Zastosowanie funkcji wykładniczej - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Za pomocą funkcji wykładniczej można opisać wiele zjawisk z życia codziennego. Funkcję tę stosujemy do opisu wielkości, które w stałym tempie się zmieniają, w ten sposób, że w kolejnych odcinkach czasu tyle samo razy lub o ten sam procent się zwiększają lub zmniejszają. Wielkości takie mają tę własność, że ich przyrost od pewnego momentu jest dużo szybszy niż wzrost liniowy. Za to spadek w tempie wykładniczym jest wolniejszy niż spadek w tempie liniowym. Z wzrostem i spadkiem wykładniczym mamy do czynienia w biologii, chemii, demografii, gospodarce.

Podamy poniżej kilka zastosowań funkcji wykładniczej.

Przykład 1

Żeby określić liczebność pewnej populacji osobników, można skorzystać ze wzoru

L (t) = L (0) \cdot a^{t}

gdzie

$L (0)$ jest początkową liczbą osobników w populacji,

$a$ pewną stałą większą od zera, charakterystyczną dla tej populacji.

Populacja osobników w tempie wykładniczym rozmnaża się najczęściej przez pewien czas, po którym następuje czas względnej równowagi pomiędzy ilością osobników tworzących się i obumierających.

Przyrost populacji, przebieg epidemii czy zasięg sieci społecznościowych w internecie nie mogą wzrastać w nieskończoność, gdyż istnieją ograniczenia środowiska czy przestrzeni, w której dane zjawiska występują.

Pewna kolonia bakterii liczy na początku obserwacji $500000$ osobników. Co godzina ich liczba wzrasta o $10 %$ . Oblicz, ile bakterii będzie w tej kolonii po $3$ godzinach, ile po $5$ godzinach, a ile po $10$ godzinach.

Liczbę osobników tej kolonii obliczymy ze wzoru $L (t) = 500000 \cdot 1, 1^{t}$ .

Zatem

L (3) = 500000 \cdot 1, 1^{3} = 665500

L (5) = 500000 \cdot 1, 1^{5} = 805255

L (10) = 500000 \cdot 1, 1^{10} = 1296870

Przykład 2

W pewnym mieście odnotowano w kolejnych latach podaną w tabeli liczbę mieszkańców.

Rok	Liczba ludności (w tysiącach)	Przyrost ludności (w tysiącach)
$2009$	$30, 30$	-
$2010$	$31, 00$	$0, 7$
$2011$	$31, 71$	$0, 71$
$2012$	$32, 44$	$0, 73$
$2013$	$33, 19$	$0, 75$
$2014$	$33, 95$	$0, 76$

Zauważmy, że liczba mieszkańców nie przyrasta w sposób liniowy, ponieważ w kolejnych latach przyrost jest coraz większy. Obliczmy stosunek liczby mieszkańców w danym roku do liczby mieszkańców w poprzednim roku.

\frac{liczba mieszkańców w 2014}{liczba mieszkańców w 2013} = \frac{33, 95}{33, 19} \approx 1, 023

\frac{liczba mieszkańców w 2013}{liczba mieszkańców w 2012} = \frac{33, 19}{32, 44} \approx 1, 023

\frac{liczba mieszkańców w 2012}{liczba mieszkańców w 2011} = \frac{32, 44}{31, 71} \approx 1, 023

\frac{liczba mieszkańców w 2011}{liczba mieszkańców w 2010} = \frac{31, 71}{31} \approx 1, 023

\frac{liczba mieszkańców w 2010}{liczba mieszkańców w 2009} = \frac{31}{30, 3} \approx 1, 023

Ponieważ otrzymane ilorazy są równe (w pewnym przybliżeniu), wynika stąd, że liczba mieszkańców rośnie każdego roku o około $2, 3 %$ . Liczbę ludności w tym mieście po $t$ latach od $2009$ roku możemy opisać wzorem

X (t) = 30, 3 \cdot {(1, 023)}^{t}

Zatem przyrost ludności w tym mieście ma charakter wykładniczy. Jeżeli w kolejnych latach przyrost ludności zachował ten charakter, ile osób mieszkało w tym mieście w latach $2016$ , $2020$ ?

W roku $2016$ było $33, 95 \cdot {(1, 023)}^{2} \approx 35, 53$ , czyli około $35, 53$ tysięcy mieszkańców.

Liczba mieszkańców w $2020$ roku wynosiła

X (11) = 30, 3 \cdot {(1, 023)}^{11} \approx 38, 91

czyli około $38, 91$ tysięcy.

