Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

Udowodnij, że środkowa $C D$ trójkąta równoramiennego $A B C$ , w którym $|A C| = |B C|$ , jest jednocześnie dwusieczną kąta $A C B$ (zawiera się w tej dwusiecznej).

Popatrzmy na rysunek.

R4ltmRU996b71

Na ilustracji przedstawiono trójkąt równoramienny ABC. Z wierzchołka C, opuszczono środkową, która podzieliła podstawę AB na dwie równe części.

Zauważmy wówczas, że $△ A D C \equiv △ B D C$ , na mocy cechy bbb. Rzeczywiście: bok $|A C| = |B C|$ , $|A D| = |B D|$ , a bok $C D$ jest wspólny dla obu trójkątów. Wtedy w szczególności kąty w obu trójkątach leżące naprzeciw równych boków $A D$ , $B D$ są równe. Ale to oznacza, że odcinek $C D$ zawiera się w dwusiecznej kąta $A C B$ .

Ćwiczenie 2

Niech $D$ będzie środkiem boku $B C$ trójkąta $A B C$ . Na prostej $A D$ zaznaczamy taki punkt $E$ różny od $A$ , że $|A D| = |D E|$ . Uzasadnij, że $|A C| = |B E|$ .

Popatrzmy na rysunek.

R11f60dtrCDhg

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Zaznaczono punkt D, który jest środkiem boku BC trójkąta. Punkty A i D leżą na jednej prostej. Na tej samej prostej, zaznaczono punkt E, odległy od punktu D o odległość równą AD. Linią przerywaną połączono wierzchołek C i B, z punktem E.

Zauważmy, że $|A D| = |D E|$ oraz $| B D | = | D C |$ .

Ponadto $∢ A D C$ oraz $∢ B D E$ jako kąty wierzchołkowe są równe.

Na mocy cechy bkb mamy, że $△ A D C \equiv △ E D B$ .

Stąd $|A C| = |B E|$ .

RhcQpVSefYi0W1

Ćwiczenie 3

Zaznacz poprawną odpowiedź. Boki trójkąta $A B C$ mają odpowiednio długości $5$ , $6$ , $8$ . Trójkąt $D E F$ jest przystający do trójkąta $A B C$ . Jeden z boków trójkąta $D E F$ ma długość:

$\sqrt{11 - 6 \sqrt{2}} + \sqrt{11 + 6 \sqrt{2}}$
$\sqrt{6 - 4 \sqrt{2}} + \sqrt{6 + 4 \sqrt{2}}$
$\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$
$\sqrt{11 + 6 \sqrt{2}} - \sqrt{11 - 6 \sqrt{2}}$

Ćwiczenie 4

W trójkącie $A B C$ długości boków są różne. Środki tych boków połączono odcinkami, otrzymując cztery trójkąty, jak na rysunku.

R1V6khktJw2jI

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Punkt D stanowi środek boku AB. Punkt E stanowi środek boku BC. Punkt F stanowi środek boku AC. Połączono punkty D, E, F i otrzymano cztery trójkąty.

Wykaż, że $△ A D F \equiv △ E F D$ .

Natychmiastowy dowód wynika z twierdzenia o odcinku łączącym środki boków trójkąta – odcinek taki jest równoległy do trzeciego boku trójkąta, a jego długość jest dwa razy mniejsza od tego boku.

Wtedy $|A D| = \frac{1}{2} |A B| = |E F|$ oraz $|A F| = \frac{1}{2} |A C| = |D E|$ .

Odcinek $D F$ jest wspólnym bokiem trójkątów $A D F$ i $E F D$ .

Zatem na mocy cechy bbb trójkąty te są przystające.

Zauważmy, że relację przystawania powstałych trójkątów można uogólnić:

$△ A D F \equiv △ D B E \equiv △ F E C \equiv △ E F D$ .

R1WnAb1uE43Cp21

Ćwiczenie 5

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz Prawda, jeśli zdanie jest prawdziwe oraz Fałsz, jeśli zdanie nie jest prawdziwe.

