W tym materiale dowiesz się, w jaki sposób odczytywać argumenty funkcji, jej wartości oraz miejsca zerowe z wykresu. Zapoznaj się z nim przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiałach Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część IDPwNVQGIXOdczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część I oraz Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część IIDN3uDwH58Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część II.

Przypomnijmy, że wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest argumentem funkcji, a druga współrzędna – wartością funkcji dla tego argumentu.

Przykład 1

Z przedstawionego wykresu funkcji f odczytaj jej wartości kolejno dla argumentów: -4, -3, -1, 1, 2, 3, 4. Określ liczbę miejsc zerowych funkcji.

R3klfvdoYAfHr1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Dla argumentu

  • x=4 wartość funkcji f jest równa 3, co zapiszemy f4=3,

  • x=3 wartość tej funkcji jest równa 2, czyli f3 = 2.

Następnie f1= 3, f1=2, f2=1, f3=0 oraz f4=2.
Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Ważne!

Przypomnijmy, że nie należy mylić miejsca zerowego z punktem wspólnym wykresu funkcji i osi X. W Przykładzie 1 są dwa takie punkty -2,25; 0 oraz 3; 0. Miejsca zerowe to pierwsze współrzędne tych punktów, czyli x1=-2,25 oraz x2=3. Są to argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartość 0.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji s, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rw85NAen6ba711
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Na podstawie tego fragmentu wykresu funkcji s możemy wskazać pięć miejsc zerowych:

x=-π, x=0, x=π, x=2π, x=3π.

W rzeczywistości funkcja ta jest określona dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym tej funkcji jest każda całkowita wielokrotność liczby π, a więc każda liczba postaci x=kπ, gdzie k jest liczbą całkowitą. Funkcją tą jest sinus. Jest to jedna z funkcji trygonometrycznych.

R1JaRtFj1Hu1s1
Animacja pokazuje wykres funkcji sinus.
Ważne!

Nie narysujemy w całości wykresu funkcji, której dziedziną jest zbiór nieograniczony. Z wykresu takiej funkcji nie odczytamy poprawnie wszystkich jej własności.

Przykład 3
RLPkCiOfHyy6z1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
  • Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu a, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi Y, na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa a (taką prostą opisujemy równaniem x=a). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

R1JFqn7JLKdhT1
Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu a.
  • Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi X, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa w (taką prostą opisujemy równaniem y=w).

  • Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z takich punktów wspólnych, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

    RIC9bylMtPhU41
    Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.