1. Aktywność wprowadzająca - Czy potrafisz rozwiązać zagadkę mostu?

15 minut

Nauczyciel prezentuje krótką animację „Can you solve the bridge riddle?” (Alex Gendler, TED‑Ed). Zachęca uczniów, aby w trakcie oglądania zanotowali własne pomysły w odpowiedzi na pytania:” Jak można zaplanować przejście przez mosty?” “Jakie ograniczenia występują i które pomysły warto przetestować?”. Nauczyciel po filmie nie podaje rozwiązania — zamiast tego prosi o pracę przy pionowych tablicach w zespołach 3–4 osobowych. Formułuje pytanie: „Jak rozwiązać tę zagadkę? Jakie strategie można przetestować?” Nauczyciel obserwuje pracę zespołów, udziela wskazówek, ale nie podaje gotowych rozwiązań.

Uczniowie pracują w zespołach i próbują opracować plan rozwiązania zagadki. Testują różne kolejności przejść, symulują czasy, porównują warianty, zapisują przebiegi oraz argumentują, dlaczego niektóre strategie nie mogą działać. Każda grupa przygotowuje krótki schemat (tablica / kartka / zdjęcie) pokazujący ich sposób myślenia — niezależnie od tego, czy dotarli do pełnego rozwiązania.

Celem aktywności jest wprowadzenie uczniów w autentyczną sytuację problemową, która prowokuje do podejmowania prób, formułowania hipotez i stopniowego budowania sposobu myślenia charakterystycznego dla matematyki. Ćwiczenie sprzyja: dekompozycji zadania – uczniowie uczą się rozbijać złożony problem na mniejsze, bardziej uchwytne fragmenty; identyfikowaniu ograniczeń – analizują dostępne zasoby, reguły, czas wykonania, dopuszczalne ruchy lub kolejność czynności; konstruowaniu procedury – tworzą własne metody i algorytmy, testują je, a następnie modyfikują w odpowiedzi na wynik; rozumowaniu opartemu na danych – obserwacje dotyczące czasu, kolejności działań czy struktury zadania stają się podstawą do argumentacji i porównań. Tego typu zadanie idealnie wpisuje się w praktyki „Myślącej Klasy”: pracę z wykorzystaniem pionowych przestrzeni do zapisu, losowe zespoły sprzyjające wymianie pomysłów oraz analizę wielu prób. Opcjonalnie można wykorzystać materiał z załącznika 1. Z matematyczną precyzją - konstrukcja mostów.

4. Wprowadzenie

10 minut

Nauczyciel wprowadza temat rezonansu mechanicznego, na podstawie materiału ZPE Rezonans mechaniczny — opis zjawiska i jego przykłady. W krótkiej prezentacji podkreśla, że zjawisko rezonansu nie jest „teoretyczne”, lecz realnie wpływa na bezpieczeństwo konstrukcji mostów — szczególnie wtedy, gdy częstotliwość wymuszonych drgań (np. wiatr, ruch pieszy, praca maszyn) zbliża się do częstotliwości własnej mostu. Nauczyciel odwołuje się do matematycznych aspektów opisu zjawiska: funkcje okresowe, amplituda, proporcje, zależność częstotliwości od parametrów układu, graficzna interpretacja drgań w czasie. Uczniowie obserwują, że matematyczny model ruchu (wykresy, funkcje, proporcjonalność) staje się narzędziem rozumienia, dlaczego niektóre mosty są bezpieczne, a inne mogą ulec awarii.

Uczniowie analizują wybrane fragmenty materiału z ZPE (część wprowadzającą, film i przykłady). Wymieniają się na forum klasy informacjami lub intuicją odpowiadając na pytania:
- Co powoduje rezonans?
- Kiedy amplituda drgań rośnie?
- Jakie parametry konstrukcji są istotne?,
- W jaki sposób matematyczne opisy periodyczności i zmienności w czasie pomagają przewidzieć zachowanie układu?

