Figury przystające

Przystawanie figur jest relacją, której zdefiniowanie odwołuje się zazwyczaj do pojęć intuicyjnych lub takich, które wykraczają poza zagadnienia z podstawy programowej. Intuicyjnie dwie figury są przystające, gdy są identyczne. Można trafić na definicję, która stwierdza, iż dwie figury są przystające, jeżeli dają się na siebie nawzajem nałożyć. W sposób formalny ostatnie określenie odwołuje się do przekształceń izometrycznych płaszczyzny, czyli takich, które zachowują odległości – przykładem takich przekształceń są m.in. symetrie osiowe, czy środkowe oraz przesunięcia o dowolny wektor.

Łatwiej jest z określeniem przystawania wielokątów, gdzie można odwołać się do uporządkowania boków i kątów wewnętrznych i je odpowiednio porównywać. W taki sposób definiuje się w szczególności przystawanie trójkątów.

Zauważmy, że przywołana w definicji odpowiedniość boków, kątów i wierzchołków ma znaczenie.
W praktyce, w przypadku trójkątów okazuje się, że dla stwierdzenia ich przystawania wystarczy zbadać tylko wybrane spośród sześciu przywołanych w definicji równości. Twierdzenia, które o tym mówią noszą nazwę cech przystawania trójkątówcechy przystawania trójkątówcech przystawania trójkątów. Ich sformułowanie poprzedzimy każdorazowo wykonaniem odpowiednich konstrukcji, które pokażą, że odpowiednio określona figura jest wyznaczona jednoznacznie.

Konstrukcja trójkąta o zadanych trzech bokach

Zbudujemy trójkąt mając dane odcinki $a$, $b$, $c$ równe trzem bokom tego trójkąta.

Rozwiązanie (etapy konstrukcji):

• Kreślimy dowolną prostą $l$.

• Na prostej $l$ odkładamy odcinek długości $a$ – jego końce oznaczamy jako punkty $B$, $C$.

• Z punktu $B$ zakreślamy łuk promieniem równym $c$.

• Z punktu $C$ zakreślamy łuk promieniem równym $b$.

• Punkt wspólny zakreślonych łuków oznaczamy jako $A$.

• Łączymy otrzymany punkt $A$ z punktami $B$ i $C$ – w wyniku otrzymujemy trójkąt $ABC$ o postulowanych własnościach, jak na rysunku.

RkBbQOZmPdibF

Na ilustracji przedstawiono trzy odcinki różnej długości. Najdłuższy odcinek a, odcinek c, oraz najkrótszy odcinek b. Na prostą l, przeniesiono długość odcinka a, i oznaczono go BC. Z punktu B, wykreślono łuk w odległości równej długości odcinka c. Z punktu C wykreślono łuk w odległości równej długości odcinka b. Oba łuki przecinają się w punkcie A.

Zauważmy, że warunkiem wykonalności konstrukcji jest przecięcie się kreślonych łuków w punkcie leżącym poza prostą $l$. Oznacza to w szczególności, że

RsvGZkLyIwifx

Na ilustracji przedstawiono prostą l, na której zaznaczono odcinek BC o długości a. Z punktu B, wykreślono łuk w odległości równej c. Z punktu C wykreślono łuk w odległości równej b. Łuki nie przecinają się, ponieważ suma długości odcinka b i c jest krótsza niż długość prostej a.

Ale nie udałoby się wykonać konstrukcji także wówczas, gdyby jeden z kreślonych łuków miał promień większy niż suma długości dwóch pozostałych odcinków, zatem muszą zachodzić także nierównościnierówność trójkątanierówności:

RSR10WNA95Nte

Na ilustracji przedstawiono prostą l, na której zaznaczono odcinek BC o długości a. Z punktu B, wykreślono łuk w odległości równej c. Z punktu C wykreślono łuk w odległości równej b. Łuki nie przecinają się, ponieważ odcinek c jest za długi.

Zauważmy ponadto, że jeśli punkt $A$ jest wierzchołkiem trójkąta o zadanych własnościach, to również punkt $A_1$, który jest jego obrazem w symetrii względem prostej $l$, jest wierzchołkiem trójkąta $A_{1}BC$, którego boki są odpowiednio równe $a$, $b$, $c$.

RZAzKtGDDzPxC

Na ilustracji przedstawiono trzy odcinki różnej długości. Najdłuższy odcinek a, odcinek c, oraz najkrótszy odcinek b. Na prostą l, przeniesiono długość odcinka a, i oznaczono go BC. Z punktu B, wykreślono łuk w odległości równej długości odcinka c. Z punktu C wykreślono łuk w odległości równej długości odcinka b. Oba łuki przecinają się w punkcie A. Narysowano obraz w symetrii, względem prostej l, i zaznaczono punkt A z indeksem dolnym jeden.

Przykład 1

Korzystając z cechy bbb, pokażemy, że przekątne rombu są dwusiecznymi jego kątów wewnętrznych.

Rozwiązanie:

Rozważmy romb $ABCD$, jak na rysunku.

RDHxsgfTbggDI

Na ilustracji przedstawiono romb $ABCD$. Zaznaczono przekątną AC.

Pokażemy, że przekątna $AC$ jest dwusieczną kąta $DAB$.

Rozważmy trójkąty $ABC$ oraz $ADC$.

Zauważmy, że w szczególności długość boku $AB$ w trójkącie $ABC$ jest równa długości boku $AD$ w trójkącie $ADC$. Ponadto długość boku $BC$ w trójkącie $ABC$ jest równa długości boku $DC$ w trójkącie $ADC$. Wreszcie odcinek $AC$ jest wspólnym bokiem w obu trójkątach. Na mocy cechy bbb trójkąty $ABC$ oraz $ADC$ są przystające. Oznacza to w szczególności, że kąt $BAC$, leżący naprzeciw boku $BC$ jest równy kątowi $DAC$, leżącemu naprzeciw boku $DC$, równemu bokowi $BC$. Co oznacza, że odcinek $AC$ jest dwusieczną kąta $DAB$.

Z faktu, że $△ABC\equiv △ADC$ wynika także, że odcinek $AC$ jest dwusieczną kąta $DCB$. Dowód, że druga z przekątnych jest dwusieczną odpowiednich kątów przebiega analogicznie.

Zauważmy, że udowodniona własność rombu może być wykorzystana do konstrukcyjnego podziału dowolnego kąta na dwie równe części. W tym celu wystarczy z wierzchołka kąta wykreślić łuk o dowolnym promieniu, aż do przecięcia z jego dwoma ramionami, a następnie z punktów przecięcia wykreślić łuki o takim samym promieniu. W wyniku uzyskamy romb, którego przekątna jest dwusieczną wyznaczającą podział kąta.

Cecha bbb przystawania trójkątów może służyć także uzasadnieniu poprawności konstrukcji kąta o danej mierze, którego wierzchołek leży w zadanym punkcie na pewnej prostej, czyli inaczej mówiąc służy przeniesieniu kąta.

Przykład 2

Dany jest kąt $\alpha$ oraz punkt $A$ leżący na prostej $l$. Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi $\alpha$, którego wierzchołkiem będzie punkt $A$, a jedno z ramion kąta będzie zawierało się w prostej $l$.

Rozwiązanie (etapy konstrukcji):

• Z wierzchołka $P$ danego kąta $\alpha$ zakreślamy dowolnym promieniem łuk, który przetnie oba ramiona tego kąta w punktach $Q$, $R$.

• Tym samym promieniem zakreślamy łuk z punktu $A$ i oznaczamy przez $B$ punkt, w którym kreślony łuk przecina prostą $l$.

• Z punktu $B$ kreślimy łuk o promieniu równym długości odcinka $QR$, aż do przecięcia z łukiem wykreślonym wcześniej z punktu $A$. Punkt wspólny tych dwóch łuków oznaczamy jako $C$.

• Z punktu $A$ kreślimy półprostą $AC$.

RL90QQczvh4T7

Na ilustracji przedstawiono kąt $RPQ$ o mierze alfa. Obok na prostej l, skonstruowano kąt $CAB$ o mierzej równej alfa.

Dla dowodu poprawności konstrukcji wystarczy pokazać, że trójkąty $PQR$ oraz $ABC$ są przystające. Widać, że $\left|PQ\right|=\left|AB\right|$, $\left|PR\right|=\left|AC\right|$ oraz $\left|QR\right|=\left|BC\right|$. Zatem na mocy cechy bbb stwierdzamy, że trójkąty te są istotnie przystające. Pozostaje jedynie stwierdzić, że kąty leżące naprzeciw boków $QR$ oraz $BC$ są sobie równe.

Konstrukcja trójkąta o zadanych dwóch bokach i kącie między nimi

Mamy dane odcinki $b$, $c$ oraz kąt $\alpha$. Zbudujemy trójkąt, w którym dwa boki są równe odcinkom $b$, $c$, a kąt leżący między tymi bokami ma miarę $\alpha$.

Rozwiązanie (etapy konstrukcji):

• Kreślimy dowolną prostą $l$ i zaznaczamy na niej dowolny punkt – otrzymujemy wierzchołek $A$ trójkąta.

• Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi $\alpha$, którego wierzchołkiem będzie punkt $A$, a jedno z ramion kąta będzie zawierało się w prostej $l$.