	Prawda	Fałsz
Jeśli dwa boki i jeden kąt w trójkącie $T_{1}$ są równe dwóm bokom i jednemu kątowi w trójkącie $T_{2}$ , to $△ T_{1} \equiv △ T_{2}$ .	□	□
Jeśli dwa kąty i jeden bok w trójkącie $T_{1}$ są równe dwóm kątom i jednemu bokowi w trójkącie $T_{2}$ , to $△ T_{1} \equiv △ T_{2}$ .	□	□
Jeśli dwa boki i dwa kąty w trójkącie $T_{1}$ są odpowiednio równe dwóm bokom i dwóm kątom w trójkącie $T_{2}$ , to $△ T_{1} \equiv △ T_{2}$ .	□	□
Jeśli trzy kąty i jeden bok w trójkącie $T_{1}$ są równe trzem kątom i jednemu bokowi w trójkącie $T_{2}$ , to $△ T_{1} \equiv △ T_{2}$ .	□	□

Rq7XDPRdBVhh92

Ćwiczenie 6

Zaznacz poprawną odpowiedź. Jeden z boków trójkąta $A B C$ ma długość $4$ , a kąty przyległe do tego boku mają miary $45 °$ , $35 °$ . Trójkąt $D E F$ jest przystający do trójkąta $A B C$ i jeden z jego boków ma długość $4$ . Kąty przyległe do tego boku mają miary $2 x + y$ oraz $2 x - y$ . Wtedy:

$x = 15 °$ , $y = 15 °$
$x = 10 °$ , $y = 25 °$
$x = 25 °$ , $y = 15 °$
$x = 20 °$ , $y = 5 °$

Ćwiczenie 7

Punkt $P$ jest punktem przecięcia się wysokości $A E$ i $C D$ trójkąta ostrokątnego $A B C$ , w którym $|C P| = |A B|$ , jak na rysunku.

R1Vj70aPFbwgZ

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ostrokątny ABC. Z wierzchołka C, opuszczono wysokość CD do podstawy AB. Z wierzchołka A opuszczono wysokość AE do boku BC. Obie wysokości przecinają się w punkcie P.

Wykaż, że trójkąt $A E C$ jest równoramienny.

R1qF1x5G5lIB2

Ułóż w kolejności etapy dowodu. Elementy do uszeregowania: 1. 4) Zatem w trójkątach oraz kąty przyległe do boków oraz są sobie równe., 2. Rozważmy trójkąty prostokątne

A B E

oraz

C P E

., 3. 3) Podobnie ., 4. 2) Zauważmy, ze oraz , zatem ., 5. 5) Na mocy cechy trójkąty te są przystające., 6. 6) Stąd wynika w szczególności, że , zatem trójkąt jest równoramienny. To kończy dowód.

Ułóż w kolejności etapy dowodu.

Na mocy cechy kbk trójkąty te są przystające.
Stąd wynika w szczególności, że $"|"A E"|" = "|"C E"|"$ , zatem trójkąt $A E C$ jest równoramienny. To kończy dowód.
Podobnie $"|"∢ C P E"|" = 90 ° - "|"∢ P C E"|" = 90 ° - "|"∢ B A E"|" = "|"∢ A B E"|"$ .
Zatem w trójkątach $A B E$ oraz $C P E$ kąty przyległe do boków $A B$ oraz $C P$ są sobie równe.
Zauważmy, że $"|"∢ B A E"|" = 90 ° - "|"∢ A B C"|"$ oraz $"|"∢ P C E"|" = 90 ° - "|"∢ A B C"|"$ , zatem $"|"∢ B A E"|" = "|"∢ P C E"|"$ .
Rozważmy trójkąty prostokątne $A B E$ oraz $C P E$ .

Ćwiczenie 8

R1ac2DYXAeLWn

Rp7yTc9BeBj8z

Aplet

Dla nauczyciela