Zdjęcie przedstawia wahadło Newtona składające się z sześciu metalowych kulek. Każda z kulek zawieszona jest na dwóch sznurkach przymocowanych do przeciwległych boków kulki. Kulki stykają się za sobą tworząc rządek. Jedna z kulek po prawej stronie jest odchylona i zbliża się do pozostałych zetkniętych ze sobą. Skutkiem takiego działania będzie zderzenie a następnie przekazanie energii poprzez kolejne kulki do tej, która znajduje się najbardziej z lewej strony. Kiedy energia zostanie przekazana do skrajnie lewej kulki, ta odchyli się a następnie wróci i cały proces zajdzie w odwrotnym kierunku. Urządzenie nazywane jest czasami również kołyską Newtona. Kulki widoczne są na niebieskim tle.
Zdjęcie przedstawia wahadło Newtona składające się z sześciu metalowych kulek. Każda z kulek zawieszona jest na dwóch sznurkach przymocowanych do przeciwległych boków kulki. Kulki stykają się za sobą tworząc rządek. Jedna z kulek po prawej stronie jest odchylona i zbliża się do pozostałych zetkniętych ze sobą. Skutkiem takiego działania będzie zderzenie a następnie przekazanie energii poprzez kolejne kulki do tej, która znajduje się najbardziej z lewej strony. Kiedy energia zostanie przekazana do skrajnie lewej kulki, ta odchyli się a następnie wróci i cały proces zajdzie w odwrotnym kierunku. Urządzenie nazywane jest czasami również kołyską Newtona. Kulki widoczne są na niebieskim tle.
Z matematyczną precyzją - konstrukcja mostów
Źródło: dostępny w internecie: https://www.istockphoto.com/pl/zdj%C4%99cie/ko%C5%82yska-newtona-gm465044128-59504348 [dostęp 11.03.2022].
Karta pracy podsumowująca opanowanie treści zajęć realizowanych zgodnie z metodologią STEM w oparciu o zasoby Zintegrowanej Platformy Edukacyjnej, opracowana w ramach rządowego programu wspierania organów prowadzących szkoły i placówki w rozwijaniu umiejętności cyfrowych dzieci i młodzieży na lata 2025‑2029 – „Cyfrowy Uczeń” (Dz.U.2025.1254)
Karta pracy została przygotowana jako podsumowanie treści realizowanych podczas zajęć i służy utrwaleniu najważniejszych pojęć, umiejętności oraz wniosków. Zawarte w niej zadania stanowią zestaw interaktywnych ćwiczeń z ZPE, odpowiadający zakresowi merytorycznemu scenariusza “Z matematyczną precyzją - konstrukcja mostów.”
RFbm8kd53abM7
Na zdjęciu widoczny jest czarno‑biały most wiszący sfotografowany wzdłuż osi jezdni. Nawierzchnia mostu jest wyraźnie pofalowana i opada w środkowej części. Po obu stronach jezdni biegną grube liny nośne oraz pionowe wieszaki podtrzymujące konstrukcję. W centralnej części mostu znajduje się sylwetka jednej osoby. W tle widoczne są kolejne pylony mostu oraz linia drzew rozciągająca się na horyzoncie.
Rys. a. Katastrofa na moście w miejscowości Tacoma w Stanach Zjednoczonych
Źródło: dostępny w internecie: https://cs.wikipedia.org/wiki/Soubor:Howard_Clifford_running_off_the_Tacoma_Narrows_Bridge_during_collapse,_Tacoma,_Washington_(4861196144).jpg [dostęp 11.03.2022].
Warto przeczytać
Drgania harmoniczne rozpoczynają się, gdy układ zostanie wyprowadzony z położenia równowagi i pojawia się siła wprost proporcjonalna do wychylenia, która próbuje ten stan równowagi przywrócić. Przykładem może być ciało przyczepione do sprężyny, która zostanie rozciągnięta i puszczona swobodnie. Ciało to wykonuje drgania z częstotliwością charakterystyczną dla tego ciała i tej sprężyny. Częstotliwość drgań swobodnych, czyli takich, w których na układ nie działają siły zewnętrzne, nazywamy częstotliwością drgań własnych.
