Przeczytaj
Figury przystające
Przystawanie figur jest relacją, której zdefiniowanie odwołuje się zazwyczaj do pojęć intuicyjnych lub takich, które wykraczają poza zagadnienia z podstawy programowej. Intuicyjnie dwie figury są przystające, gdy są identyczne. Można trafić na definicję, która stwierdza, iż dwie figury są przystające, jeżeli dają się na siebie nawzajem nałożyć. W sposób formalny ostatnie określenie odwołuje się do przekształceń izometrycznych płaszczyzny, czyli takich, które zachowują odległości – przykładem takich przekształceń są m.in. symetrie osiowe, czy środkowe oraz przesunięcia o dowolny wektor.
Łatwiej jest z określeniem przystawania wielokątów, gdzie można odwołać się do uporządkowania boków i kątów wewnętrznych i je odpowiednio porównywać. W taki sposób definiuje się w szczególności przystawanie trójkątów.
Trójkąty i są przystające, co zapisujemy , gdy ich odpowiednie boki mają równe długości: , , i odpowiednie kąty mają równe miary: , , .
Zauważmy, że przywołana w definicji odpowiedniość boków, kątów i wierzchołków ma znaczenie.
W praktyce, w przypadku trójkątów okazuje się, że dla stwierdzenia ich przystawania wystarczy zbadać tylko wybrane spośród sześciu przywołanych w definicji równości. Twierdzenia, które o tym mówią noszą nazwę cech przystawania trójkątówcech przystawania trójkątów. Ich sformułowanie poprzedzimy każdorazowo wykonaniem odpowiednich konstrukcji, które pokażą, że odpowiednio określona figura jest wyznaczona jednoznacznie.
Konstrukcja trójkąta o zadanych trzech bokach
Zbudujemy trójkąt mając dane odcinki , , równe trzem bokom tego trójkąta.
Rozwiązanie (etapy konstrukcji):
Kreślimy dowolną prostą .
Na prostej odkładamy odcinek długości – jego końce oznaczamy jako punkty , .
Z punktu zakreślamy łuk promieniem równym .
Z punktu zakreślamy łuk promieniem równym .
Punkt wspólny zakreślonych łuków oznaczamy jako .
Łączymy otrzymany punkt z punktami i – w wyniku otrzymujemy trójkąt o postulowanych własnościach, jak na rysunku.
Zauważmy, że warunkiem wykonalności konstrukcji jest przecięcie się kreślonych łuków w punkcie leżącym poza prostą . Oznacza to w szczególności, że
Ale nie udałoby się wykonać konstrukcji także wówczas, gdyby jeden z kreślonych łuków miał promień większy niż suma długości dwóch pozostałych odcinków, zatem muszą zachodzić także nierównościnierówności:
Zauważmy ponadto, że jeśli punkt jest wierzchołkiem trójkąta o zadanych własnościach, to również punkt , który jest jego obrazem w symetrii względem prostej , jest wierzchołkiem trójkąta , którego boki są odpowiednio równe , , .
Jeżeli trzy boki jednego trójkąta są odpowiednio równe trzem bokom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.
Korzystając z cechy bbb, pokażemy, że przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych.
Rozwiązanie:
Rozważmy romb , jak na rysunku.
Pokażemy, że przekątna jest dwusieczną kąta .
Rozważmy trójkąty oraz .
Zauważmy, że w szczególności długość boku w trójkącie jest równa długości boku w trójkącie . Ponadto długość boku w trójkącie jest równa długości boku w trójkącie . Wreszcie odcinek jest wspólnym bokiem w obu trójkątach. Na mocy cechy bbb trójkąty oraz są przystające. Oznacza to w szczególności, że kąt , leżący naprzeciw boku jest równy kątowi , leżącemu naprzeciw boku , równemu bokowi . Co oznacza, że odcinek jest dwusieczną kąta .
Z faktu, że wynika także, że odcinek jest dwusieczną kąta . Dowód, że druga z przekątnych jest dwusieczną odpowiednich kątów przebiega analogicznie.
Zauważmy, że udowodniona własność rombu może być wykorzystana do konstrukcyjnego podziału dowolnego kąta na dwie równe części. W tym celu wystarczy z wierzchołka kąta wykreślić łuk o dowolnym promieniu, aż do przecięcia z jego dwoma ramionami, a następnie z punktów przecięcia wykreślić łuki o takim samym promieniu. W wyniku uzyskamy romb, którego przekątna jest dwusieczną wyznaczającą podział kąta.
