Zadania powtórkowe przed egzaminem maturalnym cz.2

Pierwiastki:

Własności działań na pierwiastkach:

Niech $a\ge 0$ i $b\ge 0$

1. $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$,

2. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, dla $b\ne 0$,

3. $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$,

4. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$, dla $n\ge 0$ i $m>0$.

Potęgi:

Własności działań na potęgach:

Niech $a$, $b$, $m$ i $n$ będą liczbami rzeczywistymi.

1. $a^m·a^n=a^{m+n}$,

2. $a^m:a^n=a^{m-n}$, dla $a\ne 0$,

3. ${\left(a·b\right)}^m=a^m·b^m$,

4. ${\left(a:b\right)}^m=a^m:b^m$, dla $b\ne 0$,

5. ${\left(a^n\right)}^m=a^{m·n}$.

Procenty:

Procent: $1\%=\frac{1}{100}$

Obliczanie procentu z liczby: $20\%·40=\frac{20}{100}·40=\frac{800}{100}=8$.

Stożek:

Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_c=\pi r^2+\pi rl=\pi r\left(r+l\right)$.

Wzór na objętość stożka: $V=\frac{1}{3}{P}_p\cdot H=\frac{\pi r^{2}H}{3}$,

gdzie $r$ oznacza promień koła w podstawie, a $H$ oznacza wysokość stożka.

Koło

Obwód koła obliczamy ze wzoru: $L=2\pi r$.

Pole koła obliczamy ze wzoru: $P=\pi r^2$.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy $\alpha$ obliczamy ze wzoru: $P_w=\frac{\alpha }{360°}·\pi r^2$.

Układ równań:

Jest:

1. oznaczony – jeżeli ma jedno rozwiązanie,

2. nieoznaczony – jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,

3. sprzeczny – jeżeli nie ma rozwiązań.

Sześcian i czworościan foremny:

Sześcian:

Pole powierzchni całkowitej: $P_c=6a^2$,

Objętość: $V=a^3$,

Przekątna: $d=a\sqrt{3}$,

gdzie $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu.

Czworościan foremny:

Pole powierzchni całkowitej: $P_c=a^2\sqrt{3}$.

Objętość: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

$a$ oznacza krawędź czworościanu.

Proporcje

Proporcja to równość dwóch stosunków postaci $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów $a$ i $d$ jest równy iloczynowi wyrazów $b$ i $c$, czyli $ad=bc$.

Trójkąt prostokątny $30°$, $60°$ i $90°$

W trójkącie prostokątnym o podanych kątach, na przeciwko kąta $30°$ mamy bok długości $a$, na przeciwko kąta $60°$ mamy bok długości $a\sqrt{3}$, a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość $2a$.

Odległość między punktami

Odległość między punktami $\left(x_1,y_1\right)$, $\left(x_2,y_2\right)$ możemy obliczyć ze wzoru: $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

Średnia arytmetyczna i mediana:

Średnia arytmetyczna:

Aby obliczyć średnią arytmetyczną zestawu danych, należy je do siebie dodać i otrzymaną sumę podzielić przez ich liczbę.

Mediana

1. Jeżeli w zestawie znajduje się nieparzysta liczba wyników, to medianą jest wyraz znajdujący się na środku uporządkowanego rosnąco zestawu.

2. Jeżeli w zestawie jest parzysta liczba danych, to mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów uporządkowanego rosnąco zestawu.

Twierdzenie Talesa:

Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte dwiema prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, mają długości proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta.