Maszyny proste. Wyznaczanie masy ciała przy użyciu dźwigni dwustronnej

Czy możesz podnieść sam dużą szafę albo samochód lub ciężki kamień? Jest to możliwe, chociaż nie zmniejsza wcale ilości pracy do wykonania.

RuqDe6ubhsNtf

Ilustracja przedstawia fragment fresku, na którym kula wyobrażająca Ziemię po lewej stronie malowidła podpierana jest długim ukośnym drągiem, na końcu którego po prawej stronie wisi człowiek ubrany w staromodny strój. Wszystko to znajduje się na tle łukowatych brązowych linii stanowiących fragment większej całości, nierozpoznawalnej w tym ujęciu. — Maszyny proste znali już ludzie pierwotni, a ogrom ich możliwości i teoretyczne zasady działania (np. dźwigni) nieobce były starożytnym
Źródło: dostępny w internecie: wikipedia.org, domena publiczna.

Przed przystąpieniem do zapoznania się z tematem, należy znać poniższe zagadnienia

w jaki sposób stwierdzić, że pracę wykonuje siła równoległa do przemieszczenia;
jak obliczyć wartość pracy jako iloczynu siły i przemieszczenia;
definicję jednostki pracy.

Nauczysz się

opisywać budowę i zasady działania dźwigni dwustronnej i jednostronnej, bloku nieruchomego i kołowrotu;
wymieniać przykłady stosowania maszyn prostych;
wyznaczać masę ciała przy użyciu dźwigni dwustronnej;
uzasadniać, dlaczego maszyny proste nie zmniejszają wartości wykonywanej pracy.

Od zarania dziejów człowiek starał się ułatwić sobie wykonywanie czynności służących zdobywaniu jedzenia lub ochronie przed chłodem. Oglądając pierwsze narzędzia z okresu kamienia łupanego, widzimy, że miały one kształt klina (przekrój trójkąta) – była to jedna z pierwszych maszyn prostych, jakie opracował człowiek (a przynajmniej jedna z tych, o których wiemy na podstawie badań ocalałych świadectw rozumnej i celowej działalności naszych przodków sprzed tysięcy lat).

R2Dz5IKToQNGS

Zdjęcie przedstawiające narzędzia w kształcie klina, wykonane z krzemieni. — Narzędzia o kształcie klina to jedne z najstarszych używanych przez człowieka
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, licencja: CC BY-SA 4.0.

W starożytności wykorzystywano już dźwignie dwu – i jednostronne, pochylnie, bloczki i kołowroty. Do dziś wiele z tych narzędzi używamy nadal – bądź to bezpośrednio, bądź jako elementy bardziej złożonych konstrukcji i urządzeń.

Rl0y9FmphgZSX

Ilustracja przedstawiająca starożytne machiny wojenne: taran i balisty oraz wymyślone przez autora ilustracji wyrzutnie toporów, katapulta na korbę i strzała na palu, z mechanizmem mającym w nią uderzać i tym samym wysyłać w stronę wroga. Taran jest dużą kłodą z twardym zakończeniem, trzymaną poziomo przez grupę ludzi, próbujących wyważyć nim bramę. Balista to rodzaj ciężkiej kuszy. Jedna z balist osadzona na specjalnym, wysokim wózku. Wózek ma prostopadłościenny kształt, posiada koła. Jest podpięty do uprzęży dwóch koni prowadzących wóz. Duża strzała przygotowana do wystrzału z balisty wystaje ponad głowami koni. Druga balista postawiona na stojaku o dwóch długich, drewnianych ramionach. Z każdego z ramion zwisa kawałek pękniętego ścięgna. Ścięgno rozpięte między ramionami można naciągano za pomocą systemu korbowego, a z pomocą spustu gwałtownie rozluźniano, powodując wystrzelenie pocisku znajdującego się w suwnym korytku. — Pierwsze urządzenia zbudowane przez człowieka wykorzystywały zasady działania maszyn prostych
Źródło: ContentPlus, licencja: CC BY-SA 3.0.

Jak dziś wygląda stan naszej wiedzy o maszynach prostych?

maszyny proste

urządzenia ułatwiające wykonanie pracy. Nie zmniejszają one pracy, ale umożliwiają wykonanie jej z użyciem mniejszej siły.

Ponieważ nie ma nic za darmo, mniejsza siła do wykonania tej samej pracy potrzebuje dłuższej drogi. Maszyny proste działają na podstawie tej właśnie zasady.

Do maszyn prostych należą:

dźwignia jednostronna,
dźwignia dwustronna,
blok nieruchomy,
kołowrót,
blok ruchomy,
równia pochyła,
klin,
śruba lub ślimak,
wielokrążek prosty i potęgowy,
przekładnia zębata,
mechanizm korbowy,
prasa hydrauliczna.

W tym podrozdziale omówimy zasadę działania tylko czterech pierwszych z wymienionych maszyn prostych. Zasadę działania prasy hydraulicznej możesz poznać w materiale Prawo PascalaPmedUHevJPrawo Pascala.

Dźwignia dwustronna

Zacznijmy od doświadczenia. Tym razem obejrzysz je na filmie, ale może będziesz miał okazję, aby je powtórzyć.

RTGMSH0EHHXzj

Praktyczne wykorzystanie dźwigni dwustronnej
Źródło: Marcin Sadomski, Kevin MacLeod (http://incompetech.com), Krzysztof Jaworski, Tomorrow Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Przedstawiony na filmie stalowy pręt ułożony w taki, a nie inny sposób, pełni rolę dźwigni dwustronnejdźwignia dwustronnadźwigni dwustronnej.

