = 125$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 \cdot 4} = {({(\sqrt{2})}^{2})}^{4} = 2^{4} = 16$
${(\sqrt{2})}^{8} = {(\sqrt{2})}^{2 + 2 + 2 + 2} = {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot {(\sqrt{2})}^{2} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 \cdot 3}} = \sqrt[3]{{(6^{3})}^{3}} = 6^{3} = 216$
$\sqrt[3]{6^{9}} = \sqrt[3]{6^{3 + 3 + 3}} = \sqrt[3]{6^{3} \cdot 6^{3} \cdot 6^{3}} = \sqrt[3]{6^{3}} \cdot \sqrt[3]{6^{3}} \cdot \sqrt[3]{6^{3}} = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$
${(- \sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{3 + 3} = {(\sqrt[3]{4})}^{3} \cdot {(\sqrt[3]{4})}^{3} = 4 \cdot 4 = 16$
${(- \sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{6} = {(\sqrt[3]{4})}^{3 \cdot 2} = {({(\sqrt[3]{4})}^{3})}^{2} = 4^{2} = 16$

Zapamiętaj!

Pierwiastek z sumy nie jest równy sumie pierwiastków.

Na przykład:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7

\sqrt{9 + 16} \neq \sqrt{9} + \sqrt{16}

R1OyuNV13y0HT1

R98lpcRCHzg1F1

Ćwiczenie 1

$\frac{4}{5}$
$\frac{5}{4}$
$\frac{8}{5}$
$\frac{16}{25}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1xL8onkCHwEm1

Ćwiczenie 2

$4$
$\frac{1}{4}$
$8$
$16$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkzXAPuYOII611

Ćwiczenie 3

równa $30$
równa $300$
liczbą niewymierną
równa $\sqrt[3]{2700}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rg1rtTdtn6aQ51

Ćwiczenie 4

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

\sqrt{1, 9} \cdot \sqrt{1, 9} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

\sqrt{5 \frac{6}{13}} \cdot \sqrt{5 \frac{6}{13}} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

{(\sqrt{0, 81})}^{2} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

{(\sqrt{54})}^{2} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

\sqrt{656543^{2}} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

\sqrt{235^{2}} =

36

, 2.

235

, 3.

1, 9

, 4.

656543

, 5.

152

, 6.

7854628

, 7.

0, 81

, 8.

3, 8

, 9.

54

, 10.

5 \frac{6}{13}

, 11.

6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLnGdZffJW40a2

Ćwiczenie 5

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

\sqrt[3]{- 0, 65} \cdot \sqrt[3]{- 0, 65} \cdot \sqrt[3]{- 0, 65} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

\sqrt[3]{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{27}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{27}} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

{(\sqrt[3]{- 76})}^{3} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

\sqrt[3]{11} \cdot {(\sqrt[3]{11})}^{2} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

\sqrt[3]{0, 00019^{3}} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

\sqrt[3]{{(- 1 \frac{8}{43})}^{3}} =

76

, 2.

\frac{1}{27}

, 3.

8

, 4.

- 1 \frac{8}{43}

, 5.

- 76

, 6.

- 0, 65

, 7.

0, 00019

, 8.

4, 25

, 9.

1 \frac{8}{43}

, 10.

11

, 11.

\sqrt[3]{2}

, 12.

\frac{1}{3}

, 13.

2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RBsJqN6ztSICE2

Ćwiczenie 6

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{3^{2}} + {(\sqrt{3^{2}})}^{2} + {(\sqrt{3^{2}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\sqrt[3]{5^{3}} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{2} + {(\sqrt[3]{5^{3}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt{10^{2}} + \sqrt{11^{2}}}{\sqrt{12^{2}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}{\sqrt{3^{2}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt[3]{7^{3}} + \sqrt[3]{9^{3}}}{\sqrt[3]{11^{3}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

\frac{\sqrt[3]{2^{3}} + {(\sqrt[3]{3^{3}})}^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 \frac{3}{4}

, 2.

39

, 3.

7 \frac{1}{4}

, 4.

1 \frac{5}{11}

, 5.

- 1

, 6.

