Parkietaże – matematyka i sztuka
Z pewnością niejednokrotnie zdarzyło Ci się zachwycać wyglądem pałacowych parkietów, na przykład takich, jak na poniższym rysunku.
Zazwyczaj można dostrzec w nich pewną regularność – w szczególności powtarzające się kształty i motywy. Są one także przedmiotem zainteresowania matematyków – to oni, aby uniknąć mówienia o układaniu parkietu, wprowadzili pojęcie parkietaża, czyli pokrycia płaszczyzny (a nawet powierzchni w przestrzeni) przylegającymi do siebie figurami (płytkami), najczęściej w kształcie wielokątów. Możemy mówić o parkietażach foremnych, gdy składają się one z wielokątów foremnych, których jednakowa liczba schodzi się w każdym wierzchołku, albo np. o parkietażach półforemnych, które składają się z różnych wielokątów foremnych o identycznych wierzchołkach.
Warto zauważyć, że można ułożyć parkiet (stworzyć parkietaż) pokrywając go motywem w kształcie dowolnego trójkąta. Wystarczy, że pierwszy z trójkątów odbijemy symetrycznie względem środka dowolnego z jego boków – powstaje wówczas równoległobok, który wystarczy odpowiednio przesuwać.
Użyte do powyższego pokrycia wielokąty są trójkątami przystającymi, które gwarantują powtarzalność i niewielką złożoność otrzymanego wzoru. Okazuje się jednak, co pokazują prace Mauritsa Cornelisa Eschera, że powtarzalność (przystawanie) jednego elementu nie musi wcale oznaczać prostoty całego ornamentu.
Wykorzystasz pojęcie przystawania figur w dowodach geometrycznych.
Określisz i zastosujesz cechy przystawania trójkątów.
Skonstruujesz trójkąt o zadanych własnościach.
Zastosujesz poznane zależności w sytuacjach typowych i problemowych.