Energia kinetyczna. Rozwiązywanie zadań

• energia jako wielkości fizyczna opisująca stan ciała lub układu ciał, wyrażająca jego zdolność do wykonania pracy;

• energia mechaniczna jako suma energii potencjalnej i kinetycznej;

• jednostka energii;

• definicja energii potencjalnej.

Ich opracowanie znajdziesz materiale Energia mechaniczna i jej rodzajeP5UySYOVvEnergia mechaniczna i jej rodzaje.

– jedna z form energii mechanicznej, którą posiadają ciała będące w ruchu. Energia kinetyczna zależy od masy ciała oraz wartości jego prędkości. Energia ta równa jest pracy, jaką trzeba wykonać, aby ciało o masie $m$ rozpędzić do prędkości $v$ (lub zatrzymać ciało będące w ruchu). Jednostką energii kinetycznej, tak jak wszystkich innych form energii, jest dżul.
Wartość energii kinetycznej ciała jest równa iloczynowi masy ciała i kwadratu jego prędkości podzielonemu przez dwa:

Oblicz energię kinetyczną wózka widłowego o masie $300\,\mathrm{kg}$, poruszającego się z prędkością $5\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$.

Dane:
$m_1=300\,\mathrm{kg}$ 
$v_1=5\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$

Szukane:
$E_{\mathrm{kin,1}}=\,?$

Rozwiązanie:
Energię kinetyczną obliczamy korzystając z wcześniej zapisanego wzoru:
$E_{\mathrm{kin,1}}={\large\frac{1}{2}}\cdot m_1\cdot v_1^2={\large\frac{1}{2}}\cdot300\,\mathrm{kg}\cdot(5\,\mathrm{\large\frac{m}{s}})^2=150\cdot25\,\mathrm{\large\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}=3750\,\mathrm{J}$.

Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wynosi $3750$ dżuli.

Jak i ile razy zmieni się energia kinetyczna wózka opisanego w przykładzie poprzednim, gdy po załadowaniu towarami jego masa wzrośnie dwukrotnie, a prędkość pozostanie niezmieniona?

Dane:
$m_1=300\,\mathrm{kg}$ 
$m_2=2\cdot m_1=2\cdot300\,\mathrm{kg}=600\,\mathrm{kg}$ 
$v_2=v_1=5\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$

Szukane:
${\large\frac{ E_{\mathrm{kin,2}}}{ E_{\mathrm{kin,1}}}}=\,?$

Rozwiązanie:

Sposób $1$
Obliczamy nową wartość energii kinetycznej wózka:
$E_{\mathrm{kin,2}}={\large\frac{1}{2}}\cdot m_2\cdot v_2^2={\large\frac{1}{2}}\cdot600\,\mathrm{kg}\cdot(5\,\mathrm{\large\frac{m}{s}})^2=300\cdot25\,\mathrm{\large\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}=7500\,\mathrm{J}$
i dzielimy ją przez wcześniejszą wartość energii kinetycznej:
${\large\frac{ E_{\mathrm{kin,2}}}{ E_{\mathrm{kin,1}}}}=\mathrm{\large\frac{7500\,J}{3750\,J}}=2$.

Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka wzrosła dwukrotnie.

Sposób $2$
Zapisujemy wzór na energię kinetyczną wózka o dwukrotnie większej masie:
$E_{\mathrm{kin,2}}={\large\frac{1}{2}}\cdot m_2\cdot v_2^2={\large\frac{1}{2}}\cdot2\cdot m_1\cdot v_1^2=2\cdot E_{\mathrm{kin,1}}$
(skorzystaliśmy tu z zasady przemienności mnożenia).

Odpowiedź:
Energia kinetyczna wózka załadowanego towarami jest dwa razy większa niż energia kinetyczna wózka pustego.

Samochód o masie $2000\,\mathrm{kg}$ jechał początkowo z prędkością o wartości $10\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$, następnie przyspieszył do $20\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Jak i ile razy zmieniła się energia kinetyczna samochodu?

Dane:
$m=2000\,\mathrm{kg}$ 
$v_1=10\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$ 
$v_2=20\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}=2\cdot v_1$

Szukane:
${\large\frac{ E_{\mathrm{kin,2}}}{ E_{\mathrm{kin,1}}}}=\,?$

Rozwiązanie:

Sposób $1$
Obliczamy wartość początkowej energii kinetycznej samochodu oraz jej wartość po zwiększeniu prędkości:
$E_{\mathrm{kin,1}}={\large\frac{1}{2}}\cdot m\cdot v_1^2={\large\frac{1}{2}}\cdot2000\,\mathrm{kg}\cdot(10\,\mathrm{\large\frac{m}{s}})^2=1000\cdot100\,\mathrm{\large\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}=100\,\mathrm{kJ}$,
$E_{\mathrm{kin,2}}={\large\frac{1}{2}}\cdot m\cdot v_2^2={\large\frac{1}{2}}\cdot2000\,\mathrm{kg}\cdot(20\,\mathrm{\large\frac{m}{s}})^2=1000\cdot400\,\mathrm{\large\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}=400\,\mathrm{kJ}$,
a następnie dzielimy te wartości przez siebie:
${\large\frac{ E_{\mathrm{kin,2}}}{ E_{\mathrm{kin,1}}}}=\mathrm{\large\frac{400\,kJ}{100\,kJ}}=4$.

Odpowiedź:
Gdy samochód zwiększył swą prędkość dwukrotnie, jego energia kinetyczna wzrosła czterokrotnie.

