Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
RHeYQFQw0oShH1
Animacja pokazuje podstawowe informacje na temat naszej planety, które przedstawione są w postaci liczb.

Życie codzienne w XXI wieku jest zdominowane przez świat liczb. Używamy ich praktycznie codziennie, na przykład gdy zapisujemy datę, numer PESEL, kiedy płacimy rachunki, podajemy wynik meczu, lub pieczemy ciasto według przepisu.

Cyfry w naszym świecie są tak powszechne i oczywiste, że mogłoby się wydawać, iż istnieją od zawsze. Nic bardziej mylnego. Zapis cyfr, z których zbudowane są liczby, zmieniał się na przestrzeni dziejów i różnych kultur.
Już w bardzo dawnych czasach pojawił się problem zapisu liczb. Nie wystarczyła sama umiejętność liczenia, trzeba było prowadzić rejestry upolowanej zwierzyny, broni, wojowników, do czego niezbędne były zapisy liczbowe.

Zapamiętaj!
  • Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.

  • Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.

  • Cyfry arabskie są to znaki: 0 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ciekawostka

Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około V wieku n.e. Wynikało to z  trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.

Ważne!
  • System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu, np. dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.

  • Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.

Przykład 1
RQAQnuKpy2wWr1
Animacja przedstawia które cyfry w liczbie określają poszczególne rzędy wielkości.
Przykład 2
R12mGXzF1dAD7
Animacja pokazuje w jaki sposób możemy zapisywać duże liczby.
Przykład 3
R1Wb7a1Zp4wjC1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!

Oto kilka nazw dużych liczb:

  • 1 000 000 – milion

  • 1 000 000 000 – miliard

  • 1 000 000 000 000 – bilion

  • 1 000 000 000 000 000 – biliard

  • 1 000 000 000 000 000 000 – trylion

  • 1 000 000 000 000 000 000 000 – tryliard

Liczby naturalne

Zapamiętaj!

Liczby naturalne to:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,

Najmniejszą liczbą naturalną jest zero.

W zbiorze liczb naturalnych nie ma liczby największej.

Rxj1orGAckJn21
Ćwiczenie 1
Połącz w pary liczbę z jej opisem słownym. 2 400 050 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa 40 001 002 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa 3 700 002 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa 300 020 006 100 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa 5 000 002 010 900 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa 22 200 000 002 Możliwe odpowiedzi: 1. Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiąt, 2. Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćset, 3. Trzy miliony siedemset tysięcy dwa, 4. Czterdzieści milionów tysiąc dwa, 5. Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy sto, 6. Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwa
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NXcZ7mj6Wmd1
Ćwiczenie 2
Podane słownie liczby zapisz za pomocą cyfr w lukach. Dwadzieścia milionów pięć to Tu uzupełnij.Trzy miliardy trzy miliony trzydzieści tysięcy to Tu uzupełnij.Pięćdziesiąt bilionów miliard sto to Tu uzupełnij.Trzy tryliony dwadzieścia bilionów sto jeden to Tu uzupełnij.Jeden tryliard jeden miliard to Tu uzupełnij.Dwanaście tryliardów dwanaście bilionów sto dwadzieścia milionów dwanaście to Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBTEmchzmZOIX1
Ćwiczenie 3
Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Do zapisania liczby dwa miliardy pięćset milionów użyto 1. 16 zer, 2. 6 zer, 3. 7 zer, 4. 12 zer, 5. 10 zer, 6. 14 zer, 7. 5 zer, 8. 8 zer. Do zapisania liczby cztery biliony trzysta trzy miliardy użyto 1. 16 zer, 2. 6 zer, 3. 7 zer, 4. 12 zer, 5. 10 zer, 6. 14 zer, 7. 5 zer, 8. 8 zer. Do zapisania liczby biliard sto trzy biliony sto użyto 1. 16 zer, 2. 6 zer, 3. 7 zer, 4. 12 zer, 5. 10 zer, 6. 14 zer, 7. 5 zer, 8. 8 zer. Do zapisania liczby siedemnaście trylionów miliard cztery tysiące dwanaście użyto 1. 16 zer, 2. 6 zer, 3. 7 zer, 4. 12 zer, 5. 10 zer, 6. 14 zer, 7. 5 zer, 8. 8 zer.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Ez26zgJ5CLj1
Ćwiczenie 4
Odpowiedz na pytanie. Połącz w pary pytanie z odpowiedzią. Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych? Możliwe odpowiedzi: 1. 15 liczb: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 2. 45, 3. 6 liczb: 114, 141, 411, 122, 212, 221, 4. 40, 5. 90 Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej? Możliwe odpowiedzi: 1. 15 liczb: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 2. 45, 3. 6 liczb: 114, 141, 411, 122, 212, 221, 4. 40, 5. 90 Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych? Możliwe odpowiedzi: 1. 15 liczb: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 2. 45, 3. 6 liczb: 114, 141, 411, 122, 212, 221, 4. 40, 5. 90 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa 5? Możliwe odpowiedzi: 1. 15 liczb: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 2. 45, 3. 6 liczb: 114, 141, 411, 122, 212, 221, 4. 40, 5. 90 Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy 4? Możliwe odpowiedzi: 1. 15 liczb: 104, 113, 122, 131, 140, 203, 212, 221, 230, 302, 311, 320, 401, 410, 500, 2. 45, 3. 6 liczb: 114, 141, 411, 122, 212, 221, 4. 40, 5. 90
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1CKZhEb2MIEh2
Ćwiczenie 5
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. W zapisie liczby trylion występuje 18 zer.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wszystkich liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest 89.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą czterocyfrową, w której suma cyfr wynosi 2, jest 2 000.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Największą liczbą trzycyfrową, w której cyfra setek jest o dwa mniejsza od cyfry jedności, jest 789.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Już wiesz