• Na ramieniu wykreślonego kąta, zawartym w prostej $l$, odkładamy odcinek $b$ tak, aby jednym z jego końców był punkt $A$ – drugi koniec odcinka oznaczamy jako $B$.

• Na drugim ramieniu kąta odkładamy odcinek $c$ tak, aby jednym z jego końców był punkt $A$ – drugi koniec odcinka oznaczamy jako $C$.

• Łączymy punkty $B$ i $C$.

R9RBS5puikGIc

Na ilustracji przedstawiono odcinek c, krótszy odcinek b, oraz kąt alfa. Obok, na prostej l, skonstruowano kąt o mierze alfa i ramionach długości równej odcinkom c i b.

Konstrukcja trójkąta o zadanym boku i dwóch kątach przyległych do tego boku

Mamy dany odcinek $a$ oraz kąty $\beta$ i $\gamma$. Zbudujemy trójkąt, w którym jeden bok jest równy odcinkowi $a$, a dwa kąty przyległe do tego boku są równe odpowiednio $\beta$ i $\gamma$.

Rozwiązanie (etapy konstrukcji):

• Kreślimy dowolną prostą $l$ i odkładamy na niej odcinek $a$ – otrzymujemy wierzchołki $B$ i $C$ trójkąta.

• Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi $\beta$, którego wierzchołkiem będzie punkt $B$, a jedno z ramion kąta będzie zawierało odcinek $a$.

• Wykreślimy kąt równy zadanemu kątowi $\gamma$, którego wierzchołkiem będzie punkt $C$, a jedno z ramion kąta będzie zawierało odcinek $a$, w taki sposób, że oba kąty będą leżały po tej samej stronie prostej $l$.

• Przecięcie ramion kątów $\beta$ i $\gamma$, które nie zawierają odcinka $a$, oznaczymy jako $A$.

• Łączymy punkty $B$ i $A$ oraz $C$ i $A$.

RcVZYQ77CjMYr

Na ilustracji przedstawiono odcinek a, kąt beta oraz kąt gamma. Obok na prostej l, skonstruowano trójkąt o boku równym a, i dwóch kątach przyległych do boku a o mierze gamma i beta.

Zauważmy, że warunkiem wykonalności konstrukcji jest, by suma miar kątów $\beta$ i $\gamma$ była mniejsza od kąta półpełnego.

Przykład 3

Rozważmy dwa trójkąty przystające o wspólnym wierzchołku: $ABC$ oraz $A_{1}B{C}_1$, w których $\left|AB\right|=\left|A_{1}B\right|$, $\left|BC\right|=\left|B{C}_1\right|$ oraz $\left|AC\right|=\left|A_1{C}_1\right|$, jak na rysunku.

ROla9O7u23wKT

Na ilustracji przedstawiono dwa trójkąty o wspólnym wierzchołku B. Trójkąt $ABC$, oraz trójkąt $A_{1}B{C}_1$. Trójkąty częściowo się na siebie nakładają. Kolorem zielonym zaznaczono odcinek łączący wierzchołek $A_1$ i C. Kolorem niebieskim zaznaczono odcinek łączący wierzchołek A i $C_1$.

Pokażemy, że $\left|A{C}_1\right|=\left|A_{1}C\right|$.

Zaważmy, że z przystawania trójkątów $ABC$ oraz $A_{1}B{C}_1$ wynika w szczególności, że $\sphericalangle ABC=\sphericalangle A_{1}B{C}_1$.

Rozważmy trójkąty $A_{1}BC$ oraz $AB{C}_1$. Zauważmy, że dwa boki trójkąta $A_{1}BC$ są odpowiednio równe dwóm bokom trójkąta $AB{C}_1$:

$\left|A_{1}B\right|=\left|AB\right|$ oraz $\left|BC\right|=\left|B{C}_1\right|$.

Pokażemy, że kąt $A_{1}BC$ w trójkącie $A_{1}BC$, zawarty między bokami $A_{1}B$ i $BC$, jest równy kątowi $AB{C}_1$ w trójkącie $AB{C}_1$, zawartemu między bokami $AB$ i $B{C}_1$:

$\left|\sphericalangle A_{1}BC\right|=\left|\sphericalangle ABC\right|-\left|\sphericalangle AB{A}_1\right|=\left|\sphericalangle A_{1}B{C}_1\right|-\left|\sphericalangle AB{A}_1\right|=\left|\sphericalangle AB{C}_1\right|$.

Na mocy cechy bkb trójkąty $A_{1}BC$ oraz $AB{C}_1$ są przystające – w szczególności boki leżące naprzeciw kątów $A_{1}BC$ oraz $AB{C}_1$ są sobie równe.

Stąd $\left|A{C}_1\right|=\left|A_{1}C\right|$.

Słownik