155

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1I3qyjctPyVU2

Ćwiczenie 7

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{36 \cdot 4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{49 \cdot 64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{9 \cdot 25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{0, 16 \cdot 81}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{0, 01 \cdot 49 \cdot 121}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt{1, 44 \cdot 169 \cdot 25}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{8 \cdot 64}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{27 \cdot 0, 001}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{- 125 \cdot \frac{1}{8}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{216 \cdot 0, 027}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{- 8 \cdot (- 27) \cdot \frac{1}{64}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

\sqrt[3]{0, 008 \cdot 0, 001}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 02

, 2.

15

, 3.

1, 5

, 4.

0, 3

, 5.

12

, 6.

3, 6

, 7.

7, 7

, 8.

78

, 9.

56

, 10.

- 2, 5

, 11.

8

, 12.

1, 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfeUsQVszgPCK2

Ćwiczenie 8

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt{49 : 16} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt{64 : 0, 04} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt{1, 44 : 0, 09} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt{6, 25 : 25} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt{0, 36 : 81} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt[3]{216 : 125} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt[3]{0, 008 : (- 0, 001)} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt[3]{- 1000 : (- 0, 027)} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt[3]{\frac{8}{27} : (- 64)} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

\sqrt[3]{343 : 27} =

18 \frac{2}{3}

, 2.

1 \frac{1}{8}

, 3.

1 \frac{1}{5}

, 4.

1 \frac{3}{4}

, 5.

- \frac{1}{6}

, 6.

12

, 7.

- 2

, 8.

- \frac{1}{16}

, 9.

0, 5

, 10.

2 \frac{1}{3}

, 11.

0, 6

, 12.

33 \frac{1}{3}

, 13.

2 \frac{1}{4}

, 14.

2 \frac{1}{5}

, 15.

40

, 16.

\frac{1}{15}

, 17.

4

, 18.

- 1

, 19.

20

, 20.

\frac{2}{15}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIL6TawnGquhC2

Ćwiczenie 9

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt{20} \cdot \sqrt{5} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{10} \cdot \sqrt{12, 1} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{7} \cdot \sqrt{28} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{2} \cdot \sqrt{32} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{50} \cdot \sqrt{\frac{1}{2}} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{8} \cdot \sqrt{32} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{20} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt{5} \cdot \sqrt{12} \cdot \sqrt{60} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{81} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt[3]{16} \cdot \sqrt[3]{0, 5} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{6} \cdot \sqrt[3]{12} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{20} \cdot \sqrt[3]{25} =

16

, 2.

18

, 3.

11

, 4.

9

, 5.

60

, 6.

15

, 7.

17

, 8.

22

, 9.

6

, 10.

5

, 11.

31

, 12.

50

, 13.

10

, 14.

28

, 15.

4

, 16.

8

, 17.

10

, 18.

20

, 19.

14

, 20.

2

, 21.

33

, 22.

24

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkP5YaTeTx2ig2

Ćwiczenie 10

Oblicz wartości wyrażeń z lewej kolumny. Połącz w pary wyrażenia i ich wartości.

\sqrt{18} : \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{56} : \sqrt{3, 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{125} : \sqrt{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{0, 03} : \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt{100000} : \sqrt{1000}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{- 16} : \sqrt[3]{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{0, 007} : \sqrt[3]{7}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{- 25} : \sqrt[3]{- \frac{1}{5}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{13, 5} : \sqrt[3]{- 0, 5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\sqrt[3]{54} : \sqrt[3]{\frac{1}{4}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\frac{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{12}}{\sqrt[3]{3}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

\frac{\sqrt[3]{108} : \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3

, 2.

6

, 3.

0, 1

, 4.

2

, 5.

3

, 6.

- 2

, 7.

10

, 8.

5

, 9.

4

, 10.

5

, 11.

0, 1

, 12.

3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RojOx29wcv9t42

Ćwiczenie 11

Oblicz, a następnie uzupełnij równości, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej.

\sqrt{\frac{2}{7}} : \sqrt{3 \frac{1}{2}} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

\sqrt{5 \frac{1}{3}} : \sqrt{8 \frac{1}{3}} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

\sqrt{\frac{49}{50}} : \sqrt{\frac{1}{50}} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

\sqrt{2 \frac{1}{2}} \cdot \sqrt{\frac{5}{8}} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

\sqrt[3]{1 \frac{3}{5}} : \sqrt[3]{12 \frac{4}{5}} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

\sqrt[3]{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{9}} : \sqrt[3]{27} =

7

, 2.

\frac{4}{5}

, 3.

5

, 4.

