Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja pokazuje podstawowe informacje na temat naszej planety, które przedstawione są w postaci liczb.
Życie codzienne w wieku jest zdominowane przez świat liczb. Używamy ich praktycznie codziennie, na przykład gdy zapisujemy datę, numer PESEL, kiedy płacimy rachunki, podajemy wynik meczu, lub pieczemy ciasto według przepisu.
Cyfry w naszym świecie są tak powszechne i oczywiste, że mogłoby się wydawać, iż istnieją od zawsze. Nic bardziej mylnego. Zapis cyfr, z których zbudowane są liczby, zmieniał się na przestrzeni dziejów i różnych kultur. Już w bardzo dawnych czasach pojawił się problem zapisu liczb. Nie wystarczyła sama umiejętność liczenia, trzeba było prowadzić rejestry upolowanej zwierzyny, broni, wojowników, do czego niezbędne były zapisy liczbowe.
Zapamiętaj!
Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.
Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.
Cyfry arabskie są to znaki: , , , , , , , , , .
Ciekawostka
Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około wieku n.e. Wynikało to z trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.
Ważne!
System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu, np. dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.
Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.
Przykład 1
RQAQnuKpy2wWr1
Animacja przedstawia które cyfry w liczbie określają poszczególne rzędy wielkości.
Animacja przedstawia które cyfry w liczbie określają poszczególne rzędy wielkości.
Napisy
Napisy
wyłączone
Jakość
auto
1080p
720p
480p
360p
Prędkość
Po klatce
0.25
0.5
0.75
Normalna
1.25
1.5
1.75
2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja pokazuje w jaki sposób możemy zapisywać duże liczby.
Przykład 3
R1Wb7a1Zp4wjC1
Zapis liczby: 300070000. Liczba jest rozdzielona na trzycyfrowe grupy, zaczynając od prawej strony. Grupy cyfr oznaczają kolejno od prawej grupę jedności, tysięcy, milionów. Każde trzy cyfry, zaczynając od prawej oznaczają nazwy kolejnych rzędów w liczbie: j - jedności, d - dziesiątki, s - setki. Jedności stanowią cyfry 000, tysiące stanowią cyfry 070, a miliony stanowią cyfry 300.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Zapamiętaj!
Oto kilka nazw dużych liczb:
– milion
– miliard
– bilion
– biliard
– trylion
– tryliard
Liczby naturalne
Zapamiętaj!
Liczby naturalne to:
, , , , , , , , , , , , , , , , , ,
Najmniejszą liczbą naturalną jest zero.
W zbiorze liczb naturalnych nie ma liczby największej.
Rxj1orGAckJn21
Ćwiczenie 1
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Połącz w pary liczbę z jej opisem słownym.
Czterdzieści milionów tysiąc dwaPołączony z:
Dwadzieścia dwa miliardy dwieście milionów dwaPołączony z:
Pięć bilionów dwa miliony dziesięć tysięcy dziewięćsetPołączony z:
Trzy miliony siedemset tysięcy dwaPołączony z:
Trzysta miliardów dwadzieścia milionów sześć tysięcy stoPołączony z:
Dwa miliony czterysta tysięcy pięćdziesiątPołączony z:
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1NXcZ7mj6Wmd1
Ćwiczenie 2
Podane słownie liczby zapisz za pomocą cyfr w lukach. Dwadzieścia milionów pięć to Tu uzupełnij.Trzy miliardy trzy miliony trzydzieści tysięcy to Tu uzupełnij.Pięćdziesiąt bilionów miliard sto to Tu uzupełnij.Trzy tryliony dwadzieścia bilionów sto jeden to Tu uzupełnij.Jeden tryliard jeden miliard to Tu uzupełnij.Dwanaście tryliardów dwanaście bilionów sto dwadzieścia milionów dwanaście to Tu uzupełnij.
