Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias

Jeżeli w sumie algebraicznej, w każdym ze składników, występuje taki sam czynnik, to można ten wspólny czynnik wyłączyć przed nawias.

RpWLawiLHR7bE1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

R4BSbCSr1g87q1

Przykład 2

Ra4KEScGTCvC61

Ważne!

Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias to zamiana sumy algebraicznej na iloczyn.

R1brKVQb3hMT01

Ćwiczenie 1

Wyłącz wspólny czynnik przed nawias, a następnie uzupełnij poniższe równania odpowiednimi liczbami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz brakujące wyrażenie dla każdego równania.

8 x^{2} - 16 x = 2

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = x

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = 2 x

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = 8 x

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = - 8

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = - 4 x

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = 8 x^{2}

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

8 x^{2} - 16 x = 16 x^{3}

(x - 2)

, 2.

(4 x - 8)

, 3.

(1 - \frac{2}{x})

, 4.

(4 x^{2} - 8 x)

, 5.

(- 2 x + 4)

, 6.

(- x^{2} + 2 x)

, 7.

(8 x - 16)

, 8.

(\frac{1}{2 x} - \frac{1}{x^{2}})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1PAAlTgwVq261

Ćwiczenie 2

3 x - 3 = 3

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

4 x + 2 = 2

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

0, 3 x - 0, 3 = 0, 3

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

15 x - 5 = 5

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

1, 2 x - 0, 6 = 0, 6

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

\frac{1}{3} x + \frac{2}{3} = \frac{1}{3}

(2 x + 1)

, 2.

(x + 2)

, 3.

(3 x - 1)

, 4.

(2 x - 1)

, 5.

(x - 1)

, 6.

(x - 1)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

REitHmbt4fME31

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1673RcKfvNGQ2

Ćwiczenie 4

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia przed i po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias. Połącz w pary wyrażenia równoważne.

2 x y - 4 x + 8 y

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

- 9 a b c - 18 a b + 27 a c

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

5 x^{2} - 5 x + 10 x^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

3 a^{2} b c^{2} + 6 a b^{2} c^{2} - 6 a^{2} b^{2} c^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

0, 5 x^{3} y^{2} z - 1, 5 x^{2} y z^{2} - 2 x^{2} y^{2} z^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

\frac{2}{5} z v^{3} + \frac{1}{5} z^{2} v^{2} - \frac{3}{5} z^{2} v^{3}

Możliwe odpowiedzi: 1.

0, 5 x^{2} y z (x y - 3 z - 4 y z)

, 2.

9 a (- b c - 2 b + 3 c)

, 3.

5 x (x - 1 + 2 x^{2})

, 4.

2 (x y - 2 x + 4 y)

, 5.

3 a b c^{2} (a + 2 b - 2 a b)

, 6.

\frac{1}{5} z v^{2} (2 v + z - 3 z v)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R2dQ5FIZbFEvY2

Ćwiczenie 5

Poniżej przedstawiono pewne wyrażenia przed i po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias. Połącz w pary wyrażenia równoważne.

x^{2} y (3 - 2 x)

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 x - 2 y

, 2.

2 x^{3} y - x y^{3}

, 3.

2 x y^{2} - x^{2} y

, 4.

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{6} x y

, 5.

3 x^{2} y - 2 x^{3} y

\frac{1}{6} x (3 x^{2} - y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 x - 2 y

, 2.

2 x^{3} y - x y^{3}

, 3.

2 x y^{2} - x^{2} y

, 4.

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{6} x y

, 5.

3 x^{2} y - 2 x^{3} y

- 2 (- \frac{5}{2} x + y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 x - 2 y

, 2.

2 x^{3} y - x y^{3}

, 3.

2 x y^{2} - x^{2} y

, 4.

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{6} x y

, 5.

3 x^{2} y - 2 x^{3} y

\frac{1}{2} x y (4 x^{2} - 2 y^{2})

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 x - 2 y

, 2.

2 x^{3} y - x y^{3}

, 3.

2 x y^{2} - x^{2} y

, 4.

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{6} x y

, 5.

3 x^{2} y - 2 x^{3} y

- 4 x (- \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x y)

Możliwe odpowiedzi: 1.

5 x - 2 y

, 2.

2 x^{3} y - x y^{3}

, 3.

2 x y^{2} - x^{2} y

, 4.

\frac{1}{2} x^{3} - \frac{1}{6} x y

, 5.

3 x^{2} y - 2 x^{3} y

Połącz w pary.

