Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
1
Pokaż ćwiczenia:

Materiał zawiera zadania powtórkowe przed egzaminem maturalnym. Spróbuj je rozwiązać samodzielnie. Jeśli napotkasz problemy możesz skorzystać z podpowiedzi zamieszczonych poniżej.

1

Pierwiastki:

Własności działań na pierwiastkach:

Niech a0b0.

  1. a·b=ab,

  2. ab=ab, dla b0,

  3. a2=a,

  4. anm=anm, dla m0n>0.

Potęgi:

Własności działań na potęgach:

Niech a, b, nm będą liczbami rzeczywistymi.

  1. am·an=am+n,

  2. am:an=am-n, dla a0,

  3. a·bm=am·bm,

  4. a:bm=am:bm, dla b0,

  5. anm=am·n.

Walec i kula:

Walec:

Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=2πr(r+H).

Wzór na objętość walca: V=πr2·H,

gdzie r oznacza promień koła w podstawie, a H oznacza wysokość walca.

Kula:

Wzór na pole powierzchni całkowitej kuli: Pc=4πr2,

Objętość kuli: V=43πr3,

gdzie r oznacza promień kuli.

Trójkąty:

Trójkąt równoboczny: Wzór na pole: P=a234,

gdzie a oznacza długość boku trójkąta.

Wysokość w trójkącie równobocznym: h=a32.

Zależność pomiędzy wysokością a promieniem okręgu wpisanego lub opisanego na trójkącie równobocznym:

  1. r=13h,

  2. R=23h,

gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt, a R promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

Trójkąt prostokątny:

Twierdzenie Pitagorasa: a2+b2=c2,

gdzie a, b oznaczają długości przyprostokątnych, a c długość przeciwprostokątnej.

Wzory na promień okręgu wpisanego lub opisanego na trójkącie prostokątnym:

  1. r=p-c,

  2. R=12c,

gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, p oznacza połowę obwodu, a R promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

Wzory na pole trójkąta:

P=12ah,

P=12absinα,

gdzie α to miara kąta pomiędzy bokami ab.

Sześcian

Pole powierzchni całkowitej: Pc=6a2.

Objętość: V=a3,
gdzie a oznacza długość krawędzi sześcianu.

Skala

Wymiary rzeczywiste, to skala 1:1

Skala zmniejszająca, to np. skala 1:2 - wymiary zostały pomniejszone dwa razy, skala 1:5 - wymiary zostały pomniejszone pięć razy.

Skala powiększająca, to np. skala 2:1 - wymiary zostały powiększone dwa razy, skala 3:1 - wymiary zostały powiększone trzy razy.

Procent składany

Kapitalizację odsetek obliczamy ze wzoru: Kn=K1+p100knk,

gdzie K - kapitał początkowy, n - liczba lat oszczędzania, p - oprocentowanie w skali roku , k - liczba kapitalizacji w ciągu roku, Kn - kapitał zgromadzony po n latach oszczędzania.

Prawdopodobieństwo

Żeby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia (nazwijmy go literką A), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Następnie korzystamy ze wzoru: PA=|A||Ω|,

gdzie |A| - to liczba zdarzeń sprzyjających, |Ω| - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń.

Średnia arytmetyczna

Średnia arytmetyczna zbioru liczb - to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę.

Średnia arytmetyczna liczb x1,x2,x3,...,xn wyraża się wzorem: x¯=x1+x2+x3+...+xnn.

Koło

Obwód koła obliczamy ze wzoru: L=2πr.

Pole koła obliczamy ze wzoru: P=πr2.

Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru: Pw=α360°·πr2.

RKkv1AoJcPtaT
Ilustracja interaktywna 1. Pierwiastki Własności działań na pierwiastkach:
Niech a0b0. a·b=ab,ab=ab, dla b0,a2=a,anm=anm, dla n0m>0., 2. Potęgi Własności działań na potęgach:
Niech a, b, n, m będą liczbami rzeczywistymi.am·an=am+n,am:an=am-n, dla a0,a·bm=am·bm,a:bm=am:bm, dla b0,anm=am·n., 3. Walec i kula Walec :
Wzór na pole powierzchni całkowitej: Pc=2πr(r+H),
gdzie r oznacza promień koła w podstawie, a H oznacza wysokość walca.
Wzór na objętość walca: V=πr2·H
Kula :
Wzór na pole powierzchni całkowitej kuli: Pc=4πr2,
gdzie r oznacza promień kuli.
Objętość kuli: V=43πr3., 4. Trójkąty Trójkąt równoboczny:
Wzór na pole: P=a234.
Wysokość w trójkącie równobocznym:
h=a32,
gdzie a oznacza długość boku trójkąta.
Zależność pomiędzy wysokością a promieniem okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie równobocznym: r=13h,R=23h, gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt, a R promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.
Trójkąt prostokątny:
Twierdzenie Pitagorasa: a2+b2=c2,
gdzie a, b oznaczają długości przyprostokątnych, a c długość przeciwprostokątnej.
Wzory na promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie prostokątnym: r=p-c,R=12c, gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, p oznacza połowę obwodu, a R promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym. Wzory na pole trójkąta:P=12ah,P=12absinα, gdzie α to miara kąta pomiędzy bokami ab., 5. Sześcian Pole powierzchni całkowitej: Pc=6a2.
Objętość: V=a3,
gdzie a oznacza długość krawędzi sześcianu., 6. Miejsce zerowe funkcji Miejsce zerowe funkcji - to taki argument x dla którego funkcja przyjmuje wartość 0., 7. Skala Wymiary rzeczywiste, to skala 1:1.Skala zmniejszająca, to np. skala 1:2 - wymiary zostały pomniejszone dwa razy, skala 1:5 - wymiary zostały pomniejszone pięć razy.Skala powiększająca, to np. skala 2:1 - wymiary zostały powiększone dwa razy, skala 3:1 - wymiary zostały powiększone trzy razy., 8. Procent składany Kapitalizację odsetek obliczamy ze wzoru: Kn=K1+p100knk, gdzie K - kapitał początkowy, n - liczba lat oszczędzania, p - oprocentowanie w skali roku , k - liczba kapitalizacji w ciągu roku, Kn - kapitał zgromadzony po n latach oszczędzania., 9. Prawdopodobieństwo Żeby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia (nazwijmy go literką A), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Następnie korzystamy ze wzoru: PA=|A||Ω|, gdzie |A| - to liczba zdarzeń sprzyjających, |Ω| - to liczba wszystkich możliwych zdarzeń., 10. Średnia arytmetyczna Średnia arytmetyczna zbioru liczb - to suma tych liczb podzielona przez ich liczbę. Średnia arytmetyczna liczb x1,x2,x3,...,xn wyraża się wzorem: x¯=x1+x2+x3+...+xnn., 11. Koło Obwód koła obliczamy ze wzoru: L=2πr. Pole koła obliczamy ze wzoru: P=πr2.Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt środkowy α obliczamy ze wzoru: Pw=α360°·πr2.
Źródło: GroMar, licencja: CC BY 3.0.
RbXSs0zDazz9C1
Ćwiczenie 1
Które z poniższych wyrażeń ma taką samą wartość jak wyrażenie 751+750? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 7101, 2. 8·750, 3. 492550, 4. 14101
R1IcibB6epNU51
Ćwiczenie 2
Pan Maciej wpłacił do banku 2400  na lokatę roczną. Po upływie roku stan jego lokaty wzrósł do 2476,8 . Ile wynosiło oprocentowanie w tym banku? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Mniej niż 2,5%., 2. Między 2,5%3%., 3. Między 3%3,5%., 4. Więcej niż 3,5%.
R156KfrSMtTpF1
Ćwiczenie 3
Średnia ocen z testu z języka angielskiego dla grupy A, liczącej 10 uczniów, wynosiła 4,2, a dla grupy B, liczącej 15 uczniów, wynosiła 4,6.
Ile wynosiła średnia ocen z tego testu dla wszystkich uczniów z obu grup? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 4,4, 2. 4,5, 3. 4,44, 4. 4,36
R1QpKGVakfSjr1
Ćwiczenie 4
Jaką liczbę otrzymamy po usunięciu niewymierności z mianownika ułamka 27-233? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 33-2, 2. 1, 3. 3-23, 4. 7