Oczywiście w realnym świecie zawsze występują siły oporu, które w końcu powodują wygaszenie drgań. Jeśli zależy nam na podtrzymaniu drgań, musimy na układ działać periodyczną siłą wymuszającą. Znanym wszystkim z własnego doświadczenia przypadkiem wymuszania drgań jest rozbujanie huśtawki (Rys. 1.). Aby to się udało, należy popychać huśtawkę z dokładnie określoną częstotliwością. Działanie siły musi być zgodne ze swobodnym ruchem huśtawki. Inaczej mówiąc, częstotliwość siły wymuszającej musi być zbliżona do częstotliwości drgań własnych. Jeśli będziemy popychali huśtawkę w innym rytmie, ruch huśtawki będzie bezładny a wychylenia z położenia równowagi niewielkie.
RnRApl4DrplH0
Zdjęcie przedstawia dziewczynkę bujającą się na huśtawce na placu zabaw.
Rys. 1. Aby rozbujać huśtawkę, czyli uzyskać maksymalna amplitudę drgań, należy działać na nią siłą periodyczną o częstotliwości zbliżoną do częstotliwości drgań własnych huśtawki
Źródło: dostępny w internecie: https://pixabay.com/photos/playground-swing-child-2543210/ [dostęp 11.03.2022].
Rezonans mechaniczny - opis zjawiska
Obejrzyj film, który demonstruje zjawisko rezonansu. Do doświadczenia użyto trzech wahadeł zawieszonych na jednej lince. Dwa z nich mają jednakowe długości, a jedno jest krótsze. Sprawdź, w jaki sposób wahadła przekazują energię drgań między sobą oraz jaki wpływ na ruch wahadeł ma ich częstotliwość własna.
Zapoznaj się z opisem filmu.
RKTssjmHblTzE
Film przedstawia zachowanie się trzech powiązanych ze sobą wahadeł w ramach zjawiska rezonansu mechanicznego. Animację rozpoczyna czarny slajd tytułowy, na którym po środku umieszczono, dużymi literami, biały napis "REZONANS MECHANICZNY OPIS ZJAWISKA". Następnie rozpoczyna się film, na którym przedstawiono, na białym tle, na zielonym stole postawiono pionowo czarną ramę, po między której bocznymi krawędziami rozpięta jest lina, na której wiszą obok siebie trzy bordowe wahadła. Dwa skrajne z nich są tej samej długości a środkowe jest znacznie krótsze. Po wprawieniu wahadła lewego w ruch zaczyna poruszać liną. Drgania liny, na której wiszą wahadła przenoszą energie na wahadło środkowe i prawe. Bujać zaczyna się jednak tylko wahadło prawe ponieważ wahadło środkowe ma inną długość a przez to także inną częstotliwość drgań własnych. Animację kończy biały, cieniowany na dole, slajd końcowy, w którego środku umieszczono logo projektu, składające się z niebieskich, zamalowanych w środku, obiektów przypominających elipsy rozmieszczonych na powierzchni przypominającej fragment koła. Logo to również zawiera niebieski napis zapisany dużymi literami o treści "FIZYKA 950 KAPSUŁEK". Na dole ekranu umieszczono dodatkowe trzy loga w poziomie obok siebie. Są to kolejno od lewej: logo w postaci prostokąta w którym zawarto dwie umieszczone pod sobą identyczne gasnące fale, z czarnym napisem po prawej stronie którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter "Wydział Fizyki" a pod nim mniejszą czarną czcionką dużymi literami tekst "POLITECHNIKA WARSZAWSKA", logo składające się z trzech pięcioramiennych gwiazdek w kolorach żółtym, białym i czerwonym na granatowym tle, po którego prawej stronie znajduje się czarny napis, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści: "Fundusze Europejskie Wiedza Edukacja Rozwój" oraz logo składające się z granatowej flagi ze złotymi dwunastoma gwiazdami ułożonymi w kształt okręgu z czarnym napisem po lewej stronie, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści "Unia Europejska".
