Co to jest symetria?

Słowo „symetria” zna każdy. Pochodzenie słowa jest jasne. Greckie „sym-” (także „syn-”) w roli przedrostka zapowiada coś wspólnego, jednakową cechę, zbiorowe działanie; „metreo” z kolei oznacza miarę, czynność mierzenia.

Symetria postrzegana na co dzień

Jeśli poprosisz kogoś o zdefiniowanie tego pojęcia, rzeczywiście usłyszysz coś o jednakowości, o podobieństwie, o lustrach. Usłyszysz, być może, że nie warto się nią zajmować, bo idealna symetria nie istnieje w naszym świecie. Ktoś przytoczy znane, choć dość ostre powiedzenie, że „symetria to estetyka głupców”, przypisywane wielu postaciom: Le Corbusier, Hugo, Picasso, Witkacy, Tuwim, niektórzy filozofowie starożytni. Inny wskaże, że jest nudna, choćby Hugo: „Nic nie napełnia serca takim smutkiem, jak symetria. Symetria bowiem to nuda; nuda zaś to dno smutku. (…) Można sobie wyobrazić rzecz jeszcze straszniejszą niż piekło mąk – piekło nudy.”

Coś w tym jest: idealnie lub nadmiernie symetryczny budynek jest może ładny, ale w czymś nieciekawy. Spojrzysz i szybko odwrócisz wzrok, może się zachwycisz, ale na chwilkę i szybko zapomnisz. Czy nie dlatego, że wszystkie symetryczne budynki są jednakowe – mają tę waśnie wspólną cechę, że są symetryczne?

Brak symetrii za to intryguje, przyciąga wzrok na dłużej, zapada w pamięć, zmusza do myślenia, pobudza do szukania wyjaśnień. Pomyśl o asymetrycznych wieżach kościoła Mariackiego w Krakowie (Rys. a.). Ten widok prowokuje pytania. Dlaczego? Po co? A kto pyta, ten … się nie nudzi. Jest więc zrozumiałe, że powstało wokół tych wież wiele legend – znasz choć jedną z nich?

R1FBBnWdeauGa

Rys. a. Zdjęcie przedstawia dwie niesymetryczne wieże Kościoła Mariackiego w Krakowie. Na tle błękitnego nieba, ponad budynkami, górują dwie wieże. Obie są zbudowane z cegły, z jasnymi obramowaniami okien. Różnią się zwieńczeniem i wysokością. Jedna z wież – wyższa, ma szpiczastą gotycką kopułę z podłużną iglicą i ośmioma, niższymi, ostro zakończonymi wieżyczkami wokół. Druga wieża, niższa, zwieńczona późnorenesansową sferyczną kopułą z mniejszymi czterema kopułkami wokół.

Symetria w matematyce

A co jeśli w odpowiedzi na pytanie usłyszysz, że symetria ma związek z określoną operacją, transformacją oraz z wielkością, cechą, której ta transformacja nie zmienia? Tu już znaczy, że na pytanie odpowiada matematyk lub fizyk, bo wiąże symetrię z niezmienniczością. Tak, matematyczna definicja symetrii istnieje. Bo symetria jest nie tylko cechą wytworów przyrody czy ludzkiej działalności albo wyobraźni. Jest cechą samej przyrody (symetriami interesują się także biologowie i chemicy) oraz cechą opisu przyrody, czyli matematyki. Najlepiej znamy, choćby intuicyjnie, symetrie związane z geometrią, z kształtami figur i brył, z ich obrotami, zwierciadlanymi odbiciami i przesunięciami.

Symetria matematycznych równań, w tym równań opisujących przyrodę, to już wyższa szkoła jazdy. W szkole średniej uczysz się rozwiązywać równania. Ale równania można także przesuwać, odbijać jak w lustrze, obracać nimi. Po czym badać, czy taka operacja jest niezmiennicza, czy „obrócone” równanie jest tożsame z oryginalnym. Tak jak niezmienniczy jest obrót kwadratu o 90° wokół osi przechodzącej przez jego środek, prostopadle do jego płaszczyzny.

Emmy Noether, matematyczka, badanie równań, obracanie nimi i ich przesuwanie miała „w małym palcu”. Poszła znacznie dalej w swoim słynnym twierdzeniu: wykazała, że symetrie (czyli niezmienniczości) równań opisujących ruch ciał można bezpośrednio powiązać z zasadami zachowania obowiązującymi w tym ruchu. Od tamtego czasu związek pomiędzy symetrią (niezmienniczością) równań opisujących przyrodę a zasadami zachowania został w fizyce ugruntowany i rozszerzony na dziedziny nieznane na początku XX wieku. Nie ma wątpliwości, że pomysł Emmy Noether okazał się być bardzo płodny.

Symetria w przyrodzie

Ale co z tą nudą, o której pisał Wiktor Hugo? Czy badacze przyrody zostali przez Emmę Noether skazani na „męki gorsze od piekielnych”? Na szczęście nie, a na ratunek przychodzi przyroda: prócz tego, że kryje w sobie symetrię, to jeszcze sama z siebie ją łamie. Fizyk powie tak: „Symetria ma w sobie coś z piękna. Ale dopiero spontanicznie złamana symetria jest pięknem w całej okazałości.”  Czy kwiat chryzantemy (Rys. b.) jest symetryczny?

RYishJiT5DfiX

Rys. b. Zdjęcie przedstawia pomarańczową chryzantemę. Kwiat pokazany jest od góry, widoczne są wszystkie płatki kwiatostanu, zarówno te większe i mniej zwinięte na jego brzegach, jak i te gęsto osadzone w jego środku.

Na pierwszy rzut oka chce się powiedzieć, że tak. Przyjrzyj się bliżej - na pewno dostrzeżesz mniej czy bardziej drobne odstępstwa od symetrii. Fizycy mówią: zobaczysz, że symetria jest lekko złamana. Na tyle lekko, że symetria dominuje, ale widać, że nie jest idealna. Choć to nieprawdopodobna abstrakcja, ale cały Wszechświat jest właśnie taki: dominuje w nim symetria, która „tu i ówdzie” jest złamana. Silnie podejrzewamy (fizycy), że cała materia zawdzięcza swe istnienie temu lekkiemu łamaniu symetrii. Czyli Słońce, Ziemia i my wszyscy jesteśmy ... produktem lekkiego łamania symetrii w naszym Wszechświecie.

Amalie Emmy Noether

Poznaj życie i dokonania Emmy Noether. Gdyby w młodości wróżono jej przyszłość, dowiedziałaby się, że zostanie nauczycielką, raczej języka obcego niż matematyki - takie było społeczne przeznaczenie młodych, zdolnych i ambitnych kobiet na przełomie XIX i XX wieku. Ale nie! Podjęła wyzwanie intelektualne, podjęła także wyzwanie społeczne. Została, w opinii wielu, najważniejszą kobietą w historii matematyki. Jej osiągnięcia w tej dziedzinie to „akademicka ekstraklasa”. Bardzo trudno byłoby o nich opowiadać w szkole. Ale tzw. twierdzenie Noether, bardzo interesujące dla fizyków, dotyczy związku pomiędzy symetrią a zasadami zachowania. Sporo wiesz o tych ostatnich, poczytaj więc o symetrii i o Autorce twierdzenia.