Podane słownie liczby zapisz za pomocą cyfr w lukach. Dwadzieścia milionów pięć to Tu uzupełnij.Trzy miliardy trzy miliony trzydzieści tysięcy to Tu uzupełnij.Pięćdziesiąt bilionów miliard sto to Tu uzupełnij.Trzy tryliony dwadzieścia bilionów sto jeden to Tu uzupełnij.Jeden tryliard jeden miliard to Tu uzupełnij.Dwanaście tryliardów dwanaście bilionów sto dwadzieścia milionów dwanaście to Tu uzupełnij.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RBTEmchzmZOIX1
Ćwiczenie 3
Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Do zapisania liczby dwa miliardy pięćset milionów użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby cztery biliony trzysta trzy miliardy użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby biliard sto trzy biliony sto użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby siedemnaście trylionów miliard cztery tysiące dwanaście użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer.
Uzupełnij luki w zdaniach podanymi wyrazami. Kliknij w lukę, aby rozwinąć listę i wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Do zapisania liczby dwa miliardy pięćset milionów użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby cztery biliony trzysta trzy miliardy użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby biliard sto trzy biliony sto użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer. Do zapisania liczby siedemnaście trylionów miliard cztery tysiące dwanaście użyto 1. zer, 2. zer, 3. zer, 4. zer, 5. zer, 6. zer, 7. zer, 8. zer.
Trwa wczytywanie danych...
Przeciągnij i upuść.
8 zer, 10 zer, 12 zer, 14 zer
a) Do zapisania liczby dwa miliardy pięćset milionów użyto ............ .
b) Do zapisania liczby cztery biliony trzysta trzy miliardy użyto ............ .
c) Do zapisania liczby biliard sto trzy biliony sto użyto ............ .
d) Do zapisania liczby siedemnaście trylionów miliard cztery tysiące dwanaście użyto ............ .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Ez26zgJ5CLj1
Ćwiczenie 4
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Odpowiedz na pytanie. Połącz w pary pytanie z odpowiedzią.
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa ?
Połączony z: Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których suma cyfr jest równa ?
Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy ?
liczb: , , , , , , , , , , , , , , Połączony z: Ile jest wszystkich liczb trzycyfrowych, których iloczyn cyfr jest równy ?
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych?
Połączony z: Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych parzystych?
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych?
Połączony z: Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych?
Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej?
liczb: , , , , , Połączony z: Ile jest wszystkich liczb dwucyfrowych zaczynających się od cyfry parzystej?
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1CKZhEb2MIEh2
Ćwiczenie 5
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. W zapisie liczby trylion występuje zer.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wszystkich liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą czterocyfrową, w której suma cyfr wynosi , jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Największą liczbą trzycyfrową, w której cyfra setek jest o dwa mniejsza od cyfry jedności, jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. W zapisie liczby trylion występuje zer.. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Wszystkich liczb dwucyfrowych o niepowtarzających się cyfrach jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą czterocyfrową, w której suma cyfr wynosi , jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Największą liczbą trzycyfrową, w której cyfra setek jest o dwa mniejsza od cyfry jedności, jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Już wiesz
Oto kilka własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech , , będą liczbami naturalnymi.
Dodawanie jest działaniem przemiennym, czyli .
Dodawanie jest działaniem łącznym, czyli .
Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli .
Mnożenie jest działaniem łącznym, czyli .
W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, tzn. wyniki tych działań są liczbami naturalnymi.
Dzielenie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik dzielenia może nie być liczbą naturalną.
Odejmowanie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik odejmowania może nie być liczbą naturalną.
Nie można wykonać dzielenia przez liczbę .
Przykład 4
Liczba jest podzielna przez , ponieważ . Mówimy, że liczba jest dzielnikiem liczby .
Nie każdą liczbę naturalną możemy podzielić przez liczbę naturalną dodatnią bez reszty. Na przykład , reszta ponieważ i . Zatem liczba nie dzieli się przez liczbę bez reszty.
Liczba jest podzielna przez każdą liczbę naturalną z wyjątkiem .
Liczby pierwsze, liczby złożone
Definicja: Liczby pierwsze, liczby złożone
Liczbę naturalną większą od nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli jej jedynymi dzielnikami są liczby i . Liczby naturalne większe od , które nie są liczbami pierwszymi nazywamy liczbami złożonymi. Liczby i nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Ważne!
