Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci kanonicznej. Wykres funkcji kwadratowej zapisanej wzorem w postaci ogólnej

Wykresem funkcji $f\left(x\right)={\left(x+1\right)}^2-4$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $\left(-1,-4\right)$, a jej ramiona są skierowane w górę.

Wykres funkcji $f$ otrzymujemy, przesuwając parabolę $y=x^2$ o $-1$ wzdłuż osi oraz o $\left(-4\right)$ wzdłuż osi .

Osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu $x=-1$.

Maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ rośnie, to $\left.⟨-1,+\infty \right)$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $f$ maleje, to $\left(-\infty ,-1\right.⟩$.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨-4,+\infty \right)$.

R10bUDGV3PdKz1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 8 do 8 oraz z pionową osią Y od minus 4 do trzy. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane do góry i dwa miejsca zerowe: x równa się minus trzy oraz x równa się jeden.

Wykresem funkcji $g\left(x\right)=2{\left(x-3\right)}^2+2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $\left(3,2\right)$, a jej ramiona skierowane są w górę.

Wykres funkcji $g$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=2x^2$ o $3$ wzdłuż osi oraz o $2$ wzdłuż osi .

Osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=3$.

Maksymalny przedział, w którym funkcja $g$ rośnie, to $\left.⟨3,+\infty \right)$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $g$ maleje, to $\left(-\infty ,3\right.⟩$.

Zbiorem wartości funkcji $g$ jest przedział $\left.⟨2,+\infty \right)$.

RuIwJx2gyDKB71

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 8 do 8 oraz z pionową osią Y od minus 1 do sześć. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane do góry i nie posiada miejsc zerowych.

Wykresem funkcji $h\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2-2$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $\left(2,-2\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół.

Wykres funkcji $h$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-x^2$ o $2$ wzdłuż osi oraz o $\left(-2\right)$ wzdłuż osi .

Osią symetrii wykresu funkcji $h$ jest prosta o równaniu $x=2$.

Maksymalny przedział, w którym funkcja $h$ rośnie, to $\left(-\infty ,2\right.⟩$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $h$ maleje, to $\left.⟨2,+\infty \right)$.

Zbiorem wartości funkcji $h$ jest przedział $\left(-\infty ,-2\right.⟩$.

RmhmNS1peQjsy1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 8 do 8 oraz z pionową osią Y od minus 6 do jeden. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane w dół i nie posiada miejsc zerowych, natomiast przecina oś Y w punkcie y równa się minus sześć.

Wykresem funkcji $k\left(x\right)=-4{\left(x+3\right)}^2+1$ jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt o współrzędnych $\left(-3,1\right)$, a jej ramiona są skierowane w dół.

Wykres funkcji $k$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-4x^2$ o $-3$ wzdłuż osi oraz o $1$ wzdłuż osi .

Osią symetrii wykresu funkcji $k$ jest prosta o równaniu $x=-3$.

Maksymalny przedział, w którym funkcja $k$ rośnie, to $\left(-\infty ,-3\right.⟩$, a maksymalny przedział, w którym funkcja $k$ maleje, to $\left.⟨-3,+\infty \right)$.

Zbiorem wartości funkcji $k$ jest przedział $\left(-\infty ,1\right.⟩$.

RSg92JIbYVU5p1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 8 do 8 oraz z pionową osią Y od minus 6 do jeden. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane w dół i dwa miejsca zerowe: x równa się minus trzy i jedna druga oraz x równa się minus dwa i jedna druga.

Wykres każdej z omawianych funkcji rysowaliśmy, korzystając z pomysłu przedstawionego na początku tej lekcji. Przepis ten da się zastosować do wykresu każdej funkcji kwadratowej, której wzór umiemy zapisać w postaci $y=a{\left(x-p\right)}^2+q$, nazywanej postacią kanoniczną funkcji kwadratowej.

Zauważmy, że w przypadku funkcji $f$ i $k$, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy, otrzymujemy

oraz

natomiast w przypadku funkcji $g$ i $h$, po zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy, otrzymujemy

a także

Zatem każdą z funkcji $f$, $g$, $h$ i $k$ można zapisać w postaci $y=a{x}^2+bx+c$.

Wzór $y=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a$, $b$, $c$ są ustalonymi liczbami rzeczywistymi, przy czym $a$ jest różne od $0$, nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej zmiennej $x$.