Oto kilka własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech a, b, c będą liczbami naturalnymi.

  • Dodawanie jest działaniem przemiennym, czyli a+b=b+a.

  • Dodawanie jest działaniem łącznym, czyli a+b+c=a+b+c.

  • Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli a·b=b·a.

  • Mnożenie jest działaniem łącznym, czyli a·b·c=a·b·c.

  • W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, tzn. wyniki tych działań są liczbami naturalnymi.

  • Dzielenie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik dzielenia może nie być liczbą naturalną.

  • Odejmowanie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik odejmowania może nie być liczbą naturalną.

  • Nie można wykonać dzielenia przez liczbę 0.

Przykład 4
  • Liczba 16 jest podzielna przez 4, ponieważ 4·4=16. Mówimy, że liczba 4 jest dzielnikiem liczby 16.

  • Nie każdą liczbę naturalną możemy podzielić przez liczbę naturalną dodatnią bez reszty. Na przykład 16:5=3, reszta 1 ponieważ 3·5=1515+1=16. Zatem liczba 16 nie dzieli się przez liczbę 5 bez reszty.

  • Liczba 0 jest podzielna przez każdą liczbę naturalną z wyjątkiem 0.

Liczby pierwsze, liczby złożone
Definicja: Liczby pierwsze, liczby złożone

Liczbę naturalną n większą od 1 nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli jej jedynymi dzielnikami są liczby 1n. Liczby naturalne większe od 1, które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby 01 nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.

Ważne!

Cechy podzielności:

RPtPF3poqmc2A1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka
  • Liczba jest podzielna przez 6, jeżeli jest podzielna przez 23.

  • Liczba jest podzielna przez 7, jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez 7.

  • Liczba jest podzielna przez 8, jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez 8 lub są zerami.

  • Liczba jest podzielna przez 10, jeżeli w jej rzędzie jedności jest cyfra 0.

R1P5x1a4FzoCn21
Ćwiczenie 6
Skorzystaj ze znanych ci już cech podzielności i dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Liczby podzielne przez 3: Możliwe odpowiedzi: 1. 184, 2. 126, 3. 2166, 4. 208, 5. 351, 6. 5553, 7. 3243, 8. 1355, 9. 170, 10. 6505, 11. 712 Liczby podzielne przez 4: Możliwe odpowiedzi: 1. 184, 2. 126, 3. 2166, 4. 208, 5. 351, 6. 5553, 7. 3243, 8. 1355, 9. 170, 10. 6505, 11. 712 Liczby podzielne przez 5: Możliwe odpowiedzi: 1. 184, 2. 126, 3. 2166, 4. 208, 5. 351, 6. 5553, 7. 3243, 8. 1355, 9. 170, 10. 6505, 11. 712
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgldAH2LLYw8v2
Ćwiczenie 7
Jaka to liczba? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez 3.
Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez 8.
Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1f17v9bSa6Lw2
Ćwiczenie 8
Zosia ponumerowała strony swego 16-kartkowego pamiętnika. Ile razy napisała cyfrę 1?
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 9 razy., 2. 13 razy., 3. 14 razy., 4. 8 razy.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPbDzH2raWu9r2
Ćwiczenie 9
Jaką cyfrę należy wpisać w miejsce kropek, aby liczba 27544 była podzielna przez 29?
Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 2, 2. 5, 3. 0, 4. 1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Ik1c9BRFnsq2
Ćwiczenie 10
W wyniku dzielenia pewnej liczby naturalnej przez 7 otrzymujemy 4 i resztę 2. Jaka to liczba? Zaznacz poprawną odpowiedź. Możliwe odpowiedzi: 1. 16, 2. 9, 3. 28, 4. 30
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcBKulAIznDhg
Ćwiczenie 11
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. Liczba 5 jest wielokrotnością liczby 125.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą pierwszą jest 1.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba 2.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli liczba 3 jest dzielnikiem pewnej liczby x , to jest też dzielnikiem 2x.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1C3UfoG3zb2u2
Ćwiczenie 12
W pewnym sklepie jest 127 metrów bieżących czerwonej wstążki. Pierwsza klientka chce kupić kawałki wstążki o długości 4 metry każdy, a druga kawałki wstążki o długości 5 metrów każdy. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednie liczby. Przyjmij, że sprzedawca może sprzedać wstążkę tylko jednej klientce. Ile kawałków wstążki może kupić każda klientka?
Odpowiedź: Pierwsza klientka może kupić Tu uzupełnij kawałków, druga klientka Tu uzupełnij kawałków.Której klientce sklep powinien sprzedać wstążkę, aby w sklepie pozostało jak najmniej metrów wstążki?
Odpowiedź: Sklep powinien sprzedać wstążkę tylko Tu uzupełnij klientce.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FsX5BiQKLtM2
Ćwiczenie 13
Na zegarze jest godzina 12:20. Którą godzinę będzie wskazywał zegar za 550 minut?
Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Zegar będzie wskazywał godzinę 1. 23:05, 2. 21:30, 3. 21:50, 4. 20:45, 5. 22:30, 6. 22:20.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność

Największy wspólny dzielnik
Definicja: Największy wspólny dzielnik

Największym wspólnym dzielnikiem dodatnich liczb naturalnych ab (oznaczamy NWDa,b) nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby a i liczby b.

RH8MTCe1zKdKn1
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb.
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność

Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych dodatnich ab (oznaczamy NWWa,b) nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią, która jest podzielna przez liczbę a i liczbę b.

R1asXsAJ2nXUj1
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb.
RqRyjo3zgyBeu2
Ćwiczenie 14
Oblicz, stosując metodę rozkładu na czynniki pierwsze.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. NWD60,90NWW60,90
Odpowiedź: 1. 35160, 2. 30180, 3. 46620, 4. 325310, 5. 355390, 6. 42630NWD630,42NWW630,42
Odpowiedź: 1. 35160, 2. 30180, 3. 46620, 4. 325310, 5. 355390, 6. 42630NWD490,385NWW490,385
Odpowiedź: 1. 35160, 2. 30180, 3. 46620, 4. 325310, 5. 355390, 6. 42630
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18sEh5RSwJ5n2
Ćwiczenie 15
Zuzia planuje przyjęcie urodzinowe. Spodziewa się na urodzinach czterech lub pięciu koleżanek, a każdą koleżankę pragnie poczęstować taką samą liczbą ciastek. Ile co najmniej ciastek musi upiec Zuzia?
Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Zuzia musi upiec co najmniej Tu uzupełnij ciastek.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfQGVUYWUB47q2
Ćwiczenie 16
Wychowawczyni klasy I gimnazjum otrzymała 60 długopisów i 40 notesów dla uczniów swojej klasy. Chciałaby rozdać uczniom wszystkie otrzymane przedmioty. Ilu uczniów otrzyma podarunki, jeżeli każdy uczeń ma dostać od wychowawczyni taką samą liczbę długopisów i taką samą liczbę notesów?
Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Podarunki otrzyma Tu uzupełnij uczniów.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjLPVKcOxIrrW2
Ćwiczenie 17
W domu państwa Nowaków, zbudowanym w 2014 roku, postanowiono średnio co 4 lata wymieniać dywan w salonie, a co 3 lata odświeżać ściany, malując je nowym kolorem.
Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując poprawne wartości. W którym najbliższym roku czeka państwa Nowaków wymiana dywanu i malowanie ścian jednocześnie?
Odpowiedź: Tym rokiem jest Tu uzupełnij.Ile razy do 2055 roku może się to jeszcze wydarzyć? Kiedy to będzie?
Odpowiedź: Może to się jeszcze wydarzyć w roku Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HtTCcd7rby81
Animacja przedstawia jak wyznaczyć największy wspólny dzielnik wykorzystując algorytm Euklidesa.
3
Ćwiczenie 18

Skorzystaj z algorytmu Euklidesa i oblicz NWD liczb: 4290, 1210.

R133Htf7xZ3qq
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
2
Ćwiczenie 19

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji o liczbach doskonałych.

Ważne!

Zapoznaj się z cechą podzielności liczb przez: 7, 11 oraz 13.

Liczba jest podzielna przez 7, 11 albo 13, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna odpowiednio przez 7, 11 albo 13.

3
Ćwiczenie 20

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, na czym polega schemat wyznaczania liczb pierwszych nazywany sitem Eratostenesa. Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od 60.

RohGYDf8g6x3a
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
3
Ćwiczenie 21

Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, co to są liczby względnie pierwsze. Sprawdź, czy liczby 1516 są względnie pierwsze.

Rv66p5gjCNnSc
(Uzupełnij).
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.