Fragment fizyczny uzasadnia matematyczną potrzebę projektowania mostów, a nie tylko ich budowania. Zjawisko rezonansu jest naturalnym miejscem przecięcia między przedmiotami: fizyka podaje sens zjawiska (drgania, wymuszenie, częstotliwość), matematyka pozwala to interpretować (funkcje okresowe, amplituda, dane pomiarowe, proporcje), konstrukcja inżynieryjna staje się zadaniem praktycznym (stabilność modelu, test robota, dokumentacja danych). Dzięki temu uczniowie widzą, że matematyka pozwala przewidzieć zachowanie konstrukcji, zanim ona w ogóle powstanie. To czyni projektowanie mostów prawdziwym zadaniem STEM, a nie aktywnością plastyczną. Aktywność poprzedza część zasadniczą, w której uczniowie zaczynają projektować most świadomie, zastanawiając się:
- jak geometria wpływa na sztywność,
- jak podpory zmieniają przenoszenie sił,
- jak można ograniczyć rytmiczne wymuszenia.

2. Projekt koncepcyjny – Z matematyczną precyzją - konstrukcja mostów

25 minut

Nauczyciel wprowadza zespoły w zadanie projektowe, prezentując jego cel: zaprojektowanie konstrukcji mostu ze spaghetti o jak najwyższej nośności, w oparciu o kryteria inżynierskie i matematyczne. Nauczyciel udostępnia załącznik „Zadanie projektowe STEM – konstrukcja mostu o największej nośności”, link do dokumentu, ale nie omawia go linearnie — zamiast tego zachęca uczniów do czytania fragmentami, analizowania ograniczeń oraz formułowania własnych decyzji konstrukcyjnych. Zadaje pytania ukierunkowujące: „Jak chcecie wykorzystać geometrię, aby uzyskać większą sztywność?”, „Jakie kształty zapewniają najsilniejszą stabilność przy minimalnej ilości materiału?” i „Jak opracujecie projekt, który można przedstawić w postaci rysunku, danych i protokołu konstrukcyjnego?”. Nauczyciel przypomina, że projekt koncepcyjny ma być procesem matematycznym — nie przypadkowym budowaniem, ale świadomym planowaniem, skalowaniem, estymacją oraz przewidywaniem zachowania konstrukcji jeszcze przed jej zbudowaniem.

Uczniowie rozpoczynają pracę od analizy zadania projektowego: identyfikują ograniczenia materiałowe, ustalają warunki geometryczne, rozpiętość mostu, dopuszczalne sposoby łączenia elementów oraz kryteria oceny skuteczności modelu. Następnie szkicują konstrukcję na pionowych tablicach, planują układ podpór, rodzaj kratownicy, sposób łączeń i rozmieszczenie sił. Każda grupa podejmuje decyzję, czy stosuje symetryczne układy trójkątów, most typu łukowego, czy konstrukcję kratownicową. Uczniowie wykonują wstępne obliczenia szacunkowe dotyczące długości elementów, kąta i proporcji, przewidują miejsca największych naprężeń i zapisują przewidywaną nośność. Projekt jest dokumentowany na kartach i w arkuszu kalkulacyjnym — most zaczyna istnieć jako model matematyczny, zanim stanie się konstrukcją fizyczną. W trakcie pracy uczniowie analizują, czy dodatkowe wzmocnienia zwiększą stabilność, czy jedynie zużyją materiał, oraz próbują oszacować, która część mostu będzie najbardziej podatna na ugięcie. Dyskutują nad kilkoma wariantami, argumentując matematycznie, który projekt jest optymalny. Decyzje konstrukcyjne nie wynikają z intuicji, ale z analizy kształtów, proporcji, podobieństw i zależności geometrycznych.

Uczniowie odkrywają, że konstrukcja jest równocześnie obiektem fizycznym i modelem matematycznym, który można analizować jeszcze przed wykonaniem. Rozumieją, że trójkąty nadają sztywność dzięki zależnościom kątowym i proporcjom, a symetryczna kratownica stabilizuje obciążenia niezależnie od kierunku. Projektowanie staje się procesem optymalizacji w warunkach ograniczeń materiałowych — minimalizacja długości elementów, maksymalizacja sztywności, wybór najbardziej efektywnego układu geometrycznego.