Cechy podzielności:
RPtPF3poqmc2A1
Cechy podzielności liczb: Podzielność przez 2: Liczba naturalna jest podzielna przez 2, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6 lub 8; Podzielność przez 5: Liczba naturalna jest podzielna przez 5, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5; Podzielność przez 3: Liczba naturalna jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3; Podzielność przez 9: Liczba naturalna jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9; Podzielność przez 4: Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeżeli cyfry dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 4; Podzielność przez 25: Liczba naturalna jest podzielna przez 25, jeżeli cyfry dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 25
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Ciekawostka
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jest podzielna przez i .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez .
Liczba jest podzielna przez , jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez lub są zerami.
Liczba jest podzielna przez , jeżeli w jej rzędzie jedności jest cyfra .
R1P5x1a4FzoCn21
Ćwiczenie 6
Skorzystaj ze znanych ci już cech podzielności i dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11.
Skorzystaj ze znanych ci już cech podzielności i dopasuj podane liczby do odpowiedniej grupy, przeciągając je. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11. Liczby podzielne przez : Możliwe odpowiedzi: 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. , 9. , 10. , 11.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RgldAH2LLYw8v2
Ćwiczenie 7
Jaka to liczba? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.
Jaka to liczba? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Najmniejsza liczba czterocyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.Największa liczba trzycyfrowa podzielna przez . Odpowiedź: Jest to liczba Tu uzupełnij.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1f17v9bSa6Lw2
Ćwiczenie 8
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Zosia ponumerowała strony swego -kartkowego pamiętnika. Ile razy napisała cyfrę ? Zaznacz poprawną odpowiedź.
Zaznacz prawidłową odpowiedź.
razy.
Wypisz wszystkie liczby od do i policz wszystkie cyfry jeden.
razy.
Wypisz wszystkie liczby od do i policz wszystkie cyfry jeden.
razy.
Wypisz wszystkie liczby od do i policz wszystkie cyfry jeden.
razy.
Poprawna odpowiedź
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RPbDzH2raWu9r2
Ćwiczenie 9
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Jaką cyfrę należy wpisać w miejsce kropek, aby liczba była podzielna przez i ? Zaznacz poprawną odpowiedź.
Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Liczba podzielna przez i musi być parzysta oraz suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez .
Liczba podzielna przez i musi być parzysta oraz suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez .
Poprawna odpowiedź
Liczba podzielna przez i musi być parzysta oraz suma jej cyfr musi być liczbą podzielną przez .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Ik1c9BRFnsq2
Ćwiczenie 10
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
W wyniku dzielenia pewnej liczby naturalnej przez otrzymujemy i resztę . Jaka to liczba? Zaznacz poprawną odpowiedź.
Zaznacz prawidłową odpowiedź.
Poprawna odpowiedź
Pomnóż liczbę przez i dodaj .
Pomnóż liczbę przez i dodaj .
Pomnóż liczbę przez i dodaj .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RcBKulAIznDhg
Ćwiczenie 11
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. Liczba jest wielokrotnością liczby .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą pierwszą jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli liczba jest dzielnikiem pewnej liczby , to jest też dzielnikiem .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Łączenie par. Rozstrzygnij, czy podane zdanie jest prawdziwe czy fałszywe. Zaznacz odpowiednie pole.. Liczba jest wielokrotnością liczby .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Najmniejszą liczbą pierwszą jest .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jedyną liczbą pierwszą parzystą jest liczba .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz. Jeżeli liczba jest dzielnikiem pewnej liczby , to jest też dzielnikiem .. Możliwe odpowiedzi: Prawda, Fałsz
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1C3UfoG3zb2u2
Ćwiczenie 12
W pewnym sklepie jest metrów bieżących czerwonej wstążki. Pierwsza klientka chce kupić kawałki wstążki o długości metry każdy, a druga kawałki wstążki o długości metrów każdy. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednie liczby. Przyjmij, że sprzedawca może sprzedać wstążkę tylko jednej klientce. Ile kawałków wstążki może kupić każda klientka? Odpowiedź: Pierwsza klientka może kupić Tu uzupełnij kawałków, druga klientka Tu uzupełnij kawałków.Której klientce sklep powinien sprzedać wstążkę, aby w sklepie pozostało jak najmniej metrów wstążki? Odpowiedź: Sklep powinien sprzedać wstążkę tylko Tu uzupełnij klientce.
W pewnym sklepie jest metrów bieżących czerwonej wstążki. Pierwsza klientka chce kupić kawałki wstążki o długości metry każdy, a druga kawałki wstążki o długości metrów każdy. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując odpowiednie liczby. Przyjmij, że sprzedawca może sprzedać wstążkę tylko jednej klientce. Ile kawałków wstążki może kupić każda klientka? Odpowiedź: Pierwsza klientka może kupić Tu uzupełnij kawałków, druga klientka Tu uzupełnij kawałków.Której klientce sklep powinien sprzedać wstążkę, aby w sklepie pozostało jak najmniej metrów wstążki? Odpowiedź: Sklep powinien sprzedać wstążkę tylko Tu uzupełnij klientce.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1FsX5BiQKLtM2
Ćwiczenie 13
Na zegarze jest godzina . Którą godzinę będzie wskazywał zegar za minut? Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Zegar będzie wskazywał godzinę 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. .
Na zegarze jest godzina . Którą godzinę będzie wskazywał zegar za minut? Uzupełnij poniższą lukę. Kliknij w nią, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź: Zegar będzie wskazywał godzinę 1. , 2. , 3. , 4. , 5. , 6. .
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność
Największy wspólny dzielnik
Definicja: Największy wspólny dzielnik
Największym wspólnym dzielnikiem dodatnich liczb naturalnych i (oznaczamy ) nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby i liczby .
RH8MTCe1zKdKn1
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb.
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb.
Napisy
Napisy
wyłączone
Jakość
auto
1080p
720p
480p
360p
Prędkość
Po klatce
0.25
0.5
0.75
Normalna
1.25
1.5
1.75
2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć największy wspólny dzielnik dwóch liczb.
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Definicja: Najmniejsza wspólna wielokrotność
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych dodatnich i (oznaczamy ) nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią, która jest podzielna przez liczbę i liczbę .
R1asXsAJ2nXUj1
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb.
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb.
Napisy
Napisy
wyłączone
Jakość
auto
1080p
720p
480p
360p
Prędkość
Po klatce
0.25
0.5
0.75
Normalna
1.25
1.5
1.75
2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia w jaki sposób wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność dwóch liczb.
RqRyjo3zgyBeu2
Ćwiczenie 14
Oblicz, stosując metodę rozkładu na czynniki pierwsze. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i
Oblicz, stosując metodę rozkładu na czynniki pierwsze. Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź. i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i i Odpowiedź: 1. i , 2. i , 3. i , 4. i , 5. i , 6. i
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R18sEh5RSwJ5n2
Ćwiczenie 15
Zuzia planuje przyjęcie urodzinowe. Spodziewa się na urodzinach czterech lub pięciu koleżanek, a każdą koleżankę pragnie poczęstować taką samą liczbą ciastek. Ile co najmniej ciastek musi upiec Zuzia? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Zuzia musi upiec co najmniej Tu uzupełnij ciastek.
Zuzia planuje przyjęcie urodzinowe. Spodziewa się na urodzinach czterech lub pięciu koleżanek, a każdą koleżankę pragnie poczęstować taką samą liczbą ciastek. Ile co najmniej ciastek musi upiec Zuzia? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Zuzia musi upiec co najmniej Tu uzupełnij ciastek.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RfQGVUYWUB47q2
Ćwiczenie 16
Wychowawczyni klasy gimnazjum otrzymała długopisów i notesów dla uczniów swojej klasy. Chciałaby rozdać uczniom wszystkie otrzymane przedmioty. Ilu uczniów otrzyma podarunki, jeżeli każdy uczeń ma dostać od wychowawczyni taką samą liczbę długopisów i taką samą liczbę notesów? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Podarunki otrzyma Tu uzupełnij uczniów.
Wychowawczyni klasy gimnazjum otrzymała długopisów i notesów dla uczniów swojej klasy. Chciałaby rozdać uczniom wszystkie otrzymane przedmioty. Ilu uczniów otrzyma podarunki, jeżeli każdy uczeń ma dostać od wychowawczyni taką samą liczbę długopisów i taką samą liczbę notesów? Uzupełnij lukę w zdaniu, wpisując poprawną wartość. Odpowiedź: Podarunki otrzyma Tu uzupełnij uczniów.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
RjLPVKcOxIrrW2
Ćwiczenie 17
W domu państwa Nowaków, zbudowanym w roku, postanowiono średnio co lata wymieniać dywan w salonie, a co lata odświeżać ściany, malując je nowym kolorem. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując poprawne wartości. W którym najbliższym roku czeka państwa Nowaków wymiana dywanu i malowanie ścian jednocześnie? Odpowiedź: Tym rokiem jest Tu uzupełnij.Ile razy do roku może się to jeszcze wydarzyć? Kiedy to będzie? Odpowiedź: Może to się jeszcze wydarzyć w roku Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
W domu państwa Nowaków, zbudowanym w roku, postanowiono średnio co lata wymieniać dywan w salonie, a co lata odświeżać ściany, malując je nowym kolorem. Uzupełnij luki w zdaniach, wpisując poprawne wartości. W którym najbliższym roku czeka państwa Nowaków wymiana dywanu i malowanie ścian jednocześnie? Odpowiedź: Tym rokiem jest Tu uzupełnij.Ile razy do roku może się to jeszcze wydarzyć? Kiedy to będzie? Odpowiedź: Może to się jeszcze wydarzyć w roku Tu uzupełnij oraz Tu uzupełnij.
Trwa wczytywanie danych...
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1HtTCcd7rby81
Animacja przedstawia jak wyznaczyć największy wspólny dzielnik wykorzystując algorytm Euklidesa.
Animacja przedstawia jak wyznaczyć największy wspólny dzielnik wykorzystując algorytm Euklidesa.
Napisy
wyłączone
Jakość
auto
1080p
720p
480p
360p
Prędkość
Po klatce
0.25
0.5
0.75
Normalna
1.25
1.5
1.75
2
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Animacja przedstawia jak wyznaczyć największy wspólny dzielnik wykorzystując algorytm Euklidesa.
3
Ćwiczenie 18
Skorzystaj z algorytmu Euklidesa i oblicz liczb: , .
R133Htf7xZ3qq
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Korzystamy z algorytmu Euklidesa. , więc . , więc . , więc . , więc . , więc . , więc . , więc . , więc . , więc . .
Oznacza to, że .
liczb: , wynosi .
2
Ćwiczenie 19
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji o liczbach doskonałych.
Liczby doskonałe to pewne specyficzne liczby naturalne.
Liczba doskonała to liczba naturalna, która jest sumą wszystkich swych dzielników mniejszych od siebie.
Ważne!
Zapoznaj się z cechą podzielności liczb przez: , oraz .
Liczba jest podzielna przez , albo , jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna odpowiednio przez , albo .
3
Ćwiczenie 20
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, na czym polega schemat wyznaczania liczb pierwszych nazywany sitem Eratostenesa. Wypisz wszystkie liczby pierwsze mniejsze od .
RohGYDf8g6x3a
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Działanie algorytmu
Na początku wypisujemy wszystkie liczby naturalne od do . Następnie wybieramy z nich najmniejszą liczbę pierwszą (na początku będzie to liczba ) i wykreślamy ze zbioru wszystkie jej wielokrotności, tj. , , itd. W kolejnym kroku rozpatrujemy następną liczbę pierwszą (pomijając wykreślone i te już rozpatrzone) i wykreślamy jej wielokrotności. Czynność powtarzamy aż do momentu, w którym rozpatrywana liczba będzie większa od
Wszystkie liczby, które nie zostały wykreślone, są liczbami pierwszymi.
Liczby pierwsze mniejsze od to:
, , , , , , , , , , , , , , , , .
3
Ćwiczenie 21
Poszukaj w dostępnych źródłach informacji, co to są liczby względnie pierwsze. Sprawdź, czy liczby i są względnie pierwsze.
Rv66p5gjCNnSc
OBIEKT MULTIMEDIALNYKLIKNIJ, ABY OTWORZYĆ NA PEŁNYM EKRANIE
Kliknij, aby rozpocząć
Wystąpił błąd
Spróbuj ponownie później
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
Liczby względnie pierwsze to liczby całkowite, których największym wspólnym dzielnikiem jest .
Liczby i są względnie pierwsze, ponieważ ich największy wspólny dzielnik to .