Wzór Brahmagupty

Niemal każdy maturzysta zetknął się ze wzorem Herona.

Wskazuje on, że pole trójkąta o bokach długości $a$, $b$, $c$ jest równe

gdzie:

$p$ – jest połową obwodu danego trójkąta.

Nie może istnieć analogiczny wzór dla dowolnego czworokąta, bo łatwo zauważyć, że dla każdego prostokąta istnieje równoległobok o takich samych bokach i innym polu – wystarczy, że jego kąty nie będą proste. Okazuje się jednak, że dla czworokąta cyklicznego, czyli takiego, który można wpisać w okrąg, zachodzi taki analogiczny wzór, znany jako wzór Brahmagupty.

Na jego mocy, pole czworokąta cyklicznego o bokach długości $a$, $b$, $c$, $d$ jest równe

gdzie:

$p$ – jest połową jego obwodu.

Na pytanie, czy da się uogólnić ten wzór na wielokąty cykliczne o większej liczbie boków, musi paść odpowiedź przecząca – wynika to w prosty sposób z analizy wymiarowej (pierwiastek kwadratowy z iloczynu pięciu, czy większej liczby czynników, nie da w wyniku jednostki kwadratowej). Między innymi dowód tego ciekawego wzoru będzie przedmiotem niniejszej lekcji.