R18KJjB1a8JUQ2
Ćwiczenie 5
W pudełku znajduje się 20 kredek żółtych i 20 kredek czerwonych. Zaznacz prawidłowe zakończenie zdania.
Aby prawdopodobieństwo wylosowania z pudełka kredki czerwonej wynosiło 0,4, należy Możliwe odpowiedzi: 1. dołożyć do pudełka 10 kredek żółtych., 2. dołożyć do pudełka 10 kredek czerwonych., 3. zabrać z pudełka 8 kredek żółtych., 4. zabrać z pudełka 8 kredek czerwonych.
RJI8y9hcODpCL2
Ćwiczenie 6
Ile spośród podanych liczb:
-13-5, --8-3, 234-1, -3,2-3
ma dodatnią wartość? Możliwe odpowiedzi: 1. jedna, 2. dwie, 3. trzy, 4. cztery
R1LWdmFmE1SKP2
Ćwiczenie 7
W pierwszym kwartale średnia cena akcji firmy " Inter" wynosiła x , w drugim kwartale wzrosła o 25 , w trzecim stanowiła 120% ceny z pierwszego kwartału, a w czwartym wynosiła 80 . Które z wyrażeń przedstawionych poniżej opisuje średnią cenę akcji firmy "Inter" w ciągu roku? Możliwe odpowiedzi: 1. 0,8x+26,25, 2. 0,55x+26,25, 3. 3,2+105, 4. 2,2x+105
RWOySdXuUyH3n2
Ćwiczenie 8
Rozwinięcie dziesiętne ułamka 12284995 wynosi 0,2458.
Jaka cyfra znajduje się na 40 miejscu po przecinku tego rozwinięcia? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2, 2. 4, 3. 5, 4. 8
RNhyYiSOAthAx2
Ćwiczenie 9
W dwóch pudełkach znajdują się 64 kule. Jeżeli z pierwszego pudełka przełożymy do drugiego 19 liczby kul, które się w nim znajdują, to w obu pudełkach będzie taka sama liczba kul. Ile kul jest w pierwszym pudełku? Możliwe odpowiedzi: 1. 32, 2. 36, 3. 58, 4. 38
R1CbHPoskRoCS2
Ćwiczenie 10
Czapka i dwa szaliki kosztują razem 90 . Cena czapki jest wyższa od ceny szalika o 20 .
Którego układu równań nie można wykorzystać do wyznaczenia ceny czapki i szalika? Możliwe odpowiedzi: 1. x+2y=90x=y+20, 2. x+2y=90x=y-20, 3. 2x+y=90y=x+20, 4. x+2y=90x-y=20
RyhldjRyfwgGk2
Ćwiczenie 11
Dana jest funkcja określona wzorem fx=5-10x5. Która liczba jest miejscem zerowym funkcji f? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 0,5, 2. 2, 3. -10, 4. 1
RAU5X7v20XYHj2
Ćwiczenie 12
Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 6. Miara kąta ostrego tego trójkąta jest równa 45°. Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Pole tego trójkąta jest większe od 15., 2. Pole tego trójkąta jest większe od 25., 3. Pole tego trójkąta jest większe od 3., 4. Pole tego trójkąta jest mniejsze od 10.
RlcXfC4sY4aul2
Ćwiczenie 13
Przyrząd w kształcie walca o średnicy 40 cm i wysokości 60 cm wyrównuje trawnik. Ile metrów kwadratowych powierzchni trawnika zostanie wyrównanych, jeżeli walec obróci się dwa razy? Wybierz najlepsze przybliżenie. Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. Około 0,7 m2., 2. Około 0,8 m2., 3. Około 0,4 m2., 4. Około 1 m2.
RzNbEwjNEaPkc2
Ćwiczenie 14
Jeden z boków trapezu jest jednocześnie wysokością tego trapezu. Największy kąt wewnętrzny trapezu jest cztery razy większy od najmniejszego.
Ile wynosi różnica miar tych kątów? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 120°, 2. 72°, 3. 90°, 4. 108°
R1FJwwwWy7AFB2
Ćwiczenie 15
Długości boków trójkąta są równe 40, 41, 9.
Ile wynosi obwód okręgu opisanego na tym trójkącie? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 41π, 2. 82π, 3. 20π, 4. 36π
R1JAwFgCRc7CZ2
Ćwiczenie 16
Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 1. Ile wynosi objętość tego sześcianu? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 66, 2. 6, 3. 66, 4. 636
RbuOjxz7KdH1S2
Ćwiczenie 17
W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym ściany boczne są kwadratami. Suma długości krawędzi graniastosłupa jest równa 182. Ile wynosi pole jednej ściany bocznej? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 6, 2. 8, 3. 92, 4. 18
R1eQro52pB6VB2
Ćwiczenie 18
Ile wynosi stosunek pola powierzchni bocznej walca do pola jego przekroju osiowego? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2π, 2. π, 3. 2, 4. 4
2
Ćwiczenie 19