Test nośności - Z matematyczną precyzją

25 minut

Nauczyciel dba o bezpieczne przygotowanie przestrzeni testowej i przypomina o zasadach pracy. Prosi uczniów, aby ustawili swoje mosty między dwoma stołami o określonej rozpiętości, a następnie wyjaśnia cel testu: sprawdzenie maksymalnego obciążenia statycznego, jakie konstrukcja może utrzymać, zanim utraci stabilność. Nauczyciel kieruje myśleniem uczniów poprzez pytania: „Jak będziecie mierzyć masę dodawanego obciążenia?”, „W jaki sposób określicie moment, w którym konstrukcja zaczyna się uginać?” oraz „Jak chcecie zapisać wyniki w sposób umożliwiający ich późniejsze porównanie między zespołami?”. Nauczyciel zachęca do dokumentowania procesu w arkuszu kalkulacyjnym i wspiera uczniów w interpretacji obserwacji umożliwiając analizowanie danych i rozumienie ich matematycznych konsekwencji.

Uczniowie samodzielnie ustawiają swoją konstrukcję między stołami i rozpoczynają test obciążeniowy, stopniowo zwiększając masę, uważnie obserwując ugięcie, wibracje i stabilność mostu. Wspólnie ustalają sposób zapisu danych, określają masę w kilogramach i rejestrują moment, w którym most osiąga punkt krytyczny lub dochodzi do awarii. Podczas testu uczniowie współpracują, analizując, jak zmienia się zachowanie mostu w zależności od przyrostu obciążenia: czy ugięcie narasta liniowo, czy gwałtownie, czy pojawiają się punkty szczególne, oraz jaki wpływ ma geometria kratownicy i rodzaj połączeń. Po zakończeniu testu uczniowie nanoszą dane na wykres, porównują wyniki z innymi zespołami i próbują wyjaśnić, skąd wynikają różnice — nie tylko z ilości materiału, ale z przyjętych rozwiązań konstrukcyjnych i matematycznej struktury mostu.

Test nośności wprowadza uczniów w realne doświadczenie matematycznego modelowania, w którym widoczna staje się zależność między obciążeniem, kształtem konstrukcji i zachowaniem materiału. Ważne jest, aby uczniowie zauważyli, że dane liczbowe nie tylko „opisują doświadczenie”, ale ujawniają strukturę problemu — na wykresie można zobaczyć moment krytyczny, określić, przy jakim obciążeniu nastąpiła awaria, a porównanie mostów pokazuje, jak geometria i proporcje wpływają na optymalizację konstrukcji. Matematyczna analiza danych pozwala rozumieć zjawiska i umożliwia argumentację na rzecz wybranych rozwiązań.

Test rezonansu mechanicznego Z matematyczną precyzją

Uwaga: W przypadku uszkodzenia mostów w trakcie pierwszego testu tę część można zaplanować jako zadanie opcjonalne, do wykonania na kolejnych zajęciach lub w domu (z dokumentacją np. zdjęciową).

20 minut

Nauczyciel organizuje przestrzeń testową – most ustawiony między stołami, zabezpieczenie powierzchni, przygotowanie odważników, telefonu z generatorem tonu. Przypomina zasady bezpieczeństwa: drgania mają być lekkie, powtarzalne, bez uderzeń i gwałtownych ruchów; obciążenie niewielkie. Wprowadza pojęcie testu rezonansowego jako nową sytuację problemową: „Czy wasza konstrukcja będzie tak samo stabilna pod wpływem rytmicznych drgań jak przy obciążeniu statycznym? Jak to sprawdzić?’ Zadaje pytania naprowadzające: „Co obserwujecie w pierwszych sekundach drgań?” „Czy sposób połączeń lub kształt kratownicy pomaga tłumić drgania?” „Co się dzieje, kiedy drgania są powtarzalne w czasie?” Po zakończeniu testów inicjuje analizę statystyczną i dyskusję porównawczą między zespołami.