\frac{3}{4}

, 5.

1

, 6.

\frac{5}{9}

, 7.

\frac{2}{7}

, 8.

\frac{3}{5}

, 9.

4

, 10.

\frac{4}{7}

, 11.

\frac{1}{2}

, 12.

\frac{1}{4}

, 13.

8

, 14.

\frac{7}{9}

, 15.

\frac{1}{9}

, 16.

\frac{2}{5}

, 17.

\frac{2}{9}

, 18.

\frac{5}{4}

, 19.

\frac{3}{2}

, 20.

6

, 21.

\frac{1}{7}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1EbTud7eEzcT2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

RfwF95G3oxndK2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RwXtm2NfS84gU2

Ćwiczenie 14

Poniżej przedstawiono pewne liczby. Połącz w pary te, które są sobie równe.

{(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{- (- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- 2})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{- (\sqrt[3]{2})}^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(- \sqrt{2})}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(- \sqrt{2})}^{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

{(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{6}

Możliwe odpowiedzi: 1.

2

, 2.

\frac{1}{4}

, 3.

4

, 4.

- \frac{1}{4}

, 5.

- 2

, 6.

- 4

, 7.

- \frac{1}{2}

, 8.

\frac{1}{2}

Połącz w pary.

${(- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{2}$
${- (- \sqrt{\frac{1}{2}})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- 2})}^{3}$
${- (\sqrt[3]{2})}^{6}$
${(- \sqrt{2})}^{2}$
${(- \sqrt{2})}^{4}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{3}$
${(\sqrt[3]{- \frac{1}{2}})}^{6}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1d5xeY0LQXER2

Ćwiczenie 15

Oblicz wartość wyrażenia dla podanej wartości

x

. Wpisz rozwiązania w puste pola. Wartość wyrażenia

3 x^{2} - 2

dla

x = \sqrt{6}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

5 - x^{2}

dla

x = - \sqrt{10}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

x^{3} - 11

dla

x = \sqrt[3]{- 7}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

- 7 x^{3} + 4

dla

x = \sqrt[3]{2}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

x^{4} + x^{2} - 9

dla

x = \sqrt{3}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

- 3 x^{4} + 4 x^{2} + 1

dla

x = \sqrt{5}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

x^{6} - 2 x^{3} + 5

dla

x = \sqrt[3]{- 3}

wynosi Tu uzupełnij.Wartość wyrażenia

2 x^{9} - 6 x^{6} - 4

dla

x = \sqrt[3]{- 10}

wynosi Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rpn3zkhVlLO0a21

Ćwiczenie 16

Zapisz w prostszej postaci. Połącz wyrażenie z jego uproszczoną postacią.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{2} - 7 \sqrt{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

3 \sqrt{5} - 4 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

6 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} + \sqrt{7} - \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

- 10 \sqrt{6} + 3 \sqrt{10} - 12 \sqrt{6} + 7 \sqrt{10} + \sqrt{6} - 9 \sqrt{10}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

\sqrt[3]{4} - 8 \sqrt[3]{4} + 3 \sqrt[3]{4}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

2 \sqrt[3]{9} - 2 \sqrt[3]{2} - 13 \sqrt[3]{9} - 19 \sqrt[3]{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

\sqrt[3]{15} - 15 \sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{3} - 4 \sqrt[3]{15} - 4 \sqrt[3]{5} + 6 \sqrt[3]{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

\sqrt[3]{3} + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt[3]{3} + 2 \sqrt{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

25 \sqrt[3]{- 2} - 17 \sqrt{2} + 23 \sqrt[3]{2} - \sqrt{2} - \sqrt[3]{- 2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

- 3 \sqrt[3]{15} - 19 \sqrt[3]{5} + 5 \sqrt[3]{3}

, 2.

7 \sqrt{7} + 2 \sqrt{3}

, 3.

- 4 \sqrt[3]{4}

, 4.

- 11 \sqrt[3]{9} - 21 \sqrt[3]{2}

, 5.

\sqrt{5}

, 6.

- \sqrt[3]{2} - 18 \sqrt{2}

, 7.

- 21 \sqrt{6} + \sqrt{10}

, 8.

- 3 \sqrt{2}

, 9.