Film przedstawia zachowanie się trzech powiązanych ze sobą wahadeł w ramach zjawiska rezonansu mechanicznego. Animację rozpoczyna czarny slajd tytułowy, na którym po środku umieszczono, dużymi literami, biały napis "REZONANS MECHANICZNY OPIS ZJAWISKA". Następnie rozpoczyna się film, na którym przedstawiono, na białym tle, na zielonym stole postawiono pionowo czarną ramę, po między której bocznymi krawędziami rozpięta jest lina, na której wiszą obok siebie trzy bordowe wahadła. Dwa skrajne z nich są tej samej długości a środkowe jest znacznie krótsze. Po wprawieniu wahadła lewego w ruch zaczyna poruszać liną. Drgania liny, na której wiszą wahadła przenoszą energie na wahadło środkowe i prawe. Bujać zaczyna się jednak tylko wahadło prawe ponieważ wahadło środkowe ma inną długość a przez to także inną częstotliwość drgań własnych. Animację kończy biały, cieniowany na dole, slajd końcowy, w którego środku umieszczono logo projektu, składające się z niebieskich, zamalowanych w środku, obiektów przypominających elipsy rozmieszczonych na powierzchni przypominającej fragment koła. Logo to również zawiera niebieski napis zapisany dużymi literami o treści "FIZYKA 950 KAPSUŁEK". Na dole ekranu umieszczono dodatkowe trzy loga w poziomie obok siebie. Są to kolejno od lewej: logo w postaci prostokąta w którym zawarto dwie umieszczone pod sobą identyczne gasnące fale, z czarnym napisem po prawej stronie którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter "Wydział Fizyki" a pod nim mniejszą czarną czcionką dużymi literami tekst "POLITECHNIKA WARSZAWSKA", logo składające się z trzech pięcioramiennych gwiazdek w kolorach żółtym, białym i czerwonym na granatowym tle, po którego prawej stronie znajduje się czarny napis, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści: "Fundusze Europejskie Wiedza Edukacja Rozwój" oraz logo składające się z granatowej flagi ze złotymi dwunastoma gwiazdami ułożonymi w kształt okręgu z czarnym napisem po lewej stronie, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści "Unia Europejska".
Film przedstawia zachowanie się trzech powiązanych ze sobą wahadeł w ramach zjawiska rezonansu mechanicznego. Animację rozpoczyna czarny slajd tytułowy, na którym po środku umieszczono, dużymi literami, biały napis "REZONANS MECHANICZNY OPIS ZJAWISKA". Następnie rozpoczyna się film, na którym przedstawiono, na białym tle, na zielonym stole postawiono pionowo czarną ramę, po między której bocznymi krawędziami rozpięta jest lina, na której wiszą obok siebie trzy bordowe wahadła. Dwa skrajne z nich są tej samej długości a środkowe jest znacznie krótsze. Po wprawieniu wahadła lewego w ruch zaczyna poruszać liną. Drgania liny, na której wiszą wahadła przenoszą energie na wahadło środkowe i prawe. Bujać zaczyna się jednak tylko wahadło prawe ponieważ wahadło środkowe ma inną długość a przez to także inną częstotliwość drgań własnych. Animację kończy biały, cieniowany na dole, slajd końcowy, w którego środku umieszczono logo projektu, składające się z niebieskich, zamalowanych w środku, obiektów przypominających elipsy rozmieszczonych na powierzchni przypominającej fragment koła. Logo to również zawiera niebieski napis zapisany dużymi literami o treści "FIZYKA 950 KAPSUŁEK". Na dole ekranu umieszczono dodatkowe trzy loga w poziomie obok siebie. Są to kolejno od lewej: logo w postaci prostokąta w którym zawarto dwie umieszczone pod sobą identyczne gasnące fale, z czarnym napisem po prawej stronie którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter "Wydział Fizyki" a pod nim mniejszą czarną czcionką dużymi literami tekst "POLITECHNIKA WARSZAWSKA", logo składające się z trzech pięcioramiennych gwiazdek w kolorach żółtym, białym i czerwonym na granatowym tle, po którego prawej stronie znajduje się czarny napis, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści: "Fundusze Europejskie Wiedza Edukacja Rozwój" oraz logo składające się z granatowej flagi ze złotymi dwunastoma gwiazdami ułożonymi w kształt okręgu z czarnym napisem po lewej stronie, którego wyrazy rozpoczynają się z dużych liter, treści "Unia Europejska".
