Zadania obliczeniowe dotyczące funkcji liniowej. Część I

Funkcja liniowa to pierwsza szczególna funkcja, jaką poznajesz. Choć wykresem funkcji liniowej jest prosta, to używa się jej często w statystyce i ekonomii. W tym materiale:

znajdziesz wzór funkcji liniowej na podstawie wykresu,
określisz monotoniczność funkcji liniowej,
wyznaczysz współczynnik kierunkowy funkcji liniowej,
rozwiążesz zadania z parametrem.

Jeżeli potrzebujesz przypomnieć sobie definicje i własności funkcji liniowej, przeanalizuj ponownie lekcje:

Definicja funkcji liniowejDA625ouQFDefinicja funkcji liniowej.

Przykłady i wzory dotyczące współczynnika funkcji liniowej znajdziesz w lekcji:

Współczynnik kierunkowy funkcji liniowejD1CGbjLzSWspółczynnik kierunkowy funkcji liniowej.

Powtórzenie wiadomości o monotoniczności funkcji liniowej znajduje się w lekcji:

Funkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejącaD16AqAVhSFunkcja liniowa rosnąca, funkcja liniowa malejąca.

Ćwiczenie 1

Na rysunku jest przedstawiony wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f (x) = a x + b$ .

R18DtH2HMGwBy1

Na rysunku przedstawiono układ współrzędnych z pionową osią X od minus siedmiu do siedmiu oraz z pionową osią Y od minus czterech do pięciu. Zaznaczono na nim wykres funkcji liniowej, który przechodzi przez punkty -3,2 oraz -1,-1. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R14OiEHxGUPBW

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Wartość tej funkcji dla argumentu $x = 0$ jest wyrazem wolnym tej funkcji (można go odczytać bezpośrednio z wykresu, jest to punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ ).

Ćwiczenie 2

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $y = a x + b$ .

RAs2fqZsMzG881

R1BQWMsMmJ4r8

$\frac{9}{2}$
$3$
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Ćwiczenie 3

Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu pewnej funkcji liniowej $f (x) = a x + b$ .

RADVgcYY1BNRC1

RYcabApnGHazz

$a < 0$ i $b < 0$
$a > 0$ i $b < 0$
$a < 0$ i $b > 0$
$a > 0$ i $b > 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .

Ćwiczenie 4

R1LEMjj0gKQcb1

Rx4EnYenMwp1Q

$a < 0$
$a = - 1$
$b < 0$
$b = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.
Wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .
Wartość tej funkcji dla argumentu $x = 0$ jest wyrazem wolnym tej funkcji (można go odczytać bezpośrednio z wykresu, jest to punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ ).

Ćwiczenie 5

R1TlDmllTB7Io

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Reg5kFK1GL0zG1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Jeżeli wyraz wolny jest dodatni, to wykres funkcji przetnie oś $Y$ nad osią $X$ , a jeżeli jest ujemny, to przetnie oś $Y$ pod osią $X$ .

Ćwiczenie 6

RAgZxE2PmIV7R1

jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, 5)$
jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, 5)$
jest malejąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, - 5)$
jest rosnąca i jej wykres przechodzi przez punkt $(0, - 5)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest dodatni, to funkcja jest rosnąca, a jeżeli współczynnik kierunkowy funkcji jest ujemny, to funkcja jest malejąca.

Wartość tej funkcji dla argumentu $x = 0$ jest wyrazem wolnym tej funkcji (można go odczytać bezpośrednio z wykresu, jest to punkt przecięcia wykresu z osią $Y$ , czyli punkt $(0, b)$ ).

Ćwiczenie 7

Rh69sbUrnxhHO1

$- 1$
$- \frac{1}{2}$
$- \frac{2}{3}$
$- \frac{3}{4}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Ćwiczenie 8

RC6spIOStK1jL1

przecina oś $Oy$ w punkcie, którego druga współrzędna jest dodatnia
ma współczynnik kierunkowy równy $1$
ma równanie $y = x + 3$
przechodzi przez punkt $(- 3, 0)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

R1UgpkVX9oXjT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RXLZIwjrVlgiY

Połącz opis wykresu funkcji liniowej z współczynnikiem

a

oraz

b

równania, który opisuje prostą w układzie współrzędnych. Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - \frac{2}{5}, b = 1

, 2.

a = 2, b = - 3

, 3.

a = 3, b = - 1

, 4.

a = - 1, b = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - \frac{2}{5}, b = 1

, 2.

a = 2, b = - 3

, 3.

a = 3, b = - 1

, 4.

a = - 1, b = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - \frac{2}{5}, b = 1

, 2.

a = 2, b = - 3

, 3.

a = 3, b = - 1

, 4.

a = - 1, b = - 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

a = - \frac{2}{5}, b = 1

, 2.

a = 2, b = - 3

, 3.

a = 3, b = - 1

, 4.

a = - 1, b = - 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

RGK9TAX0PVrOv1

$f (x) = x - 1$
$f (x) = 2 x - 3$
$f (x) = 3 x - 4$
$f (x) = 4 x - 5$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Rq6H0hbJiiWdB1

$(18, 9)$
$(18, 12)$
$(18, 15)$
$(18, 18)$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

RG8s5G6Oev9QG1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyznacz współczynnik kierunkowej tej prostej i zauważ, że wyrazem wolnym tej funkcji jest $b = 2$ .

