Obliczanie pól wielokątów

Zapoznaj się z poniższą mapą myśli, która zawiera wzory potrzebne do wyznaczenia pól różnych wielokątów. Będą one przydatne w całym materiale.

RjK3rwDL2blE9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pola wielokątów:

Wzór na pole trójkąta: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$ .
Wzór na pole równoległoboku: $P = a \cdot h$ .
Wzory na pole rombu: $P = a \cdot h$ lub $P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ .
Wzór na pole kwadratu: $P = a^{2}$ .
Wzór na pole prostokąta: $P = a b$ .
Wzór na pole trapezu: $P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ .

Przeanalizuj poniższą animację i opisany poniżej przykład.

R1C9Ntg4alzuI1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przystępując do remontu domu czy mieszkania, trzeba poświęcić trochę czasu na ułożenie planu pracy. To bardzo ważny element – dzięki niemu unikniemy błędów i skrócimy czas remontu. Najpierw dokładnie ustalamy wymiary pomieszczeń, następnie wykonujemy potrzebne obliczenia. Na przykład obliczamy pole powierzchni podłogi lub ścian. Możemy wtedy skorzystać z poznanych wzorów.

RSYfXo9LksrsC1

Plan mieszkania w kształcie nieregularnego piętnastokąta. Mieszkanie składa się z siedmiu pomieszczeń i dwóch tarasów w kształcie prostokąta. Poszczególne pomieszczenia w mieszkaniu przypominają mniej lub bardziej znane wielokąty. Jedna z sypialni oraz jedna z łazienek mają kształt prostokąta. Druga sypialnie ma kształt sześciokąta podobnie jak druga łazienka oraz salon. Przedpokój jest siedmiokątem. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Notatnik

RtyKNyKr4ZD6v

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rq3QD5iDkmxO31

Ćwiczenie 1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RMQGbBmk4xcMQ2

Ćwiczenie 2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

Mieszkanie pana Zbyszka ma wysokość $2, 70 m$ . Pan Zbyszek zamierza pomalować dwukrotnie na zielono te ściany jednej z sypialni, które nie mają otworów drzwiowych i okiennych.

R1Dc4V8GrxaAm1

Rysunek podłogi mieszkania w kształcie figury złożonej z trapezu prostokątnego o podstawach 1,4 m i 2,6 m oraz wysokości 2,5 m i prostokąta o bokach 2,1 m i 2,6 m. Rysunek podłogi mieszkania z oznaczonymi wymiarami ścian do malowania 2,1 m, 2,1 m i 2,5 m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwsza ściana bez otworów ma długości $3, 60 m$ , a druga ściana bez otworów ma długość $2, 10 m$ .

Litr farby, który wystarcza na pomalowanie $15 m^{2}$ powierzchni, kosztuje $45, 20 zł$ .

RFNTqX50zEFmI

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Oblicz pole narysowanej figury.

RofexAt9xKopY1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.
R1JpWZY16s5rd1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RA5zvfbzLweUH

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 5

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R4f06HaULI9JM1

RN88OWMS1vB3v

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RmM8amCXZnkZX1

RD3rmkAYNt5WK

Prostokąt o polu

18 {cm}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 cm \times 32 cm

, 2.

1 cm \times 18 cm

, 3.

4 cm \times 8 cm

, 4.

1 cm \times 48 cm

, 5.

3 cm \times 16 cm

, 6.

2 cm \times 24 cm

, 7.

6 cm \times 8 cm

, 8.

3 cm \times 6 cm

, 9.

2 cm \times 16 cm

, 10.

2 cm \times 9 cm

Prostokąt o polu

48 {cm}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 cm \times 32 cm

, 2.

1 cm \times 18 cm

, 3.

4 cm \times 8 cm

, 4.

1 cm \times 48 cm

, 5.

3 cm \times 16 cm

, 6.

2 cm \times 24 cm

, 7.

6 cm \times 8 cm

, 8.

3 cm \times 6 cm

, 9.

2 cm \times 16 cm

, 10.

2 cm \times 9 cm

Prostokąt o polu

32 {cm}^{2}

Możliwe odpowiedzi: 1.

1 cm \times 32 cm

, 2.

1 cm \times 18 cm

, 3.

4 cm \times 8 cm

, 4.

1 cm \times 48 cm

, 5.

3 cm \times 16 cm

, 6.

2 cm \times 24 cm

, 7.

6 cm \times 8 cm

, 8.

3 cm \times 6 cm

, 9.

2 cm \times 16 cm

, 10.

2 cm \times 9 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RQQNAmdHob4BH1

R1Fni1xuIfpBr

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

RokBbYLu6EODK1

R11yFN2wFTSOG

Wstaw odpowiednie liczby w luki. Prostokąt o polu

56 {cm}^{2}

ma boki długości

7 cm

oraz 1.

4 cm

, 2.

11 cm

, 3.

6 cm

, 4.

28 cm

, 5.

7 cm

, 6.

5 cm

, 7.

12 cm

, 8.

8 cm

.
Prostokąt o polu

72 {cm}^{2}

ma boki długości

6 cm

oraz 1.

4 cm

, 2.

11 cm

, 3.

6 cm

, 4.

28 cm

, 5.

7 cm

, 6.

5 cm

, 7.

12 cm

, 8.

