Aplet

Polecenie 1

Parkietażem nazwiemy pokrycie płaszczyzny wielokątami, które nie zachodzą na siebie. Parkietaż złożony z wielokątów foremnych można opisać poprzez uporządkowany zestaw liczb charakteryzujących kolejne wielokąty stykające się w wierzchołkach, gdzie np. liczba $3$ oznacza trójkąt, liczba $4$ oznacza kwadrat, a liczba $6$ oznacza oczywiście sześciokąt foremny – np. zapis $(4, 4, 3, 3, 3)$ oznacza, że w wierzchołku kolejno występują dwa kwadraty oraz trzy trójkąty równoboczne. Uruchom aplet. Wybierz odpowiedni znacznik, by zobaczyć przykład parkietaża. Podaj opis poszczególnych parkietaży jako uporządkowany zestaw liczb.

R1PRu00RiYX5n

Polecenie 2

Naszkicuj parkietaż opisany układem liczb $(4, 8, 8)$ .

Opisz konstrukcję parkietażu opisanego układem liczb $(4, 8, 8)$ .

Polecenie 3

Uzasadnij, że istnieją tylko trzy pakietaże foremne, czyli układane z jednego tylko wielokąta foremnego, których jednakowa liczba schodzi się w każdym wierzchołku.

Niech $n$ będzie liczbą boków wielokąta, a $k$ niech będzie liczbą tych wielokątów stykających się w wierzchołku.

Miara kąta wewnętrznego $n$ –kąta foremnego jest równa $(1 - \frac{2}{n}) \cdot 180 °$ .

Zatem $k \cdot (1 - \frac{2}{n}) \cdot 180 °$ musiałoby mieć miarę kąta pełnego, czyli $k \cdot (1 - \frac{2}{n}) \cdot 180 ° = 360 °$ .

Stąd $k \cdot (1 - \frac{2}{n}) = 2$ , czyli $(k - 2) (n - 2) = 4$ .

Rozwiązanie tego równania w liczbach naturalnych prowadzi do układów równań: $\{\begin{cases} k - 2 = 1 \\ n - 2 = 4 \end{cases}$ , $\{\begin{cases} k - 2 = 4 \\ n - 2 = 1 \end{cases}$ , $\{\begin{cases} k - 2 = 2 \\ n - 2 = 2 \end{cases}$ .

Zatem $k = 3$ dla sześciokąta, $k = 4$ dla kwadratu i $k = 6$ dla trójkąta.

Przeczytaj

Sprawdź się