R8013AScWphwV1

Ćwiczenie 13

$y = x + \frac{1}{3}$
$y = - x + 6$
$y = \frac{x - 5}{9}$
$y = 1 - \frac{3}{4} x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RAjXrq926lZwg1

Ćwiczenie 14

$y = x - 100$
$y = \frac{1}{10} x - 5$
$y = \frac{x - 1}{3}$
$y = 5 - x$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R1ZCrIMkCsWrW2

$a = - \frac{11}{7}$
$b < 0$
do wykresu funkcji $f$ należy punkt $C = (1, 5)$
na wykresie funkcji $f$ leży co najmniej $7$ punktów, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1LgdBcPIzGrx2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$f (1) = a + 3 > 3$ , ponieważ $a > 0$ .
$f (- 1) = - a + 3 < 3$ , ponieważ $a > 0$ .
$f (0) = 0 \cdot a + 3 = 3 \neq 0$
$f (2) + f (- 2) = 2 a + 3 + (- 2 a + 3) = 2 a + 3 - 2 a + 3 = 6$ .

Ćwiczenie 17

RvnlPxiyI0VQF2

$A$ i $B$
$A$ i $C$
$B$ i $C$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pamiętaj, że wzór na współczynnik kierunkowy funkcji to $a = \frac{y_{b} - y_{a}}{x_{b} - x_{a}}$ , gdzie $(x_{a}, y_{a})$ i $(x_{b}, y_{b})$ to punkty, przez które przechodzi wykres funkcji.

Możesz również spróbować prześledzić jak zachowują się wartości funkcji opisującej prostą przechodzącą przez dane dwa punkty (drugie współrzędne punktów) wraz ze wzrostem argumentów (pierwszych współrzędnych punktów).

Ćwiczenie 18

RFmVEMr1CCItr2

funkcja $f$ jest rosnąca
wykres funkcji $f$ przecina oś $Oy$ w punkcie $(0, 2)$
$a = 4$
funkcja $f$ określona jest wzorem $f (x) = 2 x + 1$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RulO5TucYn6Xo

Ćwiczenie 19

Określ, czy podane funkcje rosnące, malejące, czy stałe. Przeciągnij wzory funkcji do odpowiedniej grupy. Funkcje rosnące Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x + 3

, 2.

x^{0}

, 3.

4 - 20 x

, 4.

2^{5}

, 5.

5 x + \sqrt{5}

, 6.

5 - \frac{1}{5} x

, 7.

\frac{1}{3} x - 5

, 8.

\frac{x^{2} - 1}{1 - x^{2}}

, 9.

2^{x^{2} - \sqrt{x^{4}}} - 1

, 10.

\sqrt{3} x + 20

, 11.

- 2 x + 12

, 12.

\frac{x^{3}}{x \sqrt{x^{4}}} + 2

, 13.

\frac{1}{2}

Funkcje malejące Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x + 3

, 2.

x^{0}

, 3.

4 - 20 x

, 4.

2^{5}

, 5.

5 x + \sqrt{5}

, 6.

5 - \frac{1}{5} x

, 7.

\frac{1}{3} x - 5

, 8.

\frac{x^{2} - 1}{1 - x^{2}}

, 9.

2^{x^{2} - \sqrt{x^{4}}} - 1

, 10.

\sqrt{3} x + 20

, 11.

- 2 x + 12

, 12.

\frac{x^{3}}{x \sqrt{x^{4}}} + 2

, 13.

\frac{1}{2}

Funkcje stałe Możliwe odpowiedzi: 1.

2 x + 3

, 2.

x^{0}

, 3.

4 - 20 x

, 4.

2^{5}

, 5.

5 x + \sqrt{5}

, 6.

5 - \frac{1}{5} x

, 7.

\frac{1}{3} x - 5

, 8.

\frac{x^{2} - 1}{1 - x^{2}}

, 9.

2^{x^{2} - \sqrt{x^{4}}} - 1

, 10.

\sqrt{3} x + 20

, 11.

- 2 x + 12

, 12.

\frac{x^{3}}{x \sqrt{x^{4}}} + 2

, 13.

