Geometria jest jedną z najstarszych dziedzin matematyki. Czy wiesz może, dlaczego w nazwie jest greckie metreo - mierzę? Oto u podstaw tej nauki, całe tysiąclecia temu, legła potrzeba dokonywania pomiarów, w tym pomiarów linii (ich długości) oraz obszarów (ich obwodu i powierzchni) na ziemi. Stąd pierwsza część nazwy. Tak, geometria była kiedyś nauką empiryczną, w której dokonywano pomiarów, uogólniano pewne spostrzeżenia praktyczne i nadawano im - mówiąc dzisiejszym językiem - oprawę teoretyczną.

Jedno z takich spostrzeżeń, poczynionych co najmniej cztery tysiące lat temu, dotyczyło stosunku obwodu koła do jego średnicy. W różnych sytuacjach mierzono obwód i średnicę: basenu w królewskim pałacu, glinianego garnka na wino, oliwę, grubego pnia drzewa, czy innych podobnych obiektów. Ludzi musiało zainteresować, że uzyskiwano zawsze około 3:1. Przy odrobinie precyzyjniejszym pomiarze i staranniejszym wyborze obiektów (basen nie musiał być idealnym kołem, tak jak garnek czy tym bardziej pień drzewa), uzyskiwano nieco więcej niż 3:1. Ogromnym osiągnięciem było zauważenie, że „obwód do średnicy ma się praktycznie jak 22 do 7”.

Jak dokładnie można zmierzyć wartość liczby $\mathrm{\pi }$? Jeśli wyobrazisz sobie pomiar zależności obwodu p od średnicy d dla kołowych obiektów o różnych średnicach (zależność ta jest proporcjonalna), to punkty powinny ułożyć się wzdłuż prostej o równaniu:

Powinny, ale przecież mierzymy, więc popełniamy błędy: punkty ułożą się w pobliżu jakiejś prostej, której na wykresie (Rys. a.) nie widać. Współczynnikiem kierunkowym tej prostej jest właśnie liczba $\mathrm{\pi }$, a jej wyrazem wolnym jest zero.  Do punktów pomiarowych należy więc dopasować prostą, korzystając z metody najmniejszych kwadratów i wyznaczyć jej parametry.

RaeKKvbihdwbi

Rys. a. Na rysunku przedstawiono prostokątny układ współrzędnych ograniczony czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia obwód pewnego okrągłego przedmiotu oznaczony małą literą p, wyrażoną w centymetrach. Na osi pionowej układu zaznaczono wartości od zera do stu centymetrów, co dwadzieścia centymetrów. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia długość średnicy wspomnianego okrągłego przedmiotu, oznaczoną małą literą d, wyrażoną w centymetrach. Na osi poziomej zaznaczono wartości od zera do trzydziestu centymetrów, co dziesięć centymetrów. W układzie widoczne są punkty eksperymentalne narysowane w postaci niebieskich kwadracików. Wraz ze wzrostem długości średnicy rośnie wartość obwodu. Punkty eksperymentalne nie układają się dokładnie wzdłuż linii prostej. Do punktów eksperymentalnych została dopasowana funkcja liniowa oznaczona czarną linią. Funkcja nie przechodzi przez wszystkie punkty eksperymentalne. Kilka punktów eksperymentalnych znajduje się nieco nad linią dopasowania, a kilka pod nią. Prosta dopasowana została najprawdopodobniej metodą najmniejszych kwadratów, nazywaną również regresją liniową. Polega ona na wyznaczeniu równania funkcji liniowej dopasowanej do punktów eksperymentalnych, której kwadrat odległości od wszystkich punktów przyjmuje wartość minimalną.

Tę właśnie prostą pokazano na rys. a. Tylko jak określić „niepewność pomiarową” tej prostej?