Liczby

• Cyfra to umowny znak służący do zapisywania liczb. Słowo cyfra pochodzi z języka arabskiego od słowa sifr, czyli zero. Obecnie używane cyfry nazywane arabskimi tak naprawdę są pochodzenia hinduskiego.

• Cyfry używane współcześnie upowszechniły się dopiero w epoce nowożytnej.

• Cyfry arabskie są to znaki: $0$, $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $7$, $8$, $9$.

Ciekawostką jest bardzo późne pojawienie się symbolu zera, dopiero około $\text{V}$ wieku n.e. Wynikało to z  trudności uznania zera za liczbę. Liczbę wiązano z konkretną ilością na przykład bloków kamiennych do budowy piramid, natomiast zero oznaczało nic, brak przedmiotów.

• System liczbowy indyjsko‑arabski nazywany jest układem dziesiątkowym pozycyjnym. System dziesiątkowy oznacza, że dziesięć jednostek niższego rzędu tworzy jedną jednostkę bezpośrednio wyższego rzędu, np. dziesięć jedności tworzy jedną dziesiątkę, dziesięć dziesiątek tworzy jedną setkę.

• Pozycyjny system oznacza, że znaczenie cyfry jest zależne od pozycji, jaką zajmuje ona w liczbie.

Oto kilka nazw dużych liczb:

• $1 000 000$ – milion

• $1 000 000 000$ – miliard

• $1 000 000 000 000$ – bilion

• $1 000 000 000 000 000$ – biliard

• $1 000 000 000 000 000 000$ – trylion

• $1 000 000 000 000 000 000 000$ – tryliard

Liczby naturalne to:

Najmniejszą liczbą naturalną jest zero.

W zbiorze liczb naturalnych nie ma liczby największej.

Oto kilka własności działań w zbiorze liczb naturalnych. Niech $a$, $b$, $c$ będą liczbami naturalnymi.

• Dodawanie jest działaniem przemiennym, czyli $a+b=b+a$.

• Dodawanie jest działaniem łącznym, czyli $\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right)$.

• Mnożenie jest działaniem przemiennym, czyli $a·b=b·a$.

• Mnożenie jest działaniem łącznym, czyli $\left(a·b\right)·c=a·\left(b·c\right)$.

• W zbiorze liczb naturalnych wykonalne są działania dodawania i mnożenia, tzn. wyniki tych działań są liczbami naturalnymi.

• Dzielenie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik dzielenia może nie być liczbą naturalną.

• Odejmowanie nie jest działaniem wykonalnym w zbiorze liczb naturalnych, ponieważ wynik odejmowania może nie być liczbą naturalną.

• Nie można wykonać dzielenia przez liczbę $0$.

Cechy podzielności:

RPtPF3poqmc2A1

Cechy podzielności liczb: Podzielność przez 2: Liczba naturalna jest podzielna przez 2, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0, 2, 4, 6 lub 8; Podzielność przez 5: Liczba naturalna jest podzielna przez 5, jeżeli jej cyfrą jedności jest 0 lub 5; Podzielność przez 3: Liczba naturalna jest podzielna przez 3, jeżeli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 3; Podzielność przez 9: Liczba naturalna jest podzielna przez 9, jeżeli suma jej cyfr jest liczbą podzielną przez 9; Podzielność przez 4: Liczba naturalna jest podzielna przez 4, jeżeli cyfry dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 4; Podzielność przez 25: Liczba naturalna jest podzielna przez 25, jeżeli cyfry dziesiątek i jedności tworzą liczbę podzielną przez 25

• Liczba jest podzielna przez $6$, jeżeli jest podzielna przez $2$ i $3$.

• Liczba jest podzielna przez $7$, jeżeli od liczby powstałej przez skreślenie trzech ostatnich cyfr odejmiemy liczbę skreśloną i otrzymana liczba jest podzielna przez $7$.

• Liczba jest podzielna przez $8$, jeżeli jej trzy ostatnie cyfry tworzą liczbę podzielną przez $8$ lub są zerami.

• Liczba jest podzielna przez $10$, jeżeli w jej rzędzie jedności jest cyfra $0$.

Zapoznaj się z cechą podzielności liczb przez: $7$, $11$ oraz $13$.

Liczba jest podzielna przez $7$, $11$ albo $13$, jeśli różnica liczby złożonej z trzech ostatnich cyfr i liczby złożonej z pozostałych cyfr jest podzielna odpowiednio przez $7$, $11$ albo $13$.