Zadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część II

Sprawdzimy czy punkt $\left(2, 3\right)$ należy do wykresu funkcji $f\left(x\right)=3x-3$.

Zacznijmy od obliczenia wartości funkcji $f\left(x\right)$ dla argumentu $x=2$.

Wartość funkcji $f\left(x\right)$ dla argumentu $x=2$ wynosi $y=3$. Oznacza to, że punkt $\left(2, 3\right)$ należy do wykresu tej funkcji.

W przypadku, gdy wartość funkcji dla argumentu danego punktu nie jest taka sama jak druga współrzędna tego punktu, to punkt ten nie należy do wykresu danej funkcji.

Wyznaczymy współczynniki kierunkowe poniższych funkcji:

1. $y=2x+3$

2. $y=4x-7$,

3. $y=-5x+2$.

W równaniu kierunkowym prostej $y=a·x+b$ współczynnik $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym. Zatem współczynniki kierunkowe tych funkcji to odpowiednio:

1. $2$,

2. $4$,

3. $\left(-5\right)$.

Określimy monotoniczność poniższych funkcji:

1. $f\left(x\right)=4x-1$,

2. $f\left(x\right)=-2x+3$,

3. $f\left(x\right)=7$.

Do określenia monotoniczności funkcji liniowej wystarczy zbadać znak współczynnika kierunkowego. Jeżeli funkcja ma dodatni współczynnik kierunkowy, to jest to funkcja rosnąca. Jeżeli funkcja ma ujemny współczynnik kierunkowy, to jest to funkcja malejąca. Jeżeli natomiast współczynnik kierunkowy funkcji
wynosi $0$, to jest to funkcja stała.

Zatem każda z funkcji jest odpowiednio:

1. rosnąca,

2. malejąca,

3. stała.

Wyznaczymy równanie prostej o współczynniku kierunkowym $2$, która przechodzi przez punkt $\left(1, 2\right)$.

Skoro współczynnik kierunkowy tej prostej wynosi $2$, to funkcja, która opisuje tą prostą, musi być postaci $y=2x+b$. Do wyznaczenia współczynnika $b$ wykorzystamy współrzędne danego punktu.

Punkt $\left(1, 2\right)$ musi należeć do wykresu szukanej funkcji, zatem

Rozwiązując powyższe równanie otrzymujemy $b=0$.

Równanie szukanej prostej to $y=2x$.

Wyznaczymy równanie prostej przechodzącej przez punkty $\left(1, 4\right)$ i $\left(2, 7\right)$.

Wiemy, że równanie kierunkowe prostej ma postać $y=ax+b$. Ułożymy układ składający się z dwóch równań. Każde z równań to postać kierunkowa prostej ze wstawionymi współrzędnymi kolejnych punktów.

W przypadku punktów $\left(1, 4\right)$i $\left(2, 7\right)$otrzymujemy układ:

Rozwiązujemy układ równań dowolną metodą. Możemy na przykład pomnożyć jedno z równań przez $\left(-1\right)$ i wykorzystać metodę przeciwnych współczynników.

Wtedy

Oznacza to, że równanie tej prostej to $y=3x+1$.

Wyznaczymy miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)=2x+4$.

Miejsce zerowe funkcji $f\left(x\right)$ to taki argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$. Szukamy zatem rozwiązania równania

Rozwiązaniem tego równania jest $\left(-2\right)$, zatem miejsce zerowe danej funkcji to $x=\left(-2\right)$.