Cecha bbb przystawania trójkątów może służyć także uzasadnieniu poprawności konstrukcji kąta o danej mierze, którego wierzchołek leży w zadanym punkcie na pewnej prostej, czyli inaczej mówiąc służy przeniesieniu kąta.
Dany jest kąt oraz punkt leżący na prostej . Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi , którego wierzchołkiem będzie punkt , a jedno z ramion kąta będzie zawierało się w prostej .
Rozwiązanie (etapy konstrukcji):
Z wierzchołka danego kąta zakreślamy dowolnym promieniem łuk, który przetnie oba ramiona tego kąta w punktach , .
Tym samym promieniem zakreślamy łuk z punktu i oznaczamy przez punkt, w którym kreślony łuk przecina prostą .
Z punktu kreślimy łuk o promieniu równym długości odcinka , aż do przecięcia z łukiem wykreślonym wcześniej z punktu . Punkt wspólny tych dwóch łuków oznaczamy jako .
Z punktu kreślimy półprostą .
Dla dowodu poprawności konstrukcji wystarczy pokazać, że trójkąty oraz są przystające. Widać, że , oraz . Zatem na mocy cechy bbb stwierdzamy, że trójkąty te są istotnie przystające. Pozostaje jedynie stwierdzić, że kąty leżące naprzeciw boków oraz są sobie równe.
Konstrukcja trójkąta o zadanych dwóch bokach i kącie między nimi
Mamy dane odcinki , oraz kąt . Zbudujemy trójkąt, w którym dwa boki są równe odcinkom , , a kąt leżący między tymi bokami ma miarę .
Rozwiązanie (etapy konstrukcji):
Kreślimy dowolną prostą i zaznaczamy na niej dowolny punkt – otrzymujemy wierzchołek trójkąta.
Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi , którego wierzchołkiem będzie punkt , a jedno z ramion kąta będzie zawierało się w prostej .
Na ramieniu wykreślonego kąta, zawartym w prostej , odkładamy odcinek tak, aby jednym z jego końców był punkt – drugi koniec odcinka oznaczamy jako .
Na drugim ramieniu kąta odkładamy odcinek tak, aby jednym z jego końców był punkt – drugi koniec odcinka oznaczamy jako .
Łączymy punkty i .
Jeżeli dwa boki jednego trójkąta i kąt leżący między tymi bokami są odpowiednio równe dwóm bokom i kątowi zawartemu między nimi w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.
Konstrukcja trójkąta o zadanym boku i dwóch kątach przyległych do tego boku
Mamy dany odcinek oraz kąty i . Zbudujemy trójkąt, w którym jeden bok jest równy odcinkowi , a dwa kąty przyległe do tego boku są równe odpowiednio i .
Rozwiązanie (etapy konstrukcji):
Kreślimy dowolną prostą i odkładamy na niej odcinek – otrzymujemy wierzchołki i trójkąta.
Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi , którego wierzchołkiem będzie punkt , a jedno z ramion kąta będzie zawierało odcinek .
Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi , którego wierzchołkiem będzie punkt , a jedno z ramion kąta będzie zawierało odcinek , w taki sposób, że oba kąty będą leżały po tej samej stronie prostej .
Przecięcie ramion kątów i , które nie zawierają odcinka , oznaczymy jako .
Łączymy punkty i oraz i .
Zauważmy, że warunkiem wykonalności konstrukcji jest, by suma miar kątów i była mniejsza od kąta półpełnego.
Jeżeli bok jednego trójkąta i dwa kąty przyległe do tego boku są odpowiednio równe bokowi oraz kątom przyległym do tego boku w drugim trójkącie, to trójkąty te są przystające.
Rozważmy dwa trójkąty przystające o wspólnym wierzchołku: oraz , w których , oraz , jak na rysunku.
Pokażemy, że .
Zaważmy, że z przystawania trójkątów oraz wynika w szczególności, że .
Rozważmy trójkąty oraz . Zauważmy, że dwa boki trójkąta są odpowiednio równe dwóm bokom trójkąta :
oraz .
Pokażemy, że kąt w trójkącie , zawarty między bokami i , jest równy kątowi w trójkącie , zawartemu między bokami i :
.
Na mocy cechy bkb trójkąty oraz są przystające – w szczególności boki leżące naprzeciw kątów oraz są sobie równe.
Stąd .
Słownik
zestaw twierdzeń określających warunki równoważne występowania relacji przystawania między dwoma trójkątami
w ujęciu geometrycznym nierówność trójkąta orzeka, że w trójkącie suma długości dowolnych dwóch jego boków jest większa od długości trzeciego boku tego trójkąta