\frac{1}{2}

Przeciagnij pasujące elementy z dolnej sekcji do górnej.

funkcje rosnące
funkcje malejące
funkcje stałe

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJWb487lSVxuI

Ćwiczenie 20

$m = - 1$
$m = 1$
$m = 2$
$m = 3$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 21

R1ToGzOJ11VxB

$m = 3$
$m = 2$
$m = 1$
$m = - \frac{1}{3}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby funkcja liniowa była funkcją stałą, współczynnik kierunkowy musi być równy $0$ .

Ćwiczenie 22

RXbc5NCWxEky8

$m > 3$
$m > 4$
$m < 4$
$m < 0$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że aby funkcja liniowa była funkcją malejącą, współczynnik kierunkowy musi być mniejszy od $0$ .

RhAizTX1v5yBH2

Ćwiczenie 23

dla $m = 0$ jest rosnąca
dla $m = - 1$ jest malejąca
jest rosnąca tylko wtedy, gdy $m < 2$
jest malejąca tylko wtedy, gdy $m < - \frac{3}{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 24

R15s3rJBr9FMP

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że funkcja liniowa jest:

malejąca, gdy współczynnik kierunkowy jest mniejszy od $0$ ,
stała, gdy współczynnik kierunkowy jest równy $0$ ,
rosnąca, gdy współczynnik kierunkowy jest większy od $0$ .

RVl4h7sY9G1Lo

Ćwiczenie 25

Dana jest funkcja liniowa

f (x) = (2 m + 3 k) x + 2

.
Pogrupuj wartości parametrów

m

k

, dla których funkcja jest malejąca lub rosnąca.
Dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Funkcja rosnąca Możliwe odpowiedzi: 1.

m = 2

k = - 2

, 2.

m = 1

k = - 1

, 3.

m = 2

k = - 1

, 4.

m = 10

k = - 6

, 5.

m = - 1

k = 1

, 6.

m = - 2

k = 1

Funkcja malejąca Możliwe odpowiedzi: 1.

m = 2

k = - 2

, 2.

m = 1

k = - 1

, 3.

m = 2

k = - 1

, 4.

m = 10

k = - 6

, 5.

m = - 1

k = 1

, 6.

m = - 2

k = 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1eIAEjlMlAJ73

Ćwiczenie 26

Łączenie par. Dana jest funkcja liniowa

f (x) = (2 m + 3 k) x + 2

.
Oceń prawdziwość poniższych zdań. Przy każdym zaznacz „Prawda” albo „Fałsz”.. Funkcja liniowa dla

m = 1

oraz

k = - 1

jest malejąca.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja liniowa dla

m = 2

oraz

k = - 1

jest malejąca.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja liniowa dla

m = 7

oraz

k = - 5

jest malejąca.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Funkcja liniowa dla

m = - 3001

oraz

k = 2001

jest rosnąca.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 27

RodGV0Vs17qsZ3

leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami dodatnimi
leży dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są całkowitymi liczbami przeciwnych znaków
leżą dokładnie dwa punkty, których obie współrzędne są całkowitymi liczbami ujemnymi

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W każdym z przypadków rozpocznij od rozważenia monotoniczności funkcji (czy jest rosnąca, czy malejąca). Pamiętaj, że funkcja przechodzi przez punkt $(0, 2)$ . Zastanów się przez jakie ćwiartki musi przechodzić funkcja, aby należały do niej rozważane punkty.

Ćwiczenie 28

Dana jest funkcja liniowa $f (x) = (2 m + 3 k) x + 2$ .

Wykaż, że:

jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest stała,
jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest rosnąca,
jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to funkcja $f$ jest malejąca.

RkEnApUU0AB2C

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształć równanie $k = - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była stała, to $2 m + 3 k = 0$ . Porównaj dwa równania.
Przekształć nierówność $k > - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była rosnąca, to $2 m + 3 k > 0$ . Porównaj dwie nierówności.
Przekształć nierówność $k < - \frac{2}{3} m$ , przenosząc wszystkie składniki na jedną stronę. Aby funkcja liniowa była malejąca, to $2 m + 3 k < 0$ . Porównaj dwie nierówności.

Jeżeli $k = - \frac{2}{3} m$ , to $3 k = - 2 m$ i $2 m + 3 k = 0$ , czyli funkcja $f$ jest stała.
Jeżeli $k > - \frac{2}{3} m$ , to $3 k > - 2 m$ i $2 m + 3 k > 0$ , czyli funkcja $f$ jest rosnąca.
Jeżeli $k < - \frac{2}{3} m$ , to $3 k < - 2 m$ i $2 m + 3 k < 0$ , czyli funkcja $f$ jest malejąca.