8 cm

.
Prostokąt o polu

63 {cm}^{2}

ma boki długości

9 cm

oraz 1.

4 cm

, 2.

11 cm

, 3.

6 cm

, 4.

28 cm

, 5.

7 cm

, 6.

5 cm

, 7.

12 cm

, 8.

8 cm

.
Prostokąt o polu

18 {cm}^{2}

ma boki długości

3 cm

oraz 1.

4 cm

, 2.

11 cm

, 3.

6 cm

, 4.

28 cm

, 5.

7 cm

, 6.

5 cm

, 7.

12 cm

, 8.

8 cm

.
Prostokąt o polu

112 {cm}^{2}

ma boki długości

7 cm

oraz 1.

4 cm

, 2.

11 cm

, 3.

6 cm

, 4.

28 cm

, 5.

7 cm

, 6.

5 cm

, 7.

12 cm

, 8.

8 cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R1KpwbF1scK1y1

RHEjx7gT4miDw

Połącz w pary opis kwadratu z jego polem. Kwadrat o boku długości

4 cm

ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1.

81 {cm}^{2}

, 2.

36 {cm}^{2}

, 3.

16 {cm}^{2}

, 4.

49 {cm}^{2}

, 5.

1 {cm}^{2}

Kwadrat o boku długości

6 cm

ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1.

81 {cm}^{2}

, 2.

36 {cm}^{2}

, 3.

16 {cm}^{2}

, 4.

49 {cm}^{2}

, 5.

1 {cm}^{2}

Kwadrat o boku długości

9 cm

ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1.

81 {cm}^{2}

, 2.

36 {cm}^{2}

, 3.

16 {cm}^{2}

, 4.

49 {cm}^{2}

, 5.

1 {cm}^{2}

Kwadrat o boku długości

1 cm

ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1.

81 {cm}^{2}

, 2.

36 {cm}^{2}

, 3.

16 {cm}^{2}

, 4.

49 {cm}^{2}

, 5.

1 {cm}^{2}

Kwadrat o boku długości

7 cm

ma pole równe Możliwe odpowiedzi: 1.

81 {cm}^{2}

, 2.

36 {cm}^{2}

, 3.

16 {cm}^{2}

, 4.

49 {cm}^{2}

, 5.

1 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Zapoznaj się z apletem i rozwiąż zadanie w nim zawarte.

R1CD7x4nRBRHb1

RsBvA3v5RLKQb

Połącz w pary wymiary prostokąta z jego polem.

1 cm \times 9 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

21 {cm}^{2}

, 2.

48 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

9 {cm}^{2}

, 5.

2 {cm}^{2}

1 cm \times 2 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

21 {cm}^{2}

, 2.

48 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

9 {cm}^{2}

, 5.

2 {cm}^{2}

4 cm \times 5 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

21 {cm}^{2}

, 2.

48 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

9 {cm}^{2}

, 5.

2 {cm}^{2}

7 cm \times 3 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

21 {cm}^{2}

, 2.

48 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

9 {cm}^{2}

, 5.

2 {cm}^{2}

6 cm \times 8 cm

Możliwe odpowiedzi: 1.

21 {cm}^{2}

, 2.

48 {cm}^{2}

, 3.

20 {cm}^{2}

, 4.

9 {cm}^{2}

, 5.

2 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Oblicz pole figury składającej się z jednakowych niebieskich trójkątów, w których jeden z boków ma długość $6 cm$ , a wysokość opuszczona na ten bok ma $4 cm$ długości.

R4Weo1n2BC6SM1

Rysunek figury zbudowanej z siedmiu jednakowych trójkątów. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Oblicz pole figury składającej się z siedmiu jednakowych niebieskich trójkątów, w których jeden z boków ma długość $6 cm$ , a wysokość opuszczona na ten bok ma $4 cm$ długości.

RePQUAqaxu9vg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RnDQ1EnXUqnYf2

Ćwiczenie 12

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RIv52oTwOJ8KT3

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VWlNYlPGKOg3

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

R1IdEMvEv20Xw

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z dwóch wzorów na pole rombu. Najpierw ze wzoru wykorzystującego przekątne rombu, czyli $P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ . Wyznaczone pole oraz wysokość wstaw do wzoru na pole rombu postaci $P = a h$ i wyznacz $a$ .

Ciekawostka

Największym polskim lotniskiem jest lotnisko im. F. Chopina w Warszawie na Okęciu. Ma ono najdłuższy pas startowy, na którym mogą lądować największe samoloty. Na nim odbywa się połowa lotniczego ruchu pasażerskiego w Polsce. Z Okęcia odlatuje rocznie ok. $9, 5 mln$ pasażerów. Lotnisko to ma $100$ połączeń.
Źródło: wikipedia,
http://euro-dane.com.pl/lotniska-w-polsce- $2014$

Ćwiczenie 16

Znajdź wymiary pasa startowego dowolnego lotniska w Europie. Oblicz jego pole powierzchni.

R2g6QTKaFGfrZ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Skorzystaj z Internetu, aby znaleźć wymiary pasa startowego wybranego lotniska. Pas startowy jest w kształcie prostokąta, więc pole powierzchni obliczysz ze wzoru $P = a b$ .

Lotnisko im. L. Wałęsy w Gdańsku ma pas startowy o wymiarach $1800 m x 45 m$ , czyli pole powierzchni wynosi $81 000 m^{2}$ .