Parkietaże – matematyka i sztuka

Z pewnością niejednokrotnie zdarzyło Ci się zachwycać wyglądem pałacowych parkietów, na przykład takich, jak na poniższym rysunku.

Ryx5M3c2vjcWC

Na ilustracji przedstawiono parkiet w ośmiokąty i kwadraty wypełnione wzorami kwiatów.

Zazwyczaj można dostrzec w nich pewną regularność – w szczególności powtarzające się kształty i motywy. Są one także przedmiotem zainteresowania matematyków – to oni, aby uniknąć mówienia o układaniu parkietu, wprowadzili pojęcie parkietaża, czyli pokrycia płaszczyzny (a nawet powierzchni w przestrzeni) przylegającymi do siebie figurami (płytkami), najczęściej w kształcie wielokątów. Możemy mówić o parkietażach foremnych, gdy składają się one z wielokątów foremnych, których jednakowa liczba schodzi się w każdym wierzchołku, albo np. o parkietażach półforemnych, które składają się z różnych wielokątów foremnych o identycznych wierzchołkach.

R1s3TQnqybUwI

Na ilustracji przedstawiono parkiet zbudowany z zielonych sześciokątów, stycznych do siebie bokami.

R1d6bZKylIS2l

Na ilustracji przedstawiono parkiet zbudowany z niebieskich sześciokątów. Do każdego boku sześciokąta znajduje się styczny fioletowy trójkąt równoboczny.

Warto zauważyć, że można ułożyć parkiet (stworzyć parkietaż) pokrywając go motywem w kształcie dowolnego trójkąta. Wystarczy, że pierwszy z trójkątów odbijemy symetrycznie względem środka dowolnego z jego boków – powstaje wówczas równoległobok, który wystarczy odpowiednio przesuwać.

R1YAKOESswG0W

Na ilustracji przedstawiono parkiet w kształcie równoległoboku. Wypełniony jest trójkątami, na przemian niebieskimi i różowymi.

Użyte do powyższego pokrycia wielokąty są trójkątami przystającymi, które gwarantują powtarzalność i niewielką złożoność otrzymanego wzoru. Okazuje się jednak, co pokazują prace Mauritsa Cornelisa Eschera, że powtarzalność (przystawanie) jednego elementu nie musi wcale oznaczać prostoty całego ornamentu.

R2dCiS0rV2hby

Na ilustracji przedstawiono parkiet złożony z przystających do siebie kształtów w kolorze czarnym i białym. Kształt przypomina zwierzę z parą oczu, o czterech odnóżach.