1
Polecenie 1
Na filmie wahadło zostało odchylone w kierunku prostopadłym do płaszczyzny wyznaczonej przez wiszące wahadła. Co by się stało, gdyby to samo wahadło odchylono w kierunku równoległym do tej płaszczyzny? Które wahadło rozpoczęłoby drgania i w jakim kierunku?
uzupełnij treść
Drgania zostałyby przekazane na skutek rezonansu do wahadła o jednakowej długości i częstotliwości drgań własnych. Kierunek drgań tego wahadła byłby taki sam jak wahadła, które pierwsze rozpoczęło drgania, czyli w płaszczyźnie wyznaczonej przez wiszące wahadła.
1
Polecenie 2
Wyjaśnij, jaka uniwersalna zasada fizyczna jest przyczyną takiego kierunku drgań wahadła pobudzonego do ruchu przez pierwsze wahadło.
uzupełnij treść
Oba wahadła drgające w rezonansie mają jednakowy kierunek drgań z powodu zasady zachowania pędu. Układ wahadeł można uznać za układ izolowany, a zasada zachowania pędu mówi, że pęd całkowity układu izolowanego jest stały. Odnosi się to zarówno do wartości jak i kierunku wektora pędu. Ruch drgający przekazywany z jednego wahadła do drugiego musi odbywać się więc w tej samej płaszczyźnie, bo kierunki pędów obu wahadeł musza mieć jednakowy kierunek.
RdUT3CZDXZEw31
Ćwiczenie 1
Wybierz prawdziwe stwierdzenie: Możliwe odpowiedzi: 1. Rezonans mechaniczny między dwoma układami zaobserwujemy, gdy częstotliwość drgań własnych układów jest jednakowa., 2. Rezonans mechaniczny między dwoma układami zaobserwujemy, gdy amplituda drgań układów jest jednakowa.
3
Ćwiczenie 2
Podaj po dwa przykłady niekorzystnego działania i korzystnego działania zjawiska rezonansu.
Przykładowe działania niekorzystne:
uszkodzenia budynków podczas trzęsienia ziemi,
awarie urządzeń, w których praca silnika wywołuje rezonans obudowy,
zawalenie mostu, którego elementy miały jednakową częstotliwość drgań własnych.
Przykładowe działania korzystne:
działanie instrumentów muzycznych,
wahadło zegara wahadłowego,
rozbujanie huśtawki.
3
Ćwiczenie 3
Gdy jedziemy autobusem, możemy czasem zaobserwować, że przy pewnej prędkości zaczynają drżeć szyby w oknach, a przy innych prędkościach to zjawisko nie występuje. Wyjaśnij to zjawisko.
Drżenie szyb spowodowane jest rezonansem.
Drżenie szyb spowodowane jest rezonansem, który powstaje podczas takich obrotów silnika, gdy częstotliwość drgań własnych szyb zrównuje się z częstotliwością drgań silnika.
