Czym są figury unikursalne?

Figury, które można nakreślić jednym pociągnięciem ołówka, nie prowadząc go nigdy po linii już nakreślonej, nazywają się unikursalnymi lub jednobieżnymi. Jeśli rzędem punktu nazwiemy liczbę linii, które wychodzą z tego punktu, to okazuje się, że figura jest unikursalna, gdy co najwyżej dwa punkty są rzędu nieparzystego.

Łatwo zauważyć, że „klasyczna” zagadka związana z narysowaniem jednym pociągnięciem ołówka koperty, takiej jak na poniższym rysunku, ma rozwiązanie, ponieważ ma dokładnie dwa punkty rzędu 3, oba przy dolnej podstawie, a wszystkie pozostałe są rzędu parzystego.

R1VaIFrogsTlq

Ilustracja przedstawia rysunek koperty. Figura ta zbudowana jest z prostokąta leżącego na dłuższym boku wraz z jego dwoma przekątnymi. Na górnej podstawie prostokąta znajduje się trójkąt równoramienny.

Korzystając z podanego kryterium widzimy, że nie jest figurą unikursalną zbudowana z odcinków krzywa przedstawiona na poniższym rysunku.

R1dvoV7YEnp4P

Ilustracja przedstawia jeden duży prostokąt zbudowany z pięciu mniejszych. Są one podobne do rozkładu cegiełek w murze. Dwa większe znajdują się w dolnej części dużego prostokąta. natomiast trzy takie same mniejsze znajdują się nad nimi.

Badanie takich figur i w szczególności wyznaczenie kryterium rozwiązalności takich problemów jest przedmiotem zainteresowania teorii grafów, podwaliny pod którą położył Leonard Euler, rozwiązując słynne zadanie o mostach królewieckich: Królewiec, który w XVII wieku stolicą Prus Książęcych, leżał nad rzeką Pregołą, a jego dzielnice, w tym leżące na śródrzecznych wyspach, łączyło siedem mostów, jak na rysunku.

ROV7WgfXOVMSo

Grafika przedstawia rzut z góry ilustrujący dwie śródręczne wyspy, rzekę oraz siedem drewnianych mostów. Cztery z nich łączą pierwszą wsypę ze stałym lądem, jeden łączy obie wyspy ze sobą, natomiast dwa pozostałe łączą drugą wyspę ze stałym lądem.

Czy można przejść kolejno przez wszystkie mosty, nie przechodząc po żadnym z nich więcej niż raz jeden?

Jak zobaczymy, zagadnienie figur jednobieżnych ma wiele wspólnego z pojęciem łamanej.