Odczytywanie z wykresu argumentów i wartości funkcji - przykłady

W tym materiale dowiesz się, w jaki sposób odczytywać argumenty funkcji, jej wartości oraz miejsca zerowe z wykresu. Zapoznaj się z nim przed przystąpieniem do rozwiązywania zadań zawartych w materiałach Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część IDPwNVQGIXOdczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część I oraz Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część IIDN3uDwH58Odczytywanie własności funkcji z wykresu - zadania. Część II.

Przypomnijmy, że wykres funkcji, której argumentami i wartościami są liczby rzeczywiste, to zbiór tych punktów płaszczyzny, których pierwsza współrzędna jest argumentem funkcji, a druga współrzędna – wartością funkcji dla tego argumentu.

Przykład 1

Z przedstawionego wykresu funkcji $f$ odczytaj jej wartości kolejno dla argumentów: $-4$, $-3$, $-1$, $1$, $2$, $3$, $4$. Określ liczbę miejsc zerowych funkcji.

R3klfvdoYAfHr1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus siedmiu do siedmiu i pionową osią Y od minus czterech do czterech. W układzie narysowano wykres pewnej funkcji. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie (-4, -3), a następnie rośnie do punktu (-3, -2). W dalszej części wykres rośnie do punktu (-1, 3). Dalej wykres maleje do punktu (1, 2), a następnie ponownie maleje do punktu (3, 0). W ostatniej części wykres maleje do zamalowanego punktu (4, -2) i tam się kończy.

Dla argumentu

• $x=–4$ wartość funkcji $f$ jest równa $\left(–3\right)$, co zapiszemy $f\left(–4\right)=–3$,

• $x=–3$ wartość tej funkcji jest równa $–2$, czyli $f\left(–3\right) = –2$.

Następnie $f\left(–1\right)= 3$, $f\left(1\right)=2$, $f\left(2\right)=1$, $f\left(3\right)=0$ oraz $f\left(4\right)=–2$.
Funkcja ma dwa miejsca zerowe.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji $s$, której dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Rw85NAen6ba711

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus trzech do dziesięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano funkcję sinus. Na wykresie zaznaczono zamalowanymi kropkami punkty przecięcia z osią $X$, to znaczy $\left(-\pi ,0\right)$, $\left(0,0\right)$, $\left(\pi ,0\right)$, $\left(2\pi ,0\right)$, $\left(3\pi ,0\right)$.

Na podstawie tego fragmentu wykresu funkcji $s$ możemy wskazać pięć miejsc zerowych:

$$x=-\pi$$, $$x=0$$, $$x=\pi$$, $$x=2\pi$$, $$x=3\pi$$.

W rzeczywistości funkcja ta jest określona dla każdej liczby rzeczywistej. Miejscem zerowym tej funkcji jest każda całkowita wielokrotność liczby $\pi$, a więc każda liczba postaci $x=k\pi$, gdzie $k$ jest liczbą całkowitą. Funkcją tą jest sinus. Jest to jedna z funkcji trygonometrycznych.

R1JaRtFj1Hu1s1

Animacja pokazuje wykres funkcji sinus.

Animacja pokazuje wykres funkcji sinus.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JaRtFj1Hu1s

Animacja pokazuje wykres funkcji sinus.

Przykład 3

RLPkCiOfHyy6z1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus sześciu do sześciu i pionową osią Y od zera do czterech. W układzie narysowano wykres pewnej funkcji. Wykres zaczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych (-2; 2,75). Niezamalowany punkt oznacza, że nie należy on do wykresu funkcji. Następnie wykres rośnie do wartości około 3,5 dla argumentu bliskiego -1 i maleje do wartości około 1,5 dla argumentu bliskiego 2. W dalszej części funkcja rośnie do punktu o współrzędnych (3; 2,5) zaznaczonego zamalowanym punktem i tam się kończy. Zamalowany punkt oznacza, że należy on do wykresu funkcji.

• Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu $a$, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $Y$, na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa $a$ (taką prostą opisujemy równaniem $x=a$). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.

R1JFqn7JLKdhT1

Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu a.

Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu a.

Film dostępny pod adresem /preview/resource/R1JFqn7JLKdhT

Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać jaką wartość przyjmuje funkcja dla argumentu a.

• Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $w$, wystarczy dorysować prostą równoległą do osi $X$, na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa $w$ (taką prostą opisujemy równaniem $y=w$).

• Jeżeli taka dorysowana prosta ma punkt wspólny z wykresem danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z takich punktów wspólnych, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje zadaną wartość.

  RIC9bylMtPhU41

  Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.

  Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.

  

  Film dostępny pod adresem /preview/resource/RIC9bylMtPhU4

  Animacja pokazuje, jak z wykresu funkcji odczytać dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość w.