Materiał ten poświęcony jest trójkątom podobnym. Poznasz przykłady trójkątów podobnych i cechy podobieństwa trójkątów.

Przykład 1
R1JzvFlv7GXIm1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Popatrz na trójkąty przedstawione na rysunku. Drugi z nich powstał przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC dwa razy. Trzeci przez powiększenie długości każdego boku trójkąta ABC trzy razy.

Odpowiadające sobie kąty mają jednakowe miary, a odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Takie trójkąty nazywamy podobnymi.

Figury podobne to takie, które mają jednakowy kształt, a mogą się różnić wielkością. Przykładami figur podobnych są kopie tego samego obrazka, które powiększamy lub pomniejszamy.

Żeby stwierdzić, czy dwa trójkąty są podobne, korzystamy z cech podobieństwa trójkątów.

Cechy podobieństwa trójkątów1
Twierdzenie: Cechy podobieństwa trójkątów
  • Cecha bok‑bok‑bok (bbb)

Jeżeli każdy bok trójkąta A'B'C' jest proporcjonalny do odpowiedniego boku trójkąta ABC, to trójkąty te są podobne.

RwVBZy5BqIql61
Aplet pokazuje trójkąt A B C o długościach boków 4, 5, 6 oraz trójkąt A prim B prim C prim, w którym można zmieniać długości boków zachowując ich proporcję. Trójkąty są nadal podobne i stosunek odpowiednich boków obu trójkątów pozostaje zawsze taki sam. Jest to cecha bok, bok, bok. Jeżeli trójkąt ABC ma bok AB długości 4, bok BC długości 5 i bok AC długości 6, to na przykład trójkąt A prim B prim C prim może mieć bok A prim B prim długości 4,15, bok A prim C prim długości 6,23 i bok B prim C prim długości 5,19. Wtedy stosunek długości boków AB do A prim B prim, AC do A prim C prim i BC do B prim C prim jest równy 1,04 .
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1Sy87wfGgoLa1
Animacja przedstawia cechę kąt, kąt, kąt podobieństwa trójkątów.
R1BJXN918SrXZ1
Animacja przedstawia cechę bok, bok, bok podobieństwa trójkątów.
R1I2tHZDTouSt1
Animacja przedstawia cechę bok, kąt, bok podobieństwa trójkątów.
Skala podobieństwa trójkątów
Twierdzenie: Skala podobieństwa trójkątów

Jeżeli trójkąty A'B'C' oraz ABC są podobne, przy czym wierzchołki A, B, C odpowiadają wierzchołkom odpowiednio A', B', C' to

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA

oraz

A=A', B=B', C=C'.

Skalą k podobieństwa trójkątów nazywamy iloraz długości odpowiadających sobie boków w trójkątach podobnych

A'B'AB=B'C'BC=C'A'CA=k.
RKv7O7PntUTYA1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.