Test z wibracją stołu
- Uczniowie montują swój most między stołami.
- Obciążają go niewielką masą statyczną (0,5–2 kg).
- Generują powtarzalne, delikatne drgania stołu (np. lekkie stuknięcie co 1 sekundę).
- Mierzą czas od rozpoczęcia drgań do momentu: pojawienia się zauważalnego ugięcia, utraty stabilności lub pęknięcia elementu. 
- Zapisują obserwacje i czas testu.

Most nie tylko może się złamać pod siłą statyczną (ciężarem), ale również pod wpływem drgań okresowych – tak samo, jak konstrukcje rzeczywiste (np. Tacoma). Dlatego wprowadzamy drugi typ testowania: test rezonansowy — odporność na drgania. Test rezonansowy pokazuje uczniom, że bezpieczeństwo mostu to nie tylko wytrzymałość na statyczne obciążenie, ale odporność dynamiczna, która ma kluczowe znaczenie w realnych konstrukcjach inżynieryjnych.

Analiza danych Z matematyczną precyzją

20 minut

Nauczyciel inicjuje analizę danych, prosząc zespoły o uporządkowanie wyników testów: maksymalnej nośności, sposobu pęknięcia konstrukcji, czasu do awarii w teście rezonansowym oraz kluczowych obserwacji dotyczących geometrii. Nauczyciel proponuje, by uczniowie sami określili, jak chcą przedstawić wyniki — w tabelach, na wykresach, w porównaniach statystycznych lub w formie graficznego zestawienia modeli. Zadaje pytania naprowadzające: „Co naprawdę mówią liczby?”, „Czy dwa mosty o podobnej nośności zachowywały się tak samo w rezonansie?”, „Czy istnieje zależność między wysokością kratownicy a czasem do awarii?”. Zadaniem nauczyciela jest moderowanie analizy by uczniowie samodzielnie zauważyli, które modele były statycznie silne, a które również dynamicznie stabilne.

Uczniowie porządkują swoje dane: naniesione ciężary, punkt awarii, częstość i czas drgań, rodzaj uszkodzenia oraz cechy geometryczne modelu. Korzystając z arkusza kalkulacyjnego, tworzą zestawienia porównawcze i wykresy, np. masa vs. nośność, wysokość kratownicy vs. czas do awarii rezonansowej. Interpretują wyniki, wskazując, które konstrukcje były najlepsze statycznie, a które najbezpieczniejsze dynamicznie. Uczniowie próbują wnioskować, co wpłynęło na trwałość: symetria, liczba trójkątów, sposób klejenia, proporcje elementów, rozmieszczenie podpór. Zespół formułuje hipotezy o zależnościach matematycznych i odnotowuje je w dokumentacji oraz prezentacji końcowej.

Faza analizy danych jest momentem, w którym konstrukcja „zamienia się” w model matematyczny, a uczniowie zaczynają rozumieć, że wytrzymałość konstrukcyjna nie jest intuicyjna — jest mierzalna, porównywalna, interpretowalna i opisywalna matematycznie. Dane z testów nie są wynikiem jednorazowego doświadczenia, ale materiałem do pogłębionej refleksji: dlaczego dwa mosty o podobnej nośności zachowywały się zupełnie inaczej w drganiach? Jak można by zmodyfikować konstrukcję, by zwiększyć bezpieczeństwo dynamiczne? Jak dane statystyczne pomagają porównać projekty w sposób obiektywny? Uczniowie odkrywają, że matematyka umożliwia racjonalne uzasadnianie decyzji inżynierskich, dlatego jest niezbędna zarówno przy projektowaniu, jak i przy ocenie konstrukcji.