Na jednym rysunku naszkicujemy wykresy funkcji $f$ i $g$ określonych wzorami $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-4$ oraz $g\left(x\right)=x^2-4x$.

Przekształcimy wzór funkcji $f$.

Wobec tego funkcje $f$ i $g$ są tożsamościowo równe, czyli ich wykresem jest ta sama parabola.

Wykresem obu tych funkcji jest parabola, która powstaje w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=x^2$ o $2$ wzdłuż osi oraz o $\left(-4\right)$ wzdłuż osi .

R13ymrry7Hijq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 9 do 10 oraz z pionową osią Y od minus 6 do sześć. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane do góry i dwa miejsca zerowe: x równa się zero oraz x równa się cztery.

Wykażemy, że przesuwając równolegle parabolę $y=x^2$, otrzymamy wykres funkcji $f$ określonej wzorem

Po przesunięciu paraboli $y=x^2$ o $p$ wzdłuż osi oraz o $q$ wzdłuż osi otrzymujemy parabolę o równaniu $y={\left(x-p\right)}^2+q$, które przekształcamy do postaci $y=x^2-2px+p^2+q$. Zauważmy, że dla $p=-4$ równanie tej paraboli to $y=x^2+8x+16+q$. Przyjmując dodatkowo $q=-4$, dostajemy $y=x^2+8x+12$. Oznacza to, że przesuwając parabolę o równaniu $y=x^2$ o $\left(-4\right)$ wzdłuż osi i o $\left(-4\right)$ wzdłuż osi , otrzymujemy wykres podanej funkcji $f$. Wzór funkcji $f$ można też zapisać w postaci $f\left(x\right)={\left(x+4\right)}^2-4$.

R15211FNOSsRC1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 8 do 8 oraz z pionową osią Y od minus 4 do trzy. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane do góry i dwa miejsca zerowe: x równa się minus sześć oraz x równa się minus dwa.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$.

Wykorzystamy w tym celu pomysł z poprzedniego przykładu. Spodziewamy się, że wykres funkcji $f$ otrzymujemy, przesuwając parabolę o równaniu $y=-x^2$ o $p$ wzdłuż osi oraz o $q$ wzdłuż osi . W efekcie otrzymujemy parabolę o równaniu $y=-{\left(x-p\right)}^2+q$, które przekształcamy do postaci $y=-x^2+2px-p^2+q$.

Jeżeli przyjmiemy $p=2$, to $2p=4$ i parabola ma równanie $y=-x^2+4x-4+q$.

Wystarczy zatem przyjąć $q=9$ i otrzymujemy równanie $y=-x^2+4x+5$. Mamy więc

Wobec tego wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-x^2+4x+5$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=-x^2$ o $2$ wzdłuż osi i o $9$ wzdłuż osi .

Rvq3nFUQbTe9u1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 13 do 13 oraz z pionową osią Y od minus 3 do dziewięć. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias dwa średnik 9 zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane w dół i dwa miejsca zerowe: x równa się minus jeden oraz x równa się pięć. Lewe ramię paraboli przecina oś Y w punkcie y równa się pięć.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=3x^2-6x$.

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ można zapisać jako $f\left(x\right)=3\left(x^2-2x\right)$. Ponadto dla każdej liczby $x$ prawdziwa jest równość $x^2-2x+1={\left(x-1\right)}^2$, a więc także równość $x^2-2x={\left(x-1\right)}^2-1$.

Wzór funkcji $f$ można przekształcić do postaci

Wynika z tego, że wykresem funkcji $f$ opisanej wzorem $f\left(x\right)=3x^2-6x$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=3x^2$ o $1$ wzdłuż osi i o $\left(-3\right)$ wzdłuż osi .

R1O4cNjfv6e6i1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 13 do 13 oraz z pionową osią Y od minus 3 do dziewięć. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik minus 3 zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane do góry i dwa miejsca zerowe: x równa się zero oraz x równa się dwa.

Narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)=-2x^2+16x-22$.

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ można zapisać jako $f\left(x\right)=-2\left(x^2-8x\right)-22$.

Ponadto dla każdej liczby $x$ prawdziwa jest równość $x^2-8x+16={\left(x-4\right)}^2$, a więc także równość $x^2-8x={\left(x-4\right)}^2-16$.

