Warto przeczytać.

Generalia

Odpowiedź na końcowe pytanie z Wprowadzenia jest formalnie prosta, stanowcza i - być może - niezadowalająca:  Nie ma czegoś takiego, jak niepewność pomiarowaNiepewność pomiarowaniepewność pomiarowa prostej dopasowanej do punktów doświadczalnych taką czy inną metodą.

Ale można odpowiedzieć na pytanie zastępcze: jak oszacować niepewność pomiaru parametrówparametry zależności liniowejparametrów wyznaczających tę prostą.  Wszak gdy badamy liniową zależność pomiędzy dwiema wielkościami, $y\left(x\right)$, to odpowiednie opracowanie wyniku tego pomiaru pozwala nam wyznaczyć wartości współczynnika kierunkowego a oraz wyrazu wolnego b tej zależności.

Sposób opracowania oraz możliwe procedury uzyskiwania wyników są opisane w e‑materiałach „Jak dopasować prostą do wyników pomiarów” oraz „W jakim celu dopasowuje się prostą do wyników pomiarów i jakie informacje można w ten sposób uzyskać?”. Naturalne jest zadanie pytania o niepewność pomiaru tych parametrów. Pytanie jest ważne, gdy którykolwiek z nich ma interpretację fizyczną - a tak najczęściej jest.

Niepewność pomiaru parametrów prostej

Niepewność pomiaru tych współczynników zależy od dwóch czynników:
- od odległości („po osi rzędnych”) każdego z punktów od prostej, czyli od rozrzutu uzyskanych wyników, 
- od niepewności pomiaru każdej ze współrzędnych każdego punktu. 
(Przypomnij sobie e‑materiał „Przedstawianie niepewności pomiarowych w formie graficznej”.)

Na rys. 1. przedstawiono wyniki pomiarów zależności $p\left(d\right)$, wspomniane we Wprowadzeniu. Bezpośredni pomiar średnicy oraz obwodu każdego z obiektów wykonano za pomocą krawieckiego centymetra o rozdzielczości 1 mm. Związane z tym słupki niepewności standardowejSłupki niepewnościsłupki niepewności standardowej byłyby na tym wykresie nieczytelne, więc ich nie naniesiono. 
Zaznaczono natomiast odległości („po osi rzędnych”) dla trzech przykładowych punktów.

RY4I86Pq1ZsXq

Rys. 1. Na rysunku przedstawiono prostokątny układ współrzędnych ograniczony czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia obwód pewnego okrągłego przedmiotu oznaczony małą literą p, wyrażoną w centymetrach. Na osi pionowej układu zaznaczono wartości od zera do stu centymetrów, co dwadzieścia centymetrów. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia długość średnicy wspomnianego okrągłego przedmiotu, oznaczoną małą literą d, wyrażoną w centymetrach. Na osi poziomej zaznaczono wartości od zera do trzydziestu centymetrów, co dziesięć centymetrów. W układzie widoczne są punkty eksperymentalne narysowane w postaci niebieskich kwadracików. Wraz ze wzrostem długości średnicy rośnie wartość obwodu. Punkty eksperymentalne nie układają się dokładnie wzdłuż linii prostej. Do punktów eksperymentalnych została dopasowana funkcja liniowa oznaczona czarną linią. Funkcja nie przechodzi przez wszystkie punkty eksperymentalne. Kilka punktów eksperymentalnych znajduje się nieco nad linią dopasowania, a kilka pod nią. Prosta dopasowana została najprawdopodobniej metodą najmniejszych kwadratów, nazywaną również regresją liniową. Polega ona na wyznaczeniu równania funkcji liniowej dopasowanej do punktów eksperymentalnych, której kwadrat odległości od wszystkich punktów przyjmuje wartość minimalną. Od kilku punktów znajdujących się nad oraz pod linią dopasowania poprowadzono czerwone pionowe odcinki, łączące te punkty z linią prostą. Czerwone odcinki to odległość tych punktów od dopasowanej funkcji liniowej.

Za pomocą arkusza kalkulacyjnego i gotowej, wbudowanej do niego funkcji, obliczono wartości i standardowe niepewnościNiepewność pomiarowa standardowastandardowe niepewności pomiaru parametrów prostej o równaniu

Otrzymano:

$a=3,10(0,03)$
$b=1,1(0,5)\mathrm{cm}$

Wyrażenia matematyczne, za pomocą których wyliczamy te wartości oraz ich niepewności są  skomplikowane - ich znajomość i stosowanie nie są wymagane w szkole średniej.