Sposób $2$
Obliczamy iloraz energii kinetycznych po przyspieszeniu i przed przyspieszeniem:
${\large\frac{ E_{\mathrm{kin,2}}}{ E_{\mathrm{kin,1}}}}={\large\frac{{\large\frac{1}{2}}\cdot m\cdot v_2^2}{{\large\frac{1}{2}}\cdot m\cdot v_1^2}}={\large\frac{(2\cdot v_1)^2}{v_1^2}}={\large\frac{4\cdot v_1^2}{v_1^2}}=4$.

Odpowiedź:
Po dwukrotnym wzroście prędkości energia kinetyczna samochodu wzrosła czterokrotnie.

Cząsteczki tlenu i wodoru mają takie same energie kinetyczne. Masa cząsteczki tlenu jest $16$ razy większa od masy cząsteczki wodoru. Która z tych cząsteczek porusza się szybciej i ile razy?

Rozwiązanie:
$m_{\mathrm{tlenu}}=16\cdot m_{\mathrm{wodoru}}$, 
$E_{\mathrm{kin,tlenu}}=E_{\mathrm{kin,wodoru}}$.
Taka sama wartość energii kinetycznej nie oznacza takiej samej prędkości, bo energia kinetyczna zależy też od masy. Skoro masa cząsteczki tlenu jest większa, to tę samą wartość energii kinetycznej cząsteczka ta osiągnie przy mniejszej prędkości. Policzmy:
$E_{\mathrm{kin,tlenu}}=E_{\mathrm{kin,wodoru}}$,
${\large\frac{1}{2}}\cdot m_{\mathrm{tlenu}}\cdot v_{\mathrm{tlenu}}^2={\large\frac{1}{2}}\cdot m_{\mathrm{wodoru}}\cdot v_{\mathrm{wodoru}}^2$,
$16\cdot m_{\mathrm{wodoru}}\cdot v_{\mathrm{tlenu}}^2=m_{\mathrm{wodoru}}\cdot v_{\mathrm{wodoru}}^2$,
$16\cdot v_{\mathrm{tlenu}}^2=v_{\mathrm{wodoru}}^2$,
$4\cdot v_{\mathrm{tlenu}}=v_{\mathrm{wodoru}}$.

Odpowiedź:
Większą prędkość ma cząsteczka wodoru. Prędkość ta jest $4$ razy większa od prędkości cząsteczki tlenu.

Marek i Krzysiek siedzieli w autokarze, którym z całą klasą wyjeżdżali na wycieczkę. Piotrek – ich kolega – stał na parkingu i patrzył z zazdrością na odjeżdżających. Na najbliższej lekcji fizyki nauczyciel polecił Markowi i Piotrkowi, aby obliczyli energię kinetyczną Krzyśka podczas jazdy autobusu.
Marek stwierdził, że skoro Krzysiek siedzi obok niego, to jego prędkość jest równa zero, a więc również energia kinetyczna kolegi ma wartość zero, i taką odpowiedź wysłał nauczycielowi.
Piotrek zaś policzył: połowa masy Krzyśka to $25\,\mathrm{kg}$, szybkość Krzyśka jest taka jak całego autokaru, czyli około $10$ metrów na sekundę. $10$ do kwadratu wynosi $100$. Wynik: energia kinetyczna Krzyśka to $2500\,\mathrm{J}$ i takiej udzielił odpowiedzi.
Który z chłopców podał prawidłowy wynik zadania?

Rozwiązanie:
Obaj udzielili poprawnej odpowiedzi. Każdy z nich liczył energię kinetyczną względem siebie (a więc w układach odniesienia związanych z obserwatorem), a ponieważ prędkość ciała (w tym wypadku Krzyśka) zależy od układu odniesienia, to tak samo jest w przypadku wartości energii kinetycznej.

Pocisk o masie $5\,\mathrm{g}$ przed uderzeniem w drewnianą belkę poruszał się z prędkością o wartości $500\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$. Po uderzeniu w belkę zagłębił się w drewno na głębokość $20\,\mathrm{cm}$.

1. Oblicz energię kinetyczną pocisku przed uderzeniem w przeszkodę.

2. Oblicz pracę, jaką wykonała siła oporu podczas ruchu pocisku w drewnie.

3. Oblicz średnią wartość siły oporu (czyli zakładamy, że ta wartość jest stała).

Dane:
$m=5\,\mathrm{g}=0,005\,\mathrm{kg}$
$v=500\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}$
$s=20\,\mathrm{cm}=0,2\,\mathrm{m}$

Rozwiązanie:

1. $E_\mathrm{kin}={\large\frac{1}{2}}\cdot m\cdot v^2={\large\frac{1}{2}}\cdot 0,005\,\mathrm{kg}\cdot\left(500\,\mathrm{\large\frac{m}{s}}\right)^2=0,0025\cdot250000\,\mathrm{\large\frac{kg\cdot m^2}{s^2}}=625\,\mathrm{J}$.

2. Praca wykonana przez siły oporu ma wartość równą zmianie energii kinetycznej pocisku, czyli: $W_\mathrm{oporu}=625\,\mathrm{J}$.

3. Korzystamy ze wzoru na pracę:
   $W_\mathrm{oporu}=F_\mathrm{oporu}\cdot s$,
   $F_\mathrm{oporu}={\large\frac{W_\mathrm{oporu}}{s}}=\mathrm{\large\frac{625\, J}{0,2\, m}}=3125\,\mathrm{N}$.

Odpowiedź:
Energia kinetyczna pocisku wynosiła $625\,\mathrm{J}$. Siła oporu zmniejszyła ją do zera, wykonując pracę o takiej właśnie wartości. Aby zatrzymać ten pocisk na drodze $20\,\mathrm{cm}$, siła ta musiała mieć średnią wartość $3125\,\mathrm{N}$$.$