Kiedy trójkąt jest równoboczny?

Oczywiście, jak sama nazwa wskazuje, trójkąt jest równoboczny, gdy wszystkie trzy jego boki mają jednakową długość. Krótkiej refleksji wymaga dostrzeżenie, że warunkiem równoważnym jest postulat, by dwa dowolne boki trójkąta miały tę samą długość i jeden (dowolny) z jego kątów miał miarę $60°$. Łatwiej jest z postulatem, by dwa kąty trójkąta miały miary równe $60°$. Można również analizować wzajemne relacje między wysokościami i środkowymi poprowadzonymi z wierzchołków trójkąta – oczywiście równość wysokości i środkowej poprowadzonych z jednego z wierzchołków jest niewystarczająca (ta własność charakteryzuje każdy trójkąt równoramienny), ale w przypadku, gdy dotyczy to odpowiednich odcinków poprowadzonych z dwóch wierzchołków, to z pewnością mamy do czynienia z trójkątem równobocznym.

Wiemy, że w trójkącie równobocznym o wysokości $h$ długość promienia $R$ okręgu opisanego na tym trójkącie, jest równa $R=\frac{2}{3}h$, a promień $r$ okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy $r=\frac{1}{3}h$. Tym samym $R:r=2:1$.

Okazuje się, że warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by trójkąt był równoboczny jest, by wspomniany wyżej stosunek długości promienia okręgu opisanego na trójkącie do długości promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt był równy $2$.