Wzór funkcji $f$ można zatem zapisać w postaci

Wynika z tego, że wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-2x^2+16x-22$ jest parabola, którą otrzymujemy w wyniku przesunięcia paraboli o równaniu $y=-2x^2$ o $4$ wzdłuż osi i o $10$ wzdłuż osi .

RkIZSDm3GqpjA1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 13 do 13 oraz z pionową osią Y od minus 2 do dziesięć. Na płaszczyźnie narysowano parabolę wyjściową o ramionach skierowanych w dół o wierzchołku w punkcie nawias 0 średnik 0 zamknięcie nawiasu. Druga parabola jest przesunięciem paraboli wyjściowej, ma taki sam kształt, a jej wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias 4 średnik 10 zamknięcie nawiasu. Parabola przesunięta ma ramiona skierowane w dół i dwa miejsca zerowe: x równa się 4 odjąć pierwiastek kwadratowy z pięć, czyli w przybliżeniu 1,76 oraz x równa się cztery dodać pierwiastek kwadratowy z pięć, czyli w przybliżeniu 6,24

Na rysunkach przedstawiono wykresy kilku różnych funkcji. Zapiszemy wzór każdej z tych funkcji w postaci kanonicznej oraz w postaci ogólnej.

1. Wykres funkcji kwadratowej $f$.

   R1FUJq18BvEwI1

   Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 7 do 7 oraz z pionową osią Y od minus 3 do trzy. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 1 średnik minus 1 zamknięcie nawiasu. Parabola ma dwa miejsca zerowe: x równa się 0 oraz x równa się dwa.

   

   Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(1,-1\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2-1$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(0,0\right)$, zatem $a\cdot {\left(0-1\right)}^2-1=0$, stąd $a=1$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $f$ to $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2-1$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $f\left(x\right)=x^2-2x+1-1$, stąd $f\left(x\right)=x^2-2x$.

2. Wykres funkcji kwadratowej $g$.

   RncsAWGuGZlQo1

   Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 7 do 7 oraz z pionową osią Y od minus 3 do trzy. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie nawias minus 2 średnik 2 zamknięcie nawiasu. Parabola ma dwa miejsca zerowe: x równa się minus 4 oraz x równa się zero.

   

   Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(-2,2\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x+2\right)}^2+2$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(0,0\right)$, zatem $a\cdot {\left(0+2\right)}^2+2=0$, stąd $a=-\frac{1}{2}$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $g$ to $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{\left(x+2\right)}^2+2$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}\left(x^2+4x+4\right)+2$, stąd $g\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2-2x$.

3. Wykres funkcji kwadratowej $h$.

   RXKpPm6PfpqB81

   Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 7 do 7 oraz z pionową osią Y od minus 2 do cztery Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w dół i o wierzchołku w punkcie nawias 3 średnik 4 zamknięcie nawiasu. Parabola ma dwa miejsca zerowe: x równa się 1 oraz x równa się pięć.

   

   Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(3,4\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-3\right)}^2+4$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(1,0\right)$, zatem $a\cdot {\left(1-3\right)}^2+4=0$, stąd $a=-1$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $h$ to $h\left(x\right)=-{\left(x-3\right)}^2+4$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $h\left(x\right)=-\left(x^2-6x+9\right)+4$, stąd $h\left(x\right)=-x^2+6x-5$.

4. Wykres funkcji kwadratowej $k$.

   Rzgg8DDRPTA5y1

   Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus 7 do 7 oraz z pionową osią Y od minus 2 do cztery. Na płaszczyźnie narysowano parabolę o ramionach skierowanych w górę i o wierzchołku w punkcie nawias 1 średnik 1 zamknięcie nawiasu. Parabola nie posiada miejsc zerowych, natomiast przecina oś Y dla y równa się trzy.

   

   Wierzchołkiem paraboli jest punkt $\left(1,1\right)$, więc ma ona równanie postaci $y=a{\left(x-1\right)}^2+1$. Na tej paraboli leży też punkt $\left(0,3\right)$, zatem $a\cdot {\left(0-1\right)}^2+1=3$, skąd $a=2$. Wobec tego postać kanoniczna funkcji $k$ to $k\left(x\right)=2{\left(x-1\right)}^2+1$. Przekształcamy ten wzór do postaci ogólnej: $k\left(x\right)=2\left(x^2-2x+1\right)+1$, stąd $k\left(x\right)=2x^2-4x+3$.