Dodatkowy, bardzo poważny problem wynika z tego, że oba te współczynniki są wyznaczane jednocześnie, a nie niezależnie jeden od drugiego. Mówimy, że współczynnik kierunkowy prostej i jej wyraz wolny są mierzone w korelacji jeden z drugim. Skutkiem tego jest, że zarówno ich wartości, jak i niepewności są ze sobą powiązane. Dlatego właśnie graficzna interpretacja niepewności obu współczynników jest trudna, a czasami bywa zwodnicza.

Graficzna interpretacja niepewności standardowych a oraz b

Najczęściej stosowane jest nanoszenie na wykres, prócz prostej najlepiej dopasowanej, dwóch prostych „dopasowanych gorzej” (Rys. 2.).

RMm0qt5zc9oc6

Rys. 2. Na rysunku przedstawiono prostokątny układ współrzędnych ograniczony czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i przedstawia obwód pewnego okrągłego przedmiotu oznaczony małą literą p, wyrażoną w centymetrach. Na osi pionowej układu zaznaczono wartości od zera do stu centymetrów, co dwadzieścia centymetrów. Oś pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia długość średnicy wspomnianego okrągłego przedmiotu, oznaczoną małą literą d, wyrażoną w centymetrach. Na osi poziomej zaznaczono wartości od zera do trzydziestu centymetrów, co dziesięć centymetrów. W układzie widoczne są punkty eksperymentalne narysowane w postaci niebieskich kwadracików. Wraz ze wzrostem długości średnicy rośnie wartość obwodu. Punkty eksperymentalne nie układają się dokładnie wzdłuż linii prostej. Do punktów eksperymentalnych została dopasowana funkcja liniowa oznaczona czarną linią. Funkcja nie przechodzi przez wszystkie punkty eksperymentalne. Kilka punktów eksperymentalnych znajduje się nieco nad linią dopasowania, a kilka pod nią. Prosta dopasowana została najprawdopodobniej metodą najmniejszych kwadratów, nazywaną również regresją liniową. Polega ona na wyznaczeniu równania funkcji liniowej dopasowanej do punktów eksperymentalnych, której kwadrat odległości od wszystkich punktów przyjmuje wartość minimalną. W układzie przedstawiono jeszcze dwie funkcje oznaczone liniami ciągłymi. Funkcje te zaczynają się w tym samym miejscu co linia dopasowania. Jedna w funkcji widoczna nad linią dopasowania jest koloru czerwonego. Druga funkcja widoczna pod linią dopasowania jest koloru niebieskiego. Funkcje opisane czerwonym i niebieskim kolorem są rozbieżne. Rozbieżne funkcje przechodzą przez skrajne punkty z serii pomiarowej. Jeżeli funkcja narysowana czarną linią jest najlepszym dopasowaniem funkcji liniowej do punktów eksperymentalnych, to funkcje czerwona oraz niebieska prezentują odstępstwa od najlepszego dopasowania.

Problem w tym, że nie ma jednoznacznego przepisu na wybór tych prostych. Na rys. 2. zastosowano przepis idący ku „skrajnemu” pogorszeniu przebiegu:

Prosta czerwona ma równanie

więc ma zawyżone zarówno nachylenie jak i przesunięcie w zerze.

Prosta niebieska z kolei ma równanie

zatem jej nachylenie i przesunięcie w zerze są zaniżone.

Jednak statystyczna interpretacja takiego wyboru i związanego z nim przebiegu prostych gorzej dopasowanych na tle punktów pomiarowych nie wnosi niczego wartościowego do interpretacji wyników pomiarów. Powodem tego stanu rzeczy jest właśnie współzależność (korelacja) pomiędzy wartościami obu współczynników. Nie ma dobrej odpowiedzi na pytanie, dlaczego nie wybrano prostych gorzej dopasowanych w taki sposób, że ich współczynniki (a'; b') oraz (a” i b”) spełniałyby warunki:

W naszym przypadku te dwie proste byłyby na wykresie nieczytelne. Jednak w przypadku zależności, w której a < 0, byłoby inaczej.

Graficzne szacowanie dopuszczalnego zakresu zmienności a i b

Z tych samych powodów - korelacja pomiędzy współczynnikami - stosowane często postępowanie odwrotne prowadzi do wyników bezwartościowych z punktu widzenia statystyki. Polega ono na poprowadzeniu pary prostych „ledwie dopasowanych”, czyli takich, pomiędzy którymi „z ledwością” mieszczą się wszystkie punkty pomiarowe.
Czasami stawia się inny warunek, „łagodniejszy” (pomiędzy prostymi nie musi się mieścić punkt, byle mieścił się choćby fragment słupka jego niepewności pomiarowej). Można też postawić warunek „ostrzejszy” (opisany w Przykładzie 1.).

