Włoski matematyk, filozof, mnich Luigi Guido Grandi opisał w roku dziwny ciąg geometryczny, który nazywany jest dzisiaj szeregiem Grandiego.
Pierwszy wyraz ciągu to , a iloraz to .
Postawił on pytanie – ile wynosi suma wyrazów tego ciągu.
Okazuje się, że można pogrupować wyrazy ciągu po dwa i wtedy suma będzie równa
.
Można też pogrupować nieco inaczej i wtedy suma będzie równa .
Stosując jeszcze inne przekształcenia można uzasadnić, że suma ta wynosi .
Jak myślisz – dlaczego otrzymujemy tak różne wyniki?
W tym materiale też będziemy obliczać sumy wyrazów ciągów geometrycznych. Jednak będą to tylko sumy skończonej liczby wyrazów. Zatem sposoby obliczania tych sum nie będą nastręczały takich problemów, z jakimi zmagał się Grandi. Sumy dadzą się określić jednoznacznie, co więcej poznamy wzór na ich wyznaczanie.
Wyprowadzisz wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Obliczysz sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Wyznaczysz wielkości związane z ciągiem geometrycznym o znanej sumie częściowej.