Przeczytaj
Dany jest ciąg geometryczny o ilorazie . Chcemy znaleźć wzór na sumę kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.
W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego.
Wzór ogólny ciągu geometrycznego o wyrazie pierwszym i ilorazie ma postać
Wyprowadzając wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu, rozpatrzymy dwa przypadki.
1 przypadek: .
Jeśli iloraz ciągu jest równy , to ciąg jest stały. Każdy jego wyraz jest równy wyrazowi pierwszemu. Zatem:
2 przypadek:
Wypiszemy kilka kolejnych sum początkowych wyrazów ciągu, korzystając z przypomnianego wyżej wzoru na –ty wyraz ciągu (inaczej wzór ogólny ciągu geometrycznego).
Mnożymy teraz obie strony ostatniej z zapisanych równości przez .
Dodajemy stronami dwie ostatnie zapisane równości.
Wiemy, że , więc można obie strony równości podzielić przez .
Ujmijmy teraz powyższe rozważania w postaci odpowiedniego twierdzenia.
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie wyraża się wzorem:
, gdy ,
, gdy .
Obliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , w którym i .
Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy .
Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego jest większy od , to warto korzystać z podanego wzoru na sumę początkowych wyrazów tego ciągu, w zmodyfikowanej, równoważnej postaci.
Mianowicie, gdy pomnożymy licznik i mianownik ułamka występującego we wzorze przez , otrzymamy:
.
Obliczymy sumę pięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego , w którym i .
Korzystamy ze zmodyfikowanego wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.
.
Nie zawsze ciąg geometryczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.
Dany jest ciąg geometryczny nieskończony taki, że dla . Wyznaczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.
1 sposób:
Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu.
Dodajemy otrzymane liczby.
2 sposób:
Wyznaczamy pierwszy i drugi wyraz ciągu i określamy iloraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
W obu przypadkach otrzymaliśmy te same wyniki. Jeśli do dodania jest mała liczba wyrazów ciągu, można stosować oba sposoby. Natomiast, gdy ich liczba jest duża, znacznie wygodniej posłużyć się wzorem.
Obliczymy sumę początkowych, kolejnych wyrazów ciągu , , , , ,
Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.
Ustalamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
Korzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
.
W następnych przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.
Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy , a iloraz ciągu . Ustalimy, ile początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać .
Oznaczmy przez szukaną liczbę wyrazów.
Liczba to suma kolejnych wyrazów ciągu, zatem
Odpowiedź:
Należy dodać wyrazów tego ciągu.
Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego jest równa . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli iloraz ciągu jest równy .
Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Wykonujemy wskazane działania.
Zapisujemy wzór ogólny ciągu.
.
Suma początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznegoSuma początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego wyraża się wzorem . Obliczymy .
Pierwszy wyraz ciągu jest równy . Zatem:
Zauważmy, że
Wynika z tego, że
Wyznaczamy szukaną różnicę.
Odpowiedź:
Różnica jest równa .
Słownik
suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie wyraża się wzorem:
, gdy ,
, gdy