$x^{2} y (3 - 2 x)$
$\frac{1}{6} x (3 x^{2} - y)$
$- 2 (- \frac{5}{2} x + y)$
$\frac{1}{2} x y (4 x^{2} - 2 y^{2})$
$- 4 x (- \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{4} x y)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RdSJUwufLdDZC2

Ćwiczenie 6

3 x^{2} - 6 =

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

(x^{2} - 2)

5 a^{2} + 12 a =

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

(a + 2 \frac{2}{5})

2 y - 8 =

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

(- y + 4)

4 k - 12 = 8

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

6 v^{3} z - 18 v^{2} z^{2} = 18 v^{3} z^{2}

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

\frac{1}{3} a - \frac{1}{6} a^{2} b =

\frac{1}{6} a

, 2.

- 2

, 3.

(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})

, 4.

5 a

, 5.

(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})

, 6.

3

(2 - a b)

Przeciągnij i upuść.

$(\frac{1}{2} k - \frac{3}{2})$ , $(\frac{1}{3 z} - \frac{1}{v})$ , $5 a$ , $- 2$ , $3$ , $\frac{1}{6} a$

$3 x^{2} - 6 =$ .......................................................... $(x^{2} - 2)$
$5 a^{2} + 12 a =$ .......................................................... $(a + 2 \frac{2}{5})$
$2 y - 8 =$ .......................................................... $(- y + 4)$
$4 k - 12 = 8$ ..........................................................
$6 v^{3} z - 18 v^{2} z^{2} = 18 v^{3} z^{2}$ ..........................................................
$\frac{1}{3} a - \frac{1}{6} a^{2} b =$ .......................................................... $(2 - ab)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rkr0rtvAFsYyw2

Ćwiczenie 7

$3 (4 xy - 6 xz + 2)$
$18 (3 xy - 2 xz + 2)$
$6 (2 xy - 3 xz + 1)$
$6 (2 xy + 3 xz + 1)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rftaf7VBEwGij2

Ćwiczenie 8

$28 + x % zł$
$28 (1 + \frac{x}{100}) zł$
$28 (100 + x) zł$
$\frac{2,8 (100 + x)}{100} zł$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkoIHKRTmYcQv2

Ćwiczenie 9

$3 (x + 4) zł$
$(2 x + 4) zł$
$5 (x + 2) zł$
$3 (2 x + 4) zł$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1NbZhVxkrYpe3

Ćwiczenie 10

Wyrażenia $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{2}{3} x^{2}$ i $\frac{1}{3} x (x - 2)$ są równe.
Wyrażenia $2 x + 3$ i $\frac{6 x + 9}{3}$ są równe.
Wyrażenie $8 x y^{2} - \frac{2}{5} x^{2}$ po wyłączeniu wspólnego czynnika przed nawias ma postać: $0,4 x (20 y^{2} - x) .$
Jeżeli dla danych liczb $a$ i $b$ wartość wyrażenia $4 a - 6 b$ wynosi $9,$ to wartość wyrażenia $2 a - 3 b$ dla tych samych liczb $a$ i $b$ wynosi $3$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTt8gFE2YQ9GB3

Ćwiczenie 11

Uzupełnij poniższe odpowiedzi, przeciągając w luki odpowiednie liczby lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Torba kosztowała

x zł

, a następnie jej cenę podwyższono o

y %

. Jaka jest nowa cena torby?
Odpowiedź: Nową cenę torby możemy zapisać wzorem 1.

x (1 + \frac{y}{100})

, 2.

x - y

, 3.

x + y

, 4.

x (1 - \frac{y}{100})

.
Buty kosztowały

x zł

, a następnie ich cenę obniżono o

y %

. Jaka jest nowa cena butów?
Odpowiedź: Nową ceną butów możemy zapisać wzorem 1.

x (1 + \frac{y}{100})

, 2.

x - y

, 3.

x + y

, 4.

x (1 - \frac{y}{100})

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Wykaż, że:

suma trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez $3$
suma trzech kolejnych liczb parzystych jest podzielna przez $6$

RfrzIXrZom65o

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Trzy kolejne liczby naturalne, to np. $n, n + 1, n + 2$ , gdzie $n$ – liczba naturalna.
Trzy kolejne liczby parzyste, to np. $2 n, 2 n + 2, 2 n + 4$ , gdzie $n$ – liczba naturalna.

$n + n + 1 + n + 2 = 3 n + 3 = 3 (n + 1)$ , gdzie $n$ – liczba naturalna
$2 n + 2 n + 2 + 2 n + 4 = 6 n + 6 = 6 (n + 1)$ gdzie $n$ – liczba naturalna