Celem takiego postępowania jest graficzne oszacowanie maksymalnej granicy przedziałów, w których mieszczą się wartości obu współczynników. Odczytuje się więc - z wykresu - współczynniki tych prostych i traktuje się je, odpowiednio, jako maksymalną i minimalną wartość współczynnika a oraz współczynnika b.

To postępowanie jest jednak niejednoznaczne i stosowane niezależnie przez różne osoby często daje zaskakująco różne efekty. Podstawową przyczyną tej niejednoznaczności jest naturalne, ludzkie dążenie do jednoczesnego zmieniania nachylenia oraz punktu przecięcia w zerze prostej „ledwie dopasowanej” przy próbie ustalenia jej przebiegu. Tymczasem wielkości te są statystycznie skorelowane - intuicyjne, graficzne uwzględnienie tego faktu jest praktycznie niemożliwe.

Zbliżone postępowanie może dawać nieco bardziej wiarygodne wyniki oszacowania granic przedziału, w którym „na pewno” mieści się jeden z parametrów prostej. Jest tak, gdy drugi z nich znamy dokładnie. Tak może być, gdy ten drugi parametr ma wartość wyrażoną za pomocą uniwersalnych stałych fizycznych lub za pomocą liczby niemianowanej o wartości wynikającej z teoretycznego opisu badanej zależności.

Przykład 1. Znamy dokładnie nachylenie prostej.

Często prowadzimy badanie zależności w celu wykazania... braku zależności pomiędzy badanymi wielkościami. Wtedy oczekujemy, że w równaniu prostej

współczynnik kierunkowy a = 0, a prawo przyrody, którego stosowalność chcemy zbadać, ma postać y = const, niezależnie od x. Rzadsze są przypadki, w których potrafimy przewidzieć inną niż zero, ustaloną wartość tego współczynnika.
Ale w każdym przypadku, gdy współczynnik ten ma ustaloną wartość, graficzne poszukiwanie prostych „ledwie dopasowanych” wymaga jedynie równoległego ich przesuwania w stosunku do prostej najlepiej dopasowanej (Rys. 3.), czyli tylko zmiany wyrazu wolnego b.

RBesAl6YTYLSP

Rys. 3. Ilustracja podzielona jest na dwie części, prawą oraz lewą. W obu częściach widoczne są rysunki przedstawiające prostokątne układy współrzędnych ograniczone czarnymi strzałkami. Osie pionowe układów skierowane są w górę i opisane małą literą y. Osie poziome układów skierowane są w prawo i oznaczone małą literą x. W obu układach przedstawiono takie same punkty eksperymentalne narysowane w postaci niebieskich kropek. Punkty eksperymentalne w układach nie układają się na linii prostej. Wraz ze wzrostem wartości mała litera x rośnie wartość funkcji mała litera y. Punkty eksperymentalne obarczone zostały słupkami niepewności. Słupki niepewności widoczne są w postaci pionowych oraz poziomych odcinków przecinających się w środku punktów pomiarowych. W pierwszym układzie, do punktów eksperymentalnych dopasowana została funkcja liniowa. Funkcja ta widoczna jest w postaci prostej czarnej linii. Funkcja dopasowana do punktów eksperymentalnych jest rosnąca. Dopasowana funkcja liniowa ma swój początek na osi mała litera y, dla jej dodatniej wartości. Wartość na osi pionowej układu współrzędnych, dla których widoczny jest początek dopasowanej funkcji liniowej opisano małą literą b. Parametr mała litera b jest jednym z parametrów funkcji liniowej dopasowanej do punktów eksperymentalnych. W drugim układzie, do punktów eksperymentalnych również dopasowana została funkcja liniowa. Funkcja ta widoczna jest w postaci prostej czarnej linii. Funkcja dopasowana do punktów eksperymentalnych jest rosnąca. Dopasowana funkcja liniowa ma swój początek na osi mała litera y, dla jej dodatniej wartości. Wartość na osi pionowej układu współrzędnych, dla których widoczny jest początek dopasowanej funkcji liniowej opisano małą literą b. Parametr mała litera b jest jednym z parametrów funkcji liniowej dopasowanej do punktów eksperymentalnych. Poza funkcją dopasowania w układzie widoczne są jeszcze cztery inne funkcje. Pozostałe funkcje widoczne w układzie również są funkcjami liniowymi i rosnącymi. Dwie funkcji narysowano kolorem zielonym. Funkcje narysowane zielonym kolorem przechodzą przez końce skrajnych odcinków niepewności, narysowanych wzdłuż osi mała litera x. Pozostałe dwie funkcje liniowe widoczne w układzie współrzędnych są koloru czerwonego. Funkcje narysowane czerwonym kolorem przechodzą przez skrajne końce odcinków niepewności, narysowanych wzdłuż osi mała litera y. Wszystkie funkcje widoczne w układzie mają swój początek na osi pionowej. Wartości dodatnie, dla których swoje początki mają funkcje czerwone opisano małymi literami b z indeksem dolnym max oraz b z indeksem dolnym min. Funkcje narysowane zielonym oraz czerwonym kolorem w sposób graficzny prezentują niepewność wyznaczonej najlepiej dopasowanej prostej.