Faza podsumowująca. Zakończenie - prezentacja wyników i dyskusja

20 minut

Nauczyciel zaprasza uczniów do podsumowania etapu budowy konstrukcji, wyników pomiarów i wniosków z analizy danych. Kieruje rozmowę tak, aby każdy zespół mógł nazwać swoje doświadczenia matematyczne i konstrukcyjne. Przykłady pytań : „Co zmieniłoby się, gdybyście zaczęli projekt od nowa?”, „Która koncepcja okazała się najbardziej przewidywalna matematycznie?”, „Czy test rezonansowy zmienił wasze rozumienie pojęcia bezpieczeństwa mostu?”. Nauczyciel moderuje dyskusję, zachęca do porównywania projektów i odniesienia wyników do podstawowych pojęć matematyki i fizyki, a także do weryfikacji hipotez stawianych na początku zajęć.

Uczniowie przedstawiają swoje modele, wykresy i obserwacje oraz konfrontują je z konstrukcjami innych zespołów. Dyskutują, które cechy mostów wpływały na ich statyczną nośność, a które odpowiadały za bezpieczeństwo dynamiczne. Refleksja obejmuje analizę procesu: od pomysłu, przez modelowanie geometryczne, aż po interpretację danych. Uczniowie opisują, jakie elementy ich rozumowania zmieniły się podczas pracy — np. rozumienie proporcji, roli trójkątów, geometrii podpór, wyznaczania parametrów, testowania i dokumentowania wyników. Uczniowie wykorzystują opracowane przez siebie arkusze kalkulacyjne zawierające dane, wykresy, interpretacje oraz prezentacje.

Ta faza pozwala uczniom uświadomić sobie pełny cykl rozumowania matematycznego i inżynierskiego: postawienie problemu, stworzenie modelu, rozumienie ograniczeń, konstruowanie, pomiar, analizę danych, porównania i interpretację. Prezentacja wyników podkreśla, że matematyka nie jest tylko obliczeniem, lecz strukturą myślenia, która prowadzi do podejmowania racjonalnych i bezpiecznych decyzji konstrukcyjnych. Dzięki refleksji nad całą lekcją uczniowie dostrzegają, że most jest obiektem, przy konstrukcji którego należy wykorzystać wiedzę z geometrii, statystyki, mechaniki i optymalizacji, a ich własne modele stały się narzędziem doświadczalnego uczenia się — dokładnie tak, jak pracuje inżynier. Zamknięcie zajęć nie powinno polegać na podaniu gotowej odpowiedzi, ale na samodzielnym nazwaniu przez uczniów tego, jak zmienili sposób myślenia, jakie strategie matematyczne im pomogły i jakie dane były naprawdę ważne. Dzięki temu podsumowanie staje się nie oceną konstrukcji, lecz oceną własnego rozumowania i rozwoju kompetencji STEM, a cele edukacyjne zostają zweryfikowane w sposób naturalny, konstruktywistyczny i widoczny dla wszystkich.

FIZYKA Rezonans mechaniczny - opis zjawiska i jego przykłady

https://zpe.gov.pl/b/rezonans-mechaniczny–opis-zjawiska-i-jego-przyklady/PReaalsDY

INFORMATYKA Wyświetlanie i sprawdzanie poprawności obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym

https://zpe.gov.pl/b/wyswietlanie-i-sprawdzanie-poprawnosci-obliczen-w-arkuszu-kalkulacyjnym/PBOBwxvqk

INFORMATYKA Wykresy słupkowe i kolumnowe w arkuszu kalkulacyjnym

https://zpe.gov.pl/b/wykresy-slupkowe-i-kolumnowe-w-arkuszu-kalkulacyjnym/Po3VJg1U

INFORMATYKA Wyszukiwanie wartości w arkuszu kalkulacyjnym

https://zpe.gov.pl/b/wyszukiwanie-wartosci-w-arkuszu-kalkulacyjnym/PBn0nio3C

INFORMATYKA Formuły wyszukiwania i odwołania

https://zpe.gov.pl/b/formuly-wyszukiwania-i-odwolania/P2Gso1Caa

MATEMATYKA Graficzne przedstawianie danych statystycznych

https://zpe.gov.pl/b/graficzne-przedstawianie-danych-statystycznych/PNnSgkGGU

MATEMATYKA Gromadzenie i porządkowanie danych

https://zpe.gov.pl/a/gromadzenie-i-porzadkowanie-danych/D91ZK0kM1