Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Materiał zawiera zadania powtórkowe przed egzaminem maturalnym. Spróbuj je rozwiązać samodzielnie. Jeśli napotkasz problemy, możesz skorzystać z podpowiedzi zamieszczonych poniżej.

1
R1c3lyKVGEWbt
Ilustracja interaktywna 1. Pierwiastki Własności działań na pierwiastkach:
Niech a0b0. a·b=ab,ab=ab, dla b0a2=a,anm=anm, dla n0m>0., 2. Potęgi Własności działań na potęgach:
Niech a, b, mn będą liczbami rzeczywistymi. am·an=am+n,am:an=am-n, dla a0,a·bm=am·bm,a:bm=am:bm, dla b0,anm=am·n., 3. Koło Obwód koła obliczamy ze wzoru: L=2πr.Pole koła obliczamy ze wzoru: P=πr2.Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru: Pw=α360°·πr2., 4. Układ równań Jest: oznaczony - jeżeli ma jedno rozwiązanie,nieoznaczony - jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań.sprzeczny - jeżeli nie ma rozwiązań., 5. Procenty Procent:
1%=1100.
Obliczanie procentu z liczby :
20%·40=20100·40=800100=8., 6. Proporcje Proporcja to równość dwóch stosunków postaci ab=cd.Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów ad jest równy iloczynowi wyrazów bc, czyli ad=bc., 7. Stożek Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=πr2+πrl=πr(r+l). Wzór na objętość stożka: V=13PpH=πr2H3, gdzie r oznacza promień koła w podstawie, a H oznacza wysokość stożka., 8. Sześcian i czworościan foremny SześcianPole powierzchni całkowitej: Pc=6a2,Objętość: V=a3,Przekątna:d=a3gdzie a oznacza długość krawędzi sześcianu. Czworościan foremnyPole powierzchni całkowitej: Pc=a23.Objętość: V=a3212. a oznacza krawędź czworościanu., 9. Trójkąt prostokątny 30°, 60°90° W trójkącie prostokątnym o podanych kątach, na przeciwko kąta 30° mamy bok długości a, na przeciwko kąta 60° mamy bok długości a3, a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 2a., 10. Odległość między punktami Odległość między punktami x1,y1, x2,y2 możemy obliczyć ze wzoru: x2-x12+y2-y12., 11. Średnia arytmetyczna i mediana Średnia arytmetyczna:
Aby obliczyć średnią arytmetyczną zestawu danych, należy je do siebie dodać i otrzymaną sumę podzielić przez ich liczbę.Mediana:
Jeżeli w zestawie znajduje się nieparzysta liczba wyników, to medianą jest wyraz znajdujący się na środku uporządkowanego rosnąco zestawu.Jeżeli w zestawie jest parzysta liczba danych, to mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów uporządkowanego rosnąco zestawu., 12. Twierdzenie Talesa Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte dwiema prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, mają długości proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta.
Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.

Pierwiastki:

Własności działań na pierwiastkach:

Niech a0b0

  1. a·b=ab,

  2. ab=ab, dla b0,

  3. a2=a,

  4. anm=anm, dla n0m>0.

Potęgi:

Własności działań na potęgach:

Niech a, b, mn będą liczbami rzeczywistymi.

  1. am·an=am+n,

  2. am:an=am-n, dla a0,

  3. a·bm=am·bm,

  4. a:bm=am:bm, dla b0,

  5. anm=am·n.

Procenty:

Procent: 1%=1100

Obliczanie procentu z liczby: 20%·40=20100·40=800100=8.

Stożek:

Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=πr2+πrl=πrr+l.

Wzór na objętość stożka: V=13PpH=πr2H3,

gdzie r oznacza promień koła w podstawie, a H oznacza wysokość stożka.

Koło

Obwód koła obliczamy ze wzoru: L=2πr.

Pole koła obliczamy ze wzoru: P=πr2.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru: Pw=α360°·πr2.

Układ równań:

Jest:

  1. oznaczony – jeżeli ma jedno rozwiązanie,

  2. nieoznaczony – jeżeli ma nieskończenie wiele rozwiązań,

  3. sprzeczny – jeżeli nie ma rozwiązań.

Sześcian i czworościan foremny:

Sześcian:

Pole powierzchni całkowitej: Pc=6a2,

Objętość: V=a3,

Przekątna: d=a3,

gdzie a oznacza długość krawędzi sześcianu.

Czworościan foremny:

Pole powierzchni całkowitej: Pc=a23.

Objętość: V=a3212.

a oznacza krawędź czworościanu.

Proporcje

Proporcja to równość dwóch stosunków postaci ab=cd.

Podstawowa własność proporcji mówi, że iloczyn wyrazów ad jest równy iloczynowi wyrazów bc, czyli ad=bc.