Dwie wartości, $b_{min}i{b}_{max}$, ograniczają przedział, w którym „z pewnością” mieści się prawdziwa wartość wyrazu wolnego b. Jednak pomiędzy prostymi zielonymi mieszczą się jedynie punkty pomiarowe, zaś pomiędzy prostymi czerwonymi mieszczą się także słupki ich standardowych niepewności. Nie ma sposobu obiektywnego rozstrzygnięcia, które z tych kryteriów jest bardziej wiarygodne.

Przykład 2. Znamy dokładnie wyraz wolny prostej.

Często prowadzimy badanie zależności proporcjonalnej pomiędzy badanymi wielkościami. Wtedy oczekujemy, że w równaniu prostej

wyraz wolny b = 0. Rzadsze są przypadki, w których wyraz wolny różny od zera jest znany dokładnie, a zależność przyjmie klasyczną postać zależności proporcjonalnej.

W takich sytuacjach możemy poprowadzić prostą najlepiej dopasowaną, ale uwzględniającą warunek, że musi onaprzechodzić przez punkt (0; 0) układu współrzędnych (Rys. 4.).

R17sNLX7Mb6ye

Rys. 4. Ilustracja podzielona jest na dwie części prawą oraz lewą. W obu częściach widoczne są rysunki przedstawiające prostokątne układy współrzędnych ograniczone czarnymi strzałkami. Osie pionowe układów skierowane są w górę i opisane małą literą y. Osie poziome układów skierowane są w prawo i oznaczone małą literą x. W obu układach widoczne są takie same punkty eksperymentalne przedstawione w postaci niebieskich kropek. Punkty eksperymentalne w układach nie układają się na linii prostej. Wraz ze wzrostem wartości mała litera x rośnie wartość funkcji mała litera y. Punkty eksperymentalne obarczone zostały słupkami niepewności. Słupki niepewności widoczne są w postaci pionowych oraz poziomych odcinków przecinających się w środkach punktów eksperymentalnych. W układzie po lewej stronie widoczna jest dopasowana do punktów eksperymentalnych funkcja liniowa. Funkcja ta narysowana jest czarnym kolorem. Jej początek znajduje się w początku układu współrzędnych. Dopasowana funkcja liniowa jest rosnąca. W układzie po prawej stronie również widoczna jest dopasowana do punktów eksperymentalnych funkcja liniowa. Funkcja ta narysowana jest czarnym kolorem. Jej początek znajduje się w początku układu współrzędnych. Dopasowana funkcja liniowa jest rosnąca. W układzie widoczne są jeszcze dwie funkcje liniowe narysowane czerwonym kolorem. Funkcje te również są rosnące i również posiadają swój początek w początku układu współrzędnych. Funkcje liniowe narysowane czerwonym kolorem są rozbieżne. Współczynnik kierunkowy jednej z czerwonych funkcji liniowych, mała litera a z indeksem dolnym max, jest większy niż funkcji dopasowanej do punktów eksperymentalnych. Współczynnik kierunkowy drugiej z czerwonych funkcji liniowych, mała litera a z indeksem dolnym min, jest mniejszy niż funkcji dopasowanej do punktów eksperymentalnych. Różnice pomiędzy współczynnikami kierunkowymi czerwonych prostych a współczynnikiem kierunkowym funkcji dopasowanej do punktów pomiarowych określają wartość niepewności wyznaczenia tej wielkości.

Dwie wartości, $a_{min}i{a}_{max}$, ograniczają przedział, w którym „z pewnością” mieści się prawdziwa wartość współczynnika kierunkowego a. Nachylenie każdej z tych prostych wyznacza się graficznie. 
Nie ma jednak sposobu obiektywnego rozstrzygnięcia, czy którakolwiek z tych prostych nie powinna być nieco mniej lub nieco bardziej nachylona.

Słowniczek