Przykład 3

Pierwiastki promieniotwórcze samoistnie rozpadają się. Czasem połowicznego rozpadu nazywamy czas, po którym masa próbki takiego pierwiastka zmniejszy się o połowę. Masę próbki po upływie czasu $t$ możemy obliczyć ze wzoru

m (t) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}}

gdzie

$m (0)$ – jest masą próbki na początku,

$T$ to okres połowicznego rozpadu.

Izotop jodu ma czas połowicznego rozpadu $8$ dni. Ile miligramów jodu zostanie z $20 mg$ próbki po upływie $32$ dni? Jaki procent izotopu ulegnie rozpadowi w tym czasie?

$32$ dni to $4$ okresy połowicznego rozpadu izotopu jodu, bo $\frac{t}{T} = \frac{32}{8} = 4$ . Mamy więc

m (32) = 20 \cdot {(\frac{1}{2})}^{4} = \frac{20}{16} = \frac{5}{4} = 1, 25

Zatem z próbki złożonej z $20 mg$ pozostanie po $32$ dniach $1, 25 mg$ . Rozpadowi ulegnie więc $18, 75 mg$ z $20 mg$ . Układamy proporcję

\begin{matrix} 100 % & - & 20 mg \\ x & - & 18,75 mg \end{matrix}

Stąd

x = \frac{18, 75 \cdot 100 %}{20} = 93, 75 %

Przykład 4

W naturze występują trzy izotopy węgla $C - 12$ , $C - 13$ , $C - 14$ , różniące się między sobą liczbą protonów i neutronów w jądrze. Węgiel $C - 14$ jest radioaktywny i jego czas połowicznego rozpadu jest równy $5730$ lat. Powstaje on w górnych warstwach atmosfery w wyniku bombardowania atomów azotu neutronami o wysokiej energii z promieniowania kosmicznego. Izotopu $C - 14$ jest bardzo mało w zawartym w powietrzu dwutlenku węgla, jeden atom przypada na około $10^{12}$ atomów węgla $C - 12$ . Wszystkie rośliny pobierają z atmosfery oba rodzaje węgla. Także zwierzęta, jedząc rośliny, pobierają oba rodzaje węgla. Okazuje się, że zawartość węgla $C - 14$ w organizmach jest podobna do jego zawartości w atmosferze. Po śmierci kończy się dopływ węgla z zewnątrz i wtedy węgiel $C - 12$ pozostaje w komórkach, a węgiel $C - 14$ ulega rozpadowi.
Liczbę atomów węgla $C - 14$ w próbce po czasie $t$ obliczymy ze wzoru

N (t) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{5730}}

Ile lat temu zginął człowiek, jeżeli w jego szczątkach znajduje się tylko $6, 25 %$ ilości węgla, jaka jest w żywym organizmie?
Zbadajmy, jaka ilość węgla $C - 14$ pozostanie po kolejnych okresach.

Okres, jaki upłynął	Ilość węgla $C - 14$ , jaka pozostanie
$5730$	$50 %$
$11460$	$25 %$
$17190$	$12, 5 %$
$22920$	$6, 25 %$

Zatem człowiek ten żył około $22920$ lat temu.

Znaleziono kość pewnego zwierzęcia, w której $1$ atom węgla $C - 14$ przypada na $4 \cdot 10^{12}$ atomów zwykłego węgla. Jaki czas upłynął od śmierci tego zwierzęcia?
Ponieważ w atmosferze na $1$ atom węgla $C - 14$ przypada $10^{12}$ atomów zwykłego węgla, więc ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Po pierwszym okresie, czyli łącznie po $5 730$ latach, ilość węgla zmniejszyła się o połowę i po kolejnym okresie, czyli po $11 460$ latach, ilość węgla zmniejszyła się czterokrotnie. Zatem zwierzę żyło około $11 500$ lat temu.

Przykład 5

Po podaniu pewnego leku do organizmu substancja czynna tego leku przenika do krwiobiegu. Następnie z każdą godziną ilość tej substancji maleje o około $40 %$ . Jeżeli podana dawka leku zawierała $250 mg$ substancji, to po ilu godzinach zostanie w krwiobiegu pacjenta mniej niż $32, 4 mg$ substancji?

sposób $I$
Jeżeli z każdą następną godziną ilość substancji w krwiobiegu maleje o $40 %$ , to znaczy, że po każdej godzinie pozostanie $0, 6$ ilości substancji obecnej w poprzedniej godzinie. Zatem $X (t) = 250 \cdot {(0, 6)}^{t}$ , gdzie $t$ oznacza ilość czasu w godzinach, jaki upłynął od podania leku, a $X (t)$ to ilość leku w organizmie po $t$ godzinach.
Mamy więc $250 \cdot {(0, 6)}^{t} < 32, 4$ . Stąd ${(0, 6)}^{t} < 0, 1296$ . Ponieważ $0, 1296 = {(0, 6)}^{4}$ , więc nierówność ma postać ${(0, 6)}^{t} < {(0, 6)}^{4}$ . Funkcja $y = {(0, 6)}^{t}$ jest funkcją malejącą, więc dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości. Stąd wynika, że $t > 4$ .
sposób $II$
W kolejnych godzinach mamy:

X (1) = 250 \cdot 0, 6 = 150

X (2) = 150 \cdot 0, 6 = 90

X (3) = 90 \cdot 0, 6 = 54

X (4) = 54 \cdot 0, 6 = 32, 4

Funkcja opisująca ilość leku we krwi jest funkcją malejącą oraz dla argumentu $4$ przyjmuje dokładnie wartość $32, 4$ , zatem dla argumentów większych przyjmuje wartości mniejsze.

RIPl5RMuJh1Mj1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do jedenastu, która określa czas i pionową osią Y od zera do dwustu pięćdziesięciu z podziałką co 50, która określa ilość leku. W układzie narysowano wykres funkcji X(t), który przedstawia zależność ilości leku od czasu jego przebywania w organizmie. Ilość leku maleje wraz z upływem czasu. Wykres funkcji zaczyna się w punkcie (0, 250), a następnie maleje po łuku przechodząc przez punkty (1, 150), (2, 90), (3, 54). Nie widać końca wykresu w układzie. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po czasie dłuższym niż $4$ godziny w organizmie pacjenta pozostanie mniej niż $32, 4 g$ leku.

Przykład 6

Jeżeli umieścimy przedmiot w stałej temperaturze otoczenia, niższej od jego temperatury, to przedmiot ten będzie stygł aż do osiągnięcia temperatury otoczenia. Temperaturę po określonym czasie obliczymy za pomocą wzoru

T (t) = T_{0} + (T_{p} - T_{0}) a^{- t}

$T_{0}$ to temperatura otoczenia, $T_{p}$ to temperatura początkowa przedmiotu, $a$ jest stałą charakterystyczną dla danego przedmiotu.

R1AO7mqPjrUt41

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią t określającą czas i pionową osią T określającą temperaturę. W układzie narysowano wykres funkcji T(t), która przedstawia zależność temperatury stygnięcia przedmiotu od czasu stygnięcia. Temperatura maleje wraz z upływem czasu. W układzie zaznaczono również przerywaną linią poziomą prostą, na wysokości wartości T indeks dolny 0. Wykres rozpoczyna się w punkcie (0, T indeks dolny p) i maleje po łuku zbliżając się na początku szybko, a następnie coraz wolniej do przerywanej prostej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zagotowaliśmy wodę do temperatury $100 ° C$ , a następnie umieściliśmy w pomieszczeniu o temperaturze $25 ° C$ . Po $10$ minutach zmierzyliśmy temperaturę wody i okazało się, że wynosi ona $70 ° C$ . Jaką temperaturę będzie miała woda po następnych $10$ minutach?

Temperaturę wody po $10$ minutach opisuje wzór:

T (10) = 25 ° + (100 ° - 25 °) \cdot a^{- 10} = 70 °

stąd:

75 ° \cdot a^{- 10} = 45 °

Otrzymujemy więc $a^{- 10} = 0, 6$ . Stąd $a^{10} = \frac{1}{0, 6} \approx 1, 67$ , a więc $a = \sqrt[10]{1, 67} \approx 1, 053$ .
Po następnych $10$ minutach, czyli po $20$ minutach od zagotowania wody jej temperatura będzie równa:

T (20) \approx 25 ° + 75 ° \cdot 1, 053^{- 20} =

= 25 ° + 75 ° \cdot 0, 356 =

= 25 ° + 27 ° = 52 °

Przykład 7

Przykładem zastosowania funkcji wykładniczej w medycynie jest zanik monochromatycznej wiązki promieniowania rentgenowskiego przy przechodzeniu przez materię. W tym przypadku natężenie promieniowania $I$ przy przejściu przez ciało grubości $x$ dane jest wzorem:

I (x) = I_{0} e^{- k x}

gdzie

$I_{0}$ – natężenie wychodzące z lampy rentgenowskiej,

$k$ – liniowy współczynnik pochłaniania promieniowania w materii,

$x$ – grubość warstwy pochłaniającej.

$e$ – liczba niewymierna, $e \approx 2, 718$ .

Jednostką liniowego współczynnika pochłaniania (absorpcji) jest $[\frac{1}{m}]$ .