- 5 \sqrt[3]{3} + 6 \sqrt{3}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1TxrUUWd2Apl3

Ćwiczenie 17

Wpisz liczbę w puste pole, aby otrzymać prawdziwe zdanie. Liczba

a = \sqrt{90}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt{10}

.Liczba

a = \sqrt{128}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt{2}

.Liczba

a = \sqrt{288}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt{8}

.Liczba

a = \sqrt[3]{81}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt[3]{3}

.Liczba

a = \sqrt[3]{448}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt[3]{7}

.Liczba

a = \sqrt[3]{625}

jest Tu uzupełnij razy większa od liczby

b = \sqrt[3]{5}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RcPpzizr8VwxX3

Ćwiczenie 18

Uzupełnij luki podanymi liczbami, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakującą wartość w każdym zdaniu. Liczba

a = 6 \sqrt{11}

jest o 1.

1

, 2.

26 \sqrt{13}

, 3.

11 \sqrt{11}

, 4.

- 1

, 5.

- 5 + 8 \sqrt{14}

, 6.

5 + 8 \sqrt{14}

, 7.

\sqrt{11}

, 8.

\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}

, 9.

7 \sqrt{5}

, 10.

2 + 3 \sqrt{7}

, 11.

2 + 5 \sqrt{7}

, 12.

9 \sqrt{5}

, 13.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}

, 14.

5 - 8 \sqrt{14}

, 15.

- 26 \sqrt{13}

większa od liczby

b = 5 \sqrt{11}

.Liczba

a = 8 \sqrt{5}

jest o 1.

1

, 2.

26 \sqrt{13}

, 3.

11 \sqrt{11}

, 4.

- 1

, 5.

- 5 + 8 \sqrt{14}

, 6.

5 + 8 \sqrt{14}

, 7.

\sqrt{11}

, 8.

\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}

, 9.

7 \sqrt{5}

, 10.

2 + 3 \sqrt{7}

, 11.

2 + 5 \sqrt{7}

, 12.

9 \sqrt{5}

, 13.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}

, 14.

5 - 8 \sqrt{14}

, 15.

- 26 \sqrt{13}

większa od liczby

b = - \sqrt{5}

.Liczba

a = 2 \sqrt{2} + 4 \sqrt{7}

jest o 1.

1

, 2.

26 \sqrt{13}

, 3.

11 \sqrt{11}

, 4.

- 1

, 5.

- 5 + 8 \sqrt{14}

, 6.

5 + 8 \sqrt{14}

, 7.

\sqrt{11}

, 8.

\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}

, 9.

7 \sqrt{5}

, 10.

2 + 3 \sqrt{7}

, 11.

2 + 5 \sqrt{7}

, 12.

9 \sqrt{5}

, 13.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}

, 14.

5 - 8 \sqrt{14}

, 15.

- 26 \sqrt{13}

większa od liczby

b = \sqrt{2} + \sqrt{7}

.Liczba

a = 3 \sqrt{3} + 13 \sqrt{13}

jest o 1.

1

, 2.

26 \sqrt{13}

, 3.

11 \sqrt{11}

, 4.

- 1

, 5.

- 5 + 8 \sqrt{14}

, 6.

5 + 8 \sqrt{14}

, 7.

\sqrt{11}

, 8.

\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}

, 9.

7 \sqrt{5}

, 10.

2 + 3 \sqrt{7}

, 11.

2 + 5 \sqrt{7}

, 12.

9 \sqrt{5}

, 13.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}

, 14.

5 - 8 \sqrt{14}

, 15.

- 26 \sqrt{13}

większa od liczby

b = 3 \sqrt{3} - 13 \sqrt{13}

.Liczba

a = 15 + 5 \sqrt{14}

jest o 1.

1

, 2.

26 \sqrt{13}

, 3.

11 \sqrt{11}

, 4.

- 1

, 5.

- 5 + 8 \sqrt{14}

, 6.

5 + 8 \sqrt{14}

, 7.

\sqrt{11}

, 8.

\sqrt{2} + 5 \sqrt{7}

, 9.

7 \sqrt{5}

, 10.

2 + 3 \sqrt{7}

, 11.

2 + 5 \sqrt{7}

, 12.

9 \sqrt{5}

, 13.

\sqrt{2} + 3 \sqrt{7}

, 14.

5 - 8 \sqrt{14}

, 15.

- 26 \sqrt{13}

większa od liczby

b = - 3 \sqrt{14} + 20

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1LN7hyBAmla33

Ćwiczenie 19

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.