Trójkąt prostokątny 30°, 60°90°

W trójkącie prostokątnym o podanych kątach, na przeciwko kąta 30° mamy bok długości a, na przeciwko kąta 60° mamy bok długości a3, a przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość 2a.

Odległość między punktami

Odległość między punktami x1,y1, x2,y2 możemy obliczyć ze wzoru: x2-x12+y2-y12.

Średnia arytmetyczna i mediana:

Średnia arytmetyczna:

Aby obliczyć średnią arytmetyczną zestawu danych, należy je do siebie dodać i otrzymaną sumę podzielić przez ich liczbę.

Mediana

  1. Jeżeli w zestawie znajduje się nieparzysta liczba wyników, to medianą jest wyraz znajdujący się na środku uporządkowanego rosnąco zestawu.

  2. Jeżeli w zestawie jest parzysta liczba danych, to mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych wyrazów uporządkowanego rosnąco zestawu.

Twierdzenie Talesa:

Jeżeli dany jest kąt, którego ramiona są przecięte dwiema prostymi równoległymi, to odcinki powstałe w wyniku przecięcia tych prostych na jednym ramieniu kąta, mają długości proporcjonalne do długości odpowiednich odcinków z drugiego ramienia kąta.

1
Ćwiczenie 1

Zosia i Krzyś przeprowadzili ankietę wśród pewnej grupy mieszkańców swojego osiedla na temat: „Jakiego gatunku muzyki lubisz słuchać najbardziej?” Każdy mógł wybrać tylko jedną odpowiedź. Wyniki przedstawia diagram.

R1JOKTiqlCgRs1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RmLjbcMPHPAo0
Ile osób wzięło udział w sondzie? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 500, 2. 450, 3. 400, 4. 380
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HQtBNeAVdGQ1
Ćwiczenie 2
W czterech pojemnikach znajdowało się po 120 g wody.
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Jeżeli z dwóch pierwszych pojemników odlano po 20 g wody, do trzeciego dolano 23,72 g wody, a do czwartego dolano 16,28 g wody, to średnia masa wody w pojemnikach nie zmieniła się., 2. Jeżeli do trzech pojemników dolano po 35 g wody, to średnia masa wody w pojemnikach wyniosła 146,75 g.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RV32rXDfu2ytp1
Ćwiczenie 3
Ile wynosi wartość wyrażenia 53+53+53+53+5354? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 50, 2. 51, 3. 52, 4. 53
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 4

Na diagramie przedstawiono liczbę bramek zdobytych przez pewnego piłkarza w ciągu sezonu.

RnRkEbdIPg3r31
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R13HKlmMZDVXs
Zaznacz poprawne zakończenie zdania.

Z diagramu wynika, że Możliwe odpowiedzi: 1. średnia liczba zdobytych bramek w jednym meczu wynosi 2,5., 2. najczęściej powtarzającą się liczbą zdobytych bramek jest 1., 3. mediana liczby zdobytych bramek wynosi 2., 4. liczba meczów w sezonie wyniosła 14.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RaZXRev6w0i0j2
Ćwiczenie 5
Ile wynosi wartość wyrażenia 632-422? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 62, 2. 72, 3. 76, 4. 63-42
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSQFiyZrjdPWV2
Ćwiczenie 6
Na wycieczkę szkolną zapisało się 18 dziewcząt i 10 chłopców. Chcemy, aby dziewczęta stanowiły 75% liczby wszystkich uczestników wycieczki. Ile wynosi liczba dziewcząt, które muszą się jeszcze zgłosić na wycieczkę? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 12, 2. 2, 3. 6, 4. 22
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RxMQqwqj1X0Qz2
Ćwiczenie 7
W loterii jest 30 losów, w tym 12 losów wygrywających. Pierwsze dwie osoby biorące udział w loterii wylosowały losy przegrywające.
Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Prawdopodobieństwo wylosowania przez trzecią osobę losu przegrywającego jest większe od 0,5., 2. Trzecia osoba musiałaby kupić 17 losów, aby mieć pewność, że przynajmniej jeden z nich będzie wygrywający., 3. Prawdopodobieństwo wylosowania losu wygrywającego przez trzecią osobę jest mniejsze niż 0,1., 4. Pierwsze dwie osoby miały taką samą szansę na przegraną w tej loterii.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
ReAwMpcFlWOsC2
Ćwiczenie 8
Wskaż wyrażenie, którego wartość nie jest równa 36. Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. -46-2+76+2, 2. 6-8--8-26, 3. 3122, 4. 18·313
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTevwRPeYhLBv2
Ćwiczenie 9
Cenę spodni obniżono o 70% i spodnie kosztują po tej obniżce 51 . Ile wynosiła cena spodni przed obniżką? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 119 , 2. 151 , 3. 170 , 4. 221 
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R19rygZkZg4OZ2
Ćwiczenie 10
Z wstążki o długości x odcięto 10% jej długości. Pozostały kawałek podzielono na 20 jednakowych części. Za pomocą którego wyrażenia można opisać długość jednej z tych części? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 0,005x, 2. 0,045x, 3. 0,05x, 4. 0,054x
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R15qXuJ2noXhW2
Ćwiczenie 11
Uporządkuj poniższe liczby w kolejności rosnącej. Elementy do uszeregowania: 1. -7,4·3,1, 2. -3,2·7,4, 3. -3,1·-7,4, 4. 3,2·7,4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R6kOsmB1auZuM2
Ćwiczenie 12
Które z poniższych równań tworzy z równaniem -8x+10y=4 nieoznaczony układ równań? Możliwe odpowiedzi: 1. -8x+10y=-4, 2. 4x-5y=-2, 3. 4x-5y=2, 4. 8x-10y=4
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RoVRUzZr5orwb2
Ćwiczenie 13
W hurtowni owoców znajdowało się 525 kg gruszek. Pierwszego dnia sprzedano 0,6 wszystkich owoców, a drugiego dnia 23 reszty.
Zaznacz zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. W hurtowni pozostało 70 kg gruszek., 2. Pierwszego dnia sprzedano 350 kg gruszek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 14