Punkt P jest środkiem koła.

R1PPo2FLTgPsv1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RSOLcTTVIBFLZ
Pole wycinka koła o mierze kąta środkowego 150° jest równe 33,75π. Jakiej długości jest promień tego koła? Zaznacz prawidłową odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 4,5, 2. 18, 3. 9, 4. 2,25
R4niDSy6tx0lr3
Ćwiczenie 20
Jeśli od średniej arytmetycznej wieku Adama i Kamila, wyrażonej w latach, odejmiemy 1, to otrzymamy wiek Maćka. Jeśli od średniej arytmetycznej wieku Adama i Maćka, również wyrażonej w latach, odejmiemy 4, to otrzymamy wiek Kamila. Oblicz różnicę wieku między Maćkiem a Kamilem. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Różnica wieku między Maćkiem a Kamilem wynosi Tu uzupełnij lata.
RbaWmcr8V2k3I3
Ćwiczenie 21
Działka Marcela ma kształt prostokąta, którego jeden bok ma długość 20 m. Pole powierzchni działki jest równe 3 a. Oblicz obwód prostokąta przedstawiającego plan działki w skali 1:50. Uzupełnij odpowiedź, wpisując w lukę odpowiednią liczbę. Odpowiedź: Obwód prostokąta przedstawiającego plan działki wynosi Tu uzupełnij cm.
3
Ćwiczenie 22

Czworokąt ABCD jest równoległobokiem. Dwusieczna kąta ADC przecina bok AB w punkcie E, natomiast prostą, na której leży bok BC w punkcie F. Uzasadnij, że trójkąt EFB jest równoramienny.

R4JxQydrfUWvj
R1dDEsySq1bCn
(Uzupełnij).
ROwRNtqR5cc343
Ćwiczenie 23
Trzy kule o promieniach długości 2 cm, 3 cm, 4 cm przetopiono, tworząc jedną kulę. Oblicz promień tej kuli. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku. Uzupełnij poniższą odpowiedź, wpisując w luki odpowiednie liczby. Odpowiedź: Objętość utworzonej kuli jest równa Tu uzupełnij π cm3, a promień kuli
r Tu uzupełnij cm.
Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida