Objętość walca - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Wzór na objętość walca

Przykład 1

Wyobraź sobie, że pojemnik w kształcie walca o wysokości $H > 1$ wypełniamy jednakowymi krążkami o wysokości $1$ i promieniu podstawy równym promieniowi podstawy pojemnika.

Ile takich krążków zmieści się w pojemniku?

Jeśli przyjmiemy, że objętość takiego krążka jest równa $V$ , to ile wynosi objętość pojemnika?

Jeśli teraz zwiększymy promień podstawy pojemnika i analogicznie promień podstawy krążków, to czy objętość pojemnika zmieni się?

Objętość walca zależy od jego wysokości i pola podstawy. Obliczamy ją podobnie jak objętość graniastosłupa.

Ważne!

Objętość $V$ walca o promieniu podstawy $r$ jest równa iloczynowi pola podstawy $P_{p}$ walca przez jego wysokość $H$ .

R1DnZ822vRcyA1

Rysunek walca, którego podstawą jest koło o promieniu r, o wysokości H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

V = P_{p} \cdot H

V = π r^{2} \cdot H

Przykład 2

Ile litrów wody mieści się w pojemniku o wysokości $2, 5 m$ i średnicy podstawy $2, 8 m$ ? Przyjmij $π = \frac{22}{7}$ .

R1OcdpRc7JXT81

Rysunek walca o wysokości równej 2,5 m i średnicy podstawy 2,8 m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Promień podstawy pojemnika wynosi $2, 8 m : 2 = 1, 4 m$ . Obliczamy objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

V = \frac{22}{7} \cdot {(1,4)}^{2} \cdot 2,5

V = \frac{22}{7} \cdot \frac{14}{10} \cdot \frac{14}{10} \cdot \frac{25}{10}

V = \frac{22 \cdot 10 \cdot 7}{1 \cdot 10 \cdot 10} = \frac{77}{5}

V = 15, 4 m^{3}

Wiadomo, że $1 m^{3} = 1000 l$ , stąd $15, 4 m^{3}$ to $15, 4 \cdot 1000 l = 15400 l$ .

W pojemniku mieści się $15 400 l$ wody.

Przykład 3

Objętość walca przedstawionego na rysunku jest równa $89, 2 {cm}^{3}$ .

RDsk6XbR3jk1u1

Rysunek walca o wysokości równej 7,1 cm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz promień podstawy tego walca. Przyjmij $π = 3 \frac{10}{71}$ .

Korzystamy ze wzoru na objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

89, 2 = 3 \frac{10}{71} \cdot r^{2} \cdot 7, 1

\frac{892}{10} = \frac{223}{71} \cdot \frac{71}{10} \cdot r^{2}

892 = 223 r^{2}

r^{2} = 4

r = 2

r > 0

r = 2 cm

Promień podstawy walca wynosi $2 cm$ .

Obliczanie objętości walca

Przykład 4

R1ciChtfETRvi1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 5

Oblicz objętość walca, którego siatkę przedstawia rysunek. Przyjmij $π = 3$ .

R6jZGD7whWcjm1

Rysunek siatki walca, która składa się z prostokąta o wymiarach 6 na 15 oraz z dwóch kół. Koła są styczne do dłuższych boków prostokąta w połowie ich długości. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyźnie jest prostokątem, którego długość jest równa obwodowi koła, będącego podstawą walca.

Obliczamy promień $r$ tego koła.

2 π r = 15

2 \cdot 3 \cdot r = 15

r = 2, 5

Wysokość $H$ walca jest równa szerokości prostokąta, czyli $H = 6$ .

R117CpRRVBSAc1

Rysunek siatki walca, w której prostokąt ma wymiary 6 na 15 oraz walca o wysokości 6 i promieniu podstawy 2,5. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczamy objętość walca.

V = π r^{2} \cdot H

V = 3 \cdot {(2, 5)}^{2} \cdot 6 = 112, 5

Objętość walca jest równa $112, 5$ .

Przykład 6

Element przedstawiony na rysunku wykonany jest ze stali o gęstości $7, 5 \frac{kg}{{dm}^{3}}$ .

R1SHAwnrL8AgY1

Rysunek sześcianu o krawędzi długości 4 dm. W środku sześcianu wycięto otwór w postaci walca, o średnicy podstawy równej 2 dm. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz masę elementu.

Element jest w kształcie sześciennej kostki z wydrążonym otworem w kształcie walca.

Obliczamy najpierw objętość $V$ elementu. Jest ona równa różnicy objętości sześcianu i objętości walca o wysokości $4 dm$ i promieniu podstawy $2 dm : 2 = 1 dm$ .

V = 4^{3} - π \cdot 1^{2} \cdot 4

V = (64 - 4 π) {dm}^{3}

Masa $m$ ciała jest równa iloczynowi objętości tego ciała przez jego gęstość.

m = V \cdot 7, 5

m \approx (64 - 4 \cdot 3, 14) \cdot 7, 5 = 385, 8

m \approx 385, 8 kg

Masa elementu wynosi około $385, 8 kg$ .

Przykład 7

Przekrój osiowy walca jest prostokątem, w którym jeden z boków, równy wysokości walca, jest dwukrotnie dłuższy od drugiego.

Pole powierzchni walca jest równe $250 π {cm}^{2}$ . Oblicz objętość walca.

R9q0u6vMUp6wf1

Rysunek walca o wysokości równej 4x i średnicy podstawy 2x. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oznaczmy:

$x$ – promień podstawy walca w $cm,$
$4 x$ - wysokość walca w $cm$ , gdzie $x > 0$ .

Wtedy pole $P$ powierzchni walca jest równe;

P = 2 π x^{2} + 2 π x \cdot 4 x

P = 2 π x^{2} + 8 π x^{2} = 10 π x^{2}

Jednocześnie wiemy, że pole to jest równe $250 π {cm}^{2}$ .

10 π x^{2} = 250 π

x^{2} = 25

x = 5 cm

4 x = 20 cm

Promień podstawy walca jest więc równy $5 cm$ , a jego wysokość $20 cm$ . Obliczamy objętość walca.

V = π \cdot 5^{2} \cdot 20 = 500 π

V = 500 π {cm}^{3}

Objętość walca jest równa $500 π {cm}^{3}$ .

Ćwiczenie 1

Kartkę papieru w kształcie prostokąta o wymiarach $a cm$ na $b cm$ można zwinąć na dwa sposoby, uzyskując za każdym razem powierzchnię boczną walca. Jeden z nich będzie niższy i grubszy, drugi wyższy i chudszy. Który z tych walców ma większą objętość?

Poniższy rysunek ilustruje w przybliżeniu kartkę papieru i dwa uzyskane walce.

Przyjmując za $a$ dłuższy bok kartki i $b$ krótszy bok kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

R1e47xSjQtp4m1

Rysunki prostokąta o bokach a i b oraz dwóch walców. Pierwszy walec ma wysokość równą a i średnicę podstawy b =2 pi r. Drugi walec ma wysokość równą b i średnicę podstawy a = 2 pi r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNBSj2zG1anLO

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjmując za $a$ dłuższy bok kartki i $b$ krótszy bok kartki, wyznaczmy najpierw promień podstawy każdego z walców.

RZZs7MbCd4ox3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RLeDv4T83lvMF

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

W przypadku, gdy kartkę zwinięto tak, że wysokością walca jest $a$ , wówczas:
$2 π r = b$ , skąd $r = \frac{b}{2 π}$ .

Podobnie, gdy kartkę zwiniemy tak, by wysokością walca było $b$ , wówczas:
$2 π R = a$ , skąd $R = \frac{a}{2 π}$ .

Objętość walca w pierwszym przypadku jest równa $V_{w a l c a 1} = π \cdot {(\frac{b}{2 π})}^{2} \cdot a = (\frac{a b}{4 π}) \cdot b$ ,

zaś w drugim przypadku jest równa
$V_{w a l c a 2} = π \cdot {(\frac{a}{2 π})}^{2} \cdot b = (\frac{a b}{4 π}) \cdot a$ .

Ponieważ w obu wzorach występuje ten sam czynnik $(\frac{a b}{4})$ , więc o wielkości objętości zadecyduje wielkość $a$ lub $b$ .

R18fXsVHxEvzj1

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Zapoznaj się z poniższą tabelą przedstawiającą parametry techniczne butli gazowej.

Wysokość zewnętrzna bez zaworu	Masa butli	Średnica zewnętrzna	Średnica wewnętrzna
$590 mm$	$10, 2 kg$	$300 mm$	$260 mm$

R1ITWkybR0P1s

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RghYnGasK7GY62

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rm3yOWnctj9W22

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RJSPPX6TPyXXJ2

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1C8YTubwfUWl2

Ćwiczenie 7

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RZyJaaJk2qC0O2

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11Ppw0lz7GZK2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RDdGEcTf6ihSA2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R9r6faOfI9jQr2

Ćwiczenie 11

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RFqCSo18WCumt2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1MDjv7xrtTjR2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1FcHgAzPkUJi3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMrToQKgHFupO3

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.