Trójkąty ABCBCD są równoramienne.

RZUNlC0JaKcG71
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RKGgjmNpffWGE
Ile wynosi miara kąta α? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 30°, 2. 60°, 3. 80°, 4. 50°
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1R36VCAhjPag
Dane są dwa trójkąty równoramienne. Trójkąt ABC ma kąt między ramionami równy 20°, a trójkąt DEF ma kąt przy podstawie równy 70°.
Ile wynosi różnica kąta przy podstawie trójkąta ABC i kąta między ramionami trójkąta DEF? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 40°., 2. 30°., 3. 50°., 4. 60°.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RXNoYO64tZGDL2
Ćwiczenie 15
Drzewo wysokości 12 m rzuca cień długości 10 m, a rosnący obok krzew rzuca cień długości 1,5 m. Ile wynosi wysokość krzewu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 8 m, 2. 1,8 m, 3. 1,2 m, 4. 2 m
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RTJ4gAoFVH4ag2
Ćwiczenie 16
Zaznacz poprawne zakończenie zdania. Odległość punktu M=3,-10 od punktu K=-5,5 wynosi Możliwe odpowiedzi: 1. 27., 2. 12., 3. 15., 4. 17.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1XSqxJ6unFOK2
Ćwiczenie 17
Kostka do gry ma kształt sześcianu. Przekątna tego sześcianu ma długość 23. Ile wynosi objętość kostki? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 4, 2. 12, 3. 8, 4. 83
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBtcqrjV98E2e2
Ćwiczenie 18
Krawędź podstawy czworościanu foremnego jest równa 4 cm. Ile wynosi pole powierzchni całkowitej tego czworościanu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 163, 2. 16, 3. 643, 4. 64
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 19

Wafel w kształcie stożka napełniony jest bitą śmietaną.

R1Qehuep6YOnS1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1b6kPrEzbDBe
Ile w przybliżeniu wynosi objętość tego stożka? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 314 cm3, 2. 3140 cm3, 3. 942 cm3, 4. 300 cm3
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RnkQLnglRooJU2
Ćwiczenie 20
Drabina, po której wspina się kot, jest oparta o ścianę na wysokości 3 m i tworzy ze ścianą kąt 60°. Jak długa jest ta drabina? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 4 m, 2. 5 m, 3. 6 m, 4. 8 m
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 21

Uzasadnij, że jeśli od liczby trzycyfrowej odejmiemy sumę jej cyfr, to otrzymany wynik będzie liczbą podzielną przez 9.

RkVVEk2OzrvG1
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 22
Rtd2frbfeUZhG
Karol kolekcjonuje znaczki pocztowe. W jego kolekcji znajdują się znaczki krajowe i zagraniczne. Liczba znaczków zagranicznych stanowi 90% liczby znaczków krajowych. Gdyby kolekcja Karola powiększyła się o 10 znaczków zagranicznych, to miałby on w swojej kolekcji tyle samo znaczków krajowych co zagranicznych. Ile znaczków krajowych ma Karol? Oblicz i wpisz w puste pole prawidłowy wynik. Odpowiedź: Karol ma Tu uzupełnij znaczków krajowych.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RLvSicXdvjgIn
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 23

Promień poniższego koła jest równy 7. Przyjmij π=227 i oblicz pole zacieniowanej figury.

RmJG04zvtd8Em1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RMysgguEbBJSo
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R10BO99vU33Oa
Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Pole zacieniowanej figury wynosi Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 24

Połączono odcinkami środki boków kwadratu M. Otrzymano czworokąt F. Uzasadnij, że pole czworokąta F jest dwa razy mniejsze od pola kwadratu M.

R1V9FreJOmM3v
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.