Zadania powtórkowe przed egzaminem maturalnym cz.6

Pierwiastki:

Własności działania na pierwiastkach:

Niech $a\ge 0$ i $b\ge 0$.

1. $\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$,

2. $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$, dla $b\ne 0$,

3. $\sqrt{a^2}=\left|a\right|$,

4. $\sqrt[m]{a^n}=a^{\frac{n}{m}}$, dla $n\ge 0$ i $m>0$.

Potęgi:

Własności działania na potęgach:

Niech $a$, $b$, $m$ i $n$ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi.

1. $a^m·a^n=a^{m+n}$,

2. $a^m:a^n=a^{m-n}$, dla $a\ne 0$,

3. ${\left(a·b\right)}^m=a^m·b^m$,

4. ${\left(a:b\right)}^m=a^m:b^m$, dla $b\ne 0$,

5. ${\left(a^n\right)}^m=a^{m·n}$.

Walec i stożek:

Walec:

Wzór na pole powierzchni całkowitej: $P_c=2\pi r\left(r+H\right)$.

Wzór na objętość walca: $V=\pi r^2·H$,

gdzie $r$ oznacza promień koła w podstawie, a $H$ oznacza wysokość walca.

Stożek:

Wzór na pole powierzchni całkowitej stożka: $P_c=\pi r^2+\pi rl$,

gdzie $r$ oznacza promień koła w podstawie, a $l$ tworzącą stożka.

Objętość stożka: $V=\frac{1}{3}·\pi r^2·H$,

gdzie $H$ oznacza wysokość stożka.

Trójkąty:

Trójkąt równoboczny: Wzór na pole: $P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$,

gdzie $a$ oznacza długość boku trójkąta.

Wysokość w trójkącie równobocznym: $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Zależność pomiędzy wysokością, a promieniem okręgu wpisanego lub opisanego na trójkącie równobocznym:

1. $r=\frac{1}{3}h$,

2. $R=\frac{2}{3}h$,

gdzie $r$ oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt, a $R$ promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

Trójkąt prostokątny:

Twierdzenie Pitagorasa: $a^2+b^2=c^2$,

gdzie $a$, $b$ oznaczają długości przyprostokątnych, a $c$ długość przeciwprostokątnej.

Wzory na promień okręgu wpisanego lub opisanego na trójkącie prostokątnym:

1. $r=p-c$,

2. $R=\frac{1}{2}c$,

gdzie $r$ oznacza promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny, $p$ oznacza połowę obwodu, a $R$ promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym.

Wzory skróconego mnożenia: Wzory skróconego mnożenia dla dowolnych $a$ i $b$:

1. ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$,

2. $\left(a+b\right){}^2=a^2+2ab+b^2$,

3. ${\left(a-b\right)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$,

4. ${\left(a+b\right)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$,

5. $\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-b^2$.

Pola wybranych czworokątów:

Równoległobok:

Wzór na pole: $P=ah=a·b·\sin \alpha =\frac{1}{2}·p·q·\sin \phi$,

gdzie

• $a$, $b$ oznaczają długości boków równoległoboku,

• $h$ oznacza wysokość równoległoboku,

• $p$, $q$ oznaczają długości przekątnych równoległoboku,

• $\alpha$ to miara kąta pomiędzy bokami,

• $\phi$ to miara kąta pomiędzy przekątnymi.

Romb:

Wzór na pole: $P=ah=a^2·\sin \alpha =\frac{1}{2}·p·q$,

gdzie

• $a$ oznacza długość boku rombu,

• $h$ oznacza wysokość rombu,

• $p$, $q$ oznaczają długości przekątnych rombu.

Trapez równoramienny:

Wzór na pole: $P=\frac{\left(a+b\right)·h}{2}$,

gdzie

• $a$, $b$ oznaczają długości podstaw trapezu,

• $h$ oznacza wysokość trapezu.

Sześcian i czworościan:

Sześcian:

Pole powierzchni całkowitej: $P_c=6a^2$,

Objętość: $V=a^3$,

gdzie $a$ oznacza długość krawędzi sześcianu.

Czworościan:

Pole powierzchni całkowitej: $P_c=a^2\sqrt{3}$,

Objętość: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$,

gdzie $a$ oznacza długość krawędzi czworościanu.

Procenty:

Procent: $1\%=\frac{1}{100}$

Obliczanie procentu z liczby: $20\%·40=\frac{20}{100}·40=\frac{800}{100}=8$.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne:

Proporcjonalność odwrotna – taka zależność między dwiema zmiennymi wielkościami $x$ i $y$, w której iloczyn tych wielkości jest stały ($x·y=a$, gdzie $a\ne 0$).

Wielkości $x$ i $y$ nazywane są odwrotnie proporcjonalnymi.

Funkcje:

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, w którym każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowany jest dokładnie jeden element zbioru $Y$.

Mówimy, że punkt $A\left(x,y\right)$ należy do wykresu funkcji $f$, jeżeli spełniona jest równość $f\left(x\right)=y$.