Ćwiczenie 1

RxViytvfe6WGB

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po każdej godzinie liczba bakterii rośnie $1, 2$ raza, zatem

$L (3) = 500 \cdot {(1, 2)}^{3} = 864$ .

Ćwiczenie 2

RpWusXUOM6YBg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczbę bakterii po upływie $2$ godzin policzymy za pomocą wzoru $L (2) = L (0) \cdot a^{2}$ , stąd po podstawieniu danych otrzymujemy

845 = 500 \cdot a^{2}

Zatem $a^{2} = 1, 69$ , stąd $a = 1, 3$ lub $a = - 1, 3$ . Interesuje nas wartość dodatnia. Zatem w każdej godzinie liczba bakterii w tej kolonii zwiększa się o $30 %$ .

Ćwiczenie 3

R1IVgfozkyO7t

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy $L (5) = L (0) \cdot a^{5}$ , czyli $1800 = 1000 \cdot a^{5}$ , stąd $a^{5} = \frac{1800}{1000} = 1, 8$ .

Otrzymaliśmy wartość stałej $a = \sqrt[5]{1, 8} \approx 1, 12$ .

Zatem $L (20) = 1000 \cdot 1, 12^{20} \approx 1000 \cdot 9, 65 = 9650 \approx 10000$ .

Ćwiczenie 4

RTaGalJeRTLoQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy $L (t) = L_{0} \cdot {(1, 25)}^{t}$ . Liczba bakterii ma się podwoić, czyli $L_{0} \cdot {(1, 25)}^{t} ⩾ 2 L_{0}$ . Stąd ${(1, 25)}^{t} ⩾ 2$ . Zbadajmy ciąg kolejnych potęg całkowitych dodatnich liczby $1, 25 = \frac{5}{4}$ . Ciąg ten jest ciągiem geometrycznym $\frac{5}{4}$ , $\frac{25}{16}$ , $\frac{125}{64}$ , $\frac{625}{256}$ , $\dots$ . Ciąg jest rosnący, jeżeli więc znajdziemy liczbę, dla której wyraz ciągu będzie większy od $2$ , to wszystkie następne też będą większe od $2$ . Zauważmy, że czwarty wyraz tego ciągu $\frac{625}{256}$ jest już większy od $2$ , czyli w czwartej godzinie liczba bakterii podwoi się.

Ćwiczenie 5

RObchiQggczDc

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Mamy $L (t) = 1400 \cdot {(1, 1)}^{t} > 2000$ , stąd ${(1, 1)}^{t} > \frac{10}{7} \approx 1, 43$ . Ciąg kolejnych naturalnych potęg liczby $1, 1$ jest ciągiem rosnącym, czyli szukamy tej liczby, dla której wyraz ciągu będzie większy od $1, 43$ . Rozważany ciąg wygląda następująco: $1, 1$ ; $1, 21$ ; $1, 331$ ; $1, 4641$ itd. Po czterech latach liczba ludności w tej miejscowości przekroczy $2000$ .

Ćwiczenie 6

Rpi1OvvB7z1Yl

W pewnej kolonii bakterii po

4

godzinach od rozpoczęcia doświadczenia liczba organizmów była równa

7500

, a po

6

godzinach była już równa

37500

. Wiedząc, że liczba bakterii przyrastała w sposób wykładniczy oblicz, ile bakterii było na początku doświadczenia oraz ile po

12

godzinach. Uzupełnij poniższe zdanie, wpisując w luki odpowiednie liczby. Na początku było Tu uzupełnij bakterii, natomiast po

12

godzinach Tu uzupełnij.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczbę bakterii po $4$ godzinach od rozpoczęcia doświadczenia obliczymy ze wzoru $L (4) = L (0) \cdot a^{4} = 7500$ , a liczbę bakterii po $6$ godzinach ze wzoru

L (6) = L (0) \cdot a^{6} = 37500

Zauważmy, że iloraz

\frac{L (6)}{L (4)} = a^{2} = \frac{37500}{7500} = 5

Stąd $a = \sqrt{5}$ , gdyż $a$ jest liczbą stałą większą od zera.

Mamy więc $L (4) = L (0) \cdot {(\sqrt{5})}^{4} = 7500$ , stąd

L (0) = \frac{7500}{{(\sqrt{5})}^{4}} = \frac{7500}{25} = 300

Liczba bakterii po $12$ godzinach jest równa

L (12) = 300 \cdot {(\sqrt{5})}^{12} = 300 \cdot 5^{6} = 4687500

Ćwiczenie 7

R1BLeukKsUqyJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

sposób $I$

Uzupełniamy tabelę.

Okres (w milionach lat)	Ilość uranu (w gramach)
$713$	$0, 5$
$1426$	$0, 25$
$2139$	$0, 125$

Po $2139$ milionach lat pozostanie nie więcej niż $0, 125 g$ uranu w tej próbce.

sposób $II$

Rozwiązujemy nierówność $m (t) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{T}} = 1 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{713}} ⩽ 0, 125$ , stąd ${(\frac{1}{2})}^{\frac{t}{713}} ⩽ {(\frac{1}{2})}^{3}$ . Ponieważ funkcja $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ jest funkcją malejącą, to $\frac{t}{713} ⩾ 3$ , stąd $t ⩾ 2139$ .

Ćwiczenie 8

RyrVwCKdhmeIJ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na masę pierwiastka promieniotwórczego, jaki pozostał w próbce po czasie $t$ , mamy

m (15) = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}} = 0, 25

$0, 25 = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ , stąd otrzymujemy ${(\frac{1}{2})}^{2} = 2 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ . Po podzieleniu przez $2$ mamy ${(\frac{1}{2})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{\frac{15}{T}}$ , a ponieważ podstawy są takie same, a funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc $3 = \frac{15}{T}$ . Stąd odczytujemy, że okres połowicznego rozpadu bizmutu $210$ wynosi $T = 5$ dni.

Ćwiczenie 9

RkJMdlA51PT6Z

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ okres połowicznego rozpadu podany jest w miesiącach, więc trzy lata zamieniamy na miesiące i otrzymujemy $T = 3 \cdot 12 = 36$ . Po tym okresie masa próbki jest równa $m (36) = m (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{36}{6}} = 0, 05$ . Stąd obliczamy, że początkowa masa próbki była równa $m (0) = 0, 05 \cdot 2^{6} = \frac{1}{20} \cdot 64 = 3, 2$ .

Ćwiczenie 10

Rl1Kl0JLiVQ7Y

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Po $20$ latach otrzymujemy masę równą $m (20) = 40 \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{20}{T}} = 2, 5 = \frac{5}{2}$ , stąd ${(\frac{1}{2})}^{\frac{20}{T}} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ . Funkcja wykładnicza dla różnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem równanie to jest równoważne równaniu $\frac{20}{T} = 4$ , stąd $T = 5$ .

Ćwiczenie 11

RaZMHxxa9Oar1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli zawartość węgla $C - 14$ zmniejszyła się o $75 %$ , to mamy $25 %$ początkowej ilości węgla $C - 14$ . Po pierwszych $5730$ latach pozostanie $50 %$ , po następnych $5730$ latach znów połowa ulegnie rozpadowi, czyli zostanie $25 %$ początkowej ilości. Minie więc $11460$ lat.

Ćwiczenie 12

Rpy62qv50Hqut

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zawartość węgla $C - 14$ jest szesnastokrotnie mniejsza niż w organizmach żywych. Ponieważ $\frac{1}{16} = {(\frac{1}{2})}^{4}$ , zatem nastąpiły $4$ okresy połowicznego rozpadu izotopu węgla, co odpowiada $22920$ latom.

Ćwiczenie 13

Rf8lBFZ9mHNz6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystamy ze wzoru na ilość atomów węgla $C - 14$ , która pozostanie po $t$ latach

N (15000) = N (0) \cdot {(\frac{1}{2})}^{\frac{15000}{5730}}

Stąd stosunek ilości atomów dziś i $15 000$ lat temu jest równy

\frac{N (15000)}{N (0)} \approx {(\frac{1}{2})}^{2, 62} \approx 0, 16

Zatem pozostanie około $16 %$ pierwotnej ilości węgla $C - 14$ .

Ćwiczenie 14

Rj6X8wKsPC1VC

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Temperaturę płynu po $15$ minutach opisuje wzór

T (15) = 25 ° C + (80 ° C - 25 ° C) \cdot a^{- 15} = 60 ° C

Wynika z niego, że $55 ° C \cdot a^{- 15} = 35 ° C$ , stąd $a^{- 15} = \frac{35}{55} = \frac{7}{11}$ . Mamy więc $a^{15} = \frac{11}{7} \approx 1, 57$ , stąd

a \approx \sqrt[15]{1, 57} \approx 1, 03

Po godzinie od podgrzania płyn miał temperaturę

T (60) \approx 25 ° C + (80 ° C - 25 ° C) \cdot {(1, 03)}^{- 60} =

= 25 ° C + 55 ° C \cdot 0, 1697 = 25 ° C + 9, 33 ° C = 34, 33 ° C