Kiedy pole trójkąta prostokątnego jest największe?

Rozważmy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej długości $c$. Jeśli przez $a$, $b$ oznaczymy długości przyprostokątnych tego trójkąta, to można badać zagadnienie dotyczące wartości, jakie może przyjmować iloczyn $a·b$. Geometrycznie oznacza to w istocie badanie pola tego trójkąta. Nietrudno zauważyć (patrz: poniższy rysunek), że pole trójkąta prostokątnego o przeciwprostokątnej $c$ jest największe wtedy, gdy trójkąt jest równoramienny.

Rk5VsuFMEveSI

Ilustracja przedstawia trójkąt ABC wpisany w okrąg. Odcinek AB ma długość c, odcinek BC ma długość a, a odcinek AC ma długość b. Z punktu B poprowadzono prostą do okręgu tworząc punkt D.

Wtedy $\left|AC\right|=\left|BC\right|=\frac{c}{\sqrt{2}}$, a pole trójkąta jest równe $\frac{c^2}{4}$.

Z kolei pole to może być dowolnie małe, w szczególności, gdy wierzchołek $D$ będzie leżał dowolnie blisko punktu $A$, jak na rysunku. Tym samym iloczyn $a·b$ przyjmuje wszystkie wartości z przedziału $(0,\frac{c^2}{2}⟩$.