2
Ćwiczenie 4
R1cMEISSJBkKv
W wagonie kolejowym znajduje się ciężarek zawieszony na sprężynie. Gdy ciężarek podczas postoju pociągu wychylić z położenia równowagi, zaczyna drgać z częstotliwością f = 0,5 Hz. Przy jakiej prędkości pociągu ciężarek na sprężynie wpadnie w rezonans, jeżeli szyny mają długość l = 30 m. Wyraź prędkość w km/h. Odpowiedź: v = Tu uzupełnij km/h
W wagonie kolejowym znajduje się ciężarek zawieszony na sprężynie. Gdy ciężarek podczas postoju pociągu wychylić z położenia równowagi, zaczyna drgać z częstotliwością f = 0,5 Hz. Przy jakiej prędkości pociągu ciężarek na sprężynie wpadnie w rezonans, jeżeli szyny mają długość l = 30 m. Wyraź prędkość w km/h. Odpowiedź: v = Tu uzupełnij km/h
Rezonans nastąpi wtedy, gdy częstotliwość własna drgań ciężarka na sprężynce będzie równa częstotliwości stukania kół o złącza szyn i związanych z tym ruchów wagonu w kierunku pionowym. Innymi słowy okres drgań ciężarka będzie równy czasowi przebycia drogi równej długości szyny.
R1JWYupQLMYrQ3
Ćwiczenie 5
Odpowiedz na pytania lub uzupełnij tekst. 1. Maksymalne wychylenie w ruchu harmonicznym., 2. Odwrotność częstotliwości., 3. Punkt, który drgające ciało mija z maksymalną prędkością, to położenie …, 4. Zjawisko polegające na tym, że drgania wymuszone osiągają maksymalną amplitudę., 5. Częstotliwość drgań układu, na który nie działają siły zewnętrzne, to częstotliwość drgań …, 6. Drgania ze stale zmniejszającą się amplitudą to drgania …, 7. Rezonans występujące, gdy częstotliwość siły wymuszającej i częstotliwość drgań własnych układu są ...
Odpowiedz na pytania lub uzupełnij tekst. 1. Maksymalne wychylenie w ruchu harmonicznym., 2. Odwrotność częstotliwości., 3. Punkt, który drgające ciało mija z maksymalną prędkością, to położenie …, 4. Zjawisko polegające na tym, że drgania wymuszone osiągają maksymalną amplitudę., 5. Częstotliwość drgań układu, na który nie działają siły zewnętrzne, to częstotliwość drgań …, 6. Drgania ze stale zmniejszającą się amplitudą to drgania …, 7. Rezonans występujące, gdy częstotliwość siły wymuszającej i częstotliwość drgań własnych układu są ...
2
Ćwiczenie 6
R15RuIFozznQB
Sprężyna z ciężarkiem przyczepiona jest prętem do obracającej się tarczy (rysunek). Częstotliwość drgań własnych sprężyny z ciężarkiem wynosi F = 1,2 Hz. Z jaką prędkością kątową powinna obracać się tarcza, aby ciężarek wpadł w rezonans? Odpowiedź: OMEGA = Tu uzupełnij s-1
Sprężyna z ciężarkiem przyczepiona jest prętem do obracającej się tarczy (rysunek). Częstotliwość drgań własnych sprężyny z ciężarkiem wynosi F = 1,2 Hz. Z jaką prędkością kątową powinna obracać się tarcza, aby ciężarek wpadł w rezonans? Odpowiedź: OMEGA = Tu uzupełnij s-1
Częstotliwość drgań własnych sprężyny z ciężarkiem i częstotliwość obrotów tarczy powinny być jednakowe. Prędkość kątowa to , gdzie jest okresem obrotu.
RwjhDbYhEGYfW
Na rysunku widać szarą obracającą się zgodnie z kierunkiem ruchu wskazówek zegara tarczę. Na jej środku narysowano małe niebieskie koło i do jednego punktu jego krawędzi przyczepiono pionowy kijek na którego końcu zaczepiono sprężynę a na jej końcu ciężarek. Układ ten przedstawiano w dwóch przykładowych położeniach podczas obrotu tarczy.
Źródło: Politechnika Warszawska Wydział Fizyki, licencja: CC BY 4.0. Licencja: https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/deed.pl.