Zapamiętaj!

Dźwignia dwustronna to sztywny pręt podparty w jednym punkcie, do którego siły są przyłożone po obu stronach punktu podparcia.

Pręt może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt podparcia. Odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu nazywamy ramieniem siły.

Warunek równowagi dźwigni dwustronnej

Doświadczenie 1

Wyznaczenie warunku równowagi dźwigni dwustronnej.

Co będzie potrzebne

szkolny model dźwigni dwustronnej lub listewka, prosty patyk, kijek, plastikowy pręt o długości około $30 cm$ . Można też wykorzystać tekturową rurę, na którą była nawinięta folia spożywcza. Ważne, aby element nie był zbyt gładki i miał jednakową średnicę na całej długości;
trzy kawałki sznurka lub mocnej nici – nie powinny być zbyt gładkie (śliskie);
linijka;
dziesięć jednakowych odważników. Zamiast nich można użyć dużych cukierków w papierkach, do których przywiążemy pętelki z nici. Jeśli całkowitą masę cukierków podzielimy przez ich liczbę, ustalimy masę pojedynczego cukierka.

Instrukcja

Zamocuj dźwignię na statywie.
Jeśli używasz dźwigni, którą samodzielnie wykonałeś – zaznacz jej środek, a następnie z każdej strony po sześć dwucentymetrowych odcinków, licząc od środka. Na środku listewki przywiąż sznurek i zawieś go na statywie. Widok typowej szkolnej dźwigni przedstawiono na rysunku.
RosOeXS3rUau3
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na ramionach zawieszono po jednym ciężarku, na ostatnich dziurkach licząc od środka. Ramiona pozostają w równowadze, a więc ciężarki mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Model dźwigni dwustronnej
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Po lewej stronie dźwigni na szóstym znaczniku (licząc od środka) zawieś jeden ciężarek.
Dobierz liczbę ciężarków, którą musisz zawiesić po prawej stronie w takiej samej odległości od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (listwa pozostawała pozioma).
RZJqVXkZIifqT
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na ramionach zawieszono po dwa ciężarki przyczepione do siebie, na ostatnich dziurkach licząc od środka. Ramiona pozostają w równowadze, a więc zestawy ciężarków mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Symetrycznie obciążona dźwignia dwustronna
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Dobierz liczbę ciężarków, którą musisz zawiesić po prawej stronie na trzecim znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
R1AvtPIH6Sd2L
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na szóstej dziurce jednego z ramion zawieszono ciężarek. Na trzeciej dziurce drugiego zawieszono dwa ciężarki. Ramiona pozostają w równowadze, a więc zestawy ciężarków mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Niesymetrycznie obciążona dźwignia dwustronna w równowadze
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Dobierz liczbę ciężarków, którą musisz zawiesić po prawej stronie na drugim znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
Po lewej stronie dźwigni zawieś cztery ciężarki na piątym znaczniku, licząc od środka.
Dobierz liczbę ciężarków, którą musisz zawiesić po prawej stronie na czwartym znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
Samodzielnie dobierz kombinację liczby ciężarków i miejsc ich zawieszenia, tak aby dźwignia pozostała w równowadze.
Wyniki pomiarów zapisz w tabeli:
Uzupełnij tabelę, obliczając:
1. masę ciężarków ( $m$ = masa jednego ciężarka $\times$ liczba ciężarków), pamiętaj o wyrażeniu jej w kilogramach;
2. siłę ciężkości ciężarków, korzystając ze wzoru $F = m \cdot g$ ;
3. iloczyn siły ciężkości i odległości punktu zawieszenia ciężarków od osi obrotu dźwigni.

Podsumowanie

Z przeprowadzonych obserwacji widać, że dźwignia pozostaje w równowadze nawet wtedy, gdy siły przyłożone po dwóch stronach osi obrotu nie są jednakowe.
Dźwignia pozostaje w równowadze, gdy siły przyłożone po dwóch stronach osi obrotu mają taki sam kierunek i zwrot (działanie jednej z nich usiłuje obrócić dźwignię zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugiej – przeciwnie) oraz iloczyn wartości sił i ramion tych sił jest taki sam po obu stronach osi obrotu. Wniosek ten możemy zapisać wzorem: $F_{L} \cdot r_{L} = F_{P} \cdot r_{P}$ . Warunek ten jest prawdziwy dla sił prostopadłych do dźwigni, ale z takimi właśnie mieliśmy do czynienia w chwili, gdy dźwignia znajdowała się w stanie równowagi.

Wykonano doświadczenie.

Doświadczenie 1

Wyznaczenie warunku równowagi dźwigni dwustronnej.

Co będzie potrzebne

szkolny model dźwigni dwustronnej lub listewka, prosty patyk, kijek, plastikowy pręt o długości około $30 cm$ . Można też wykorzystać tekturową rurę, na którą była nawinięta folia spożywcza. Ważne, aby element nie był zbyt gładki i miał jednakową średnicę na całej długości;
trzy kawałki sznurka lub mocnej nici – nie powinny być zbyt gładkie (śliskie);
linijka;
dziesięć jednakowych odważników. Zamiast nich można użyć dużych cukierków w papierkach, do których przywiążemy pętelki z nici. Jeśli całkowitą masę cukierków podzielimy przez ich liczbę, ustalimy masę pojedynczego cukierka.

Instrukcja

Zamocowano dźwignię na statywie.
Ponieważ użyto dźwigni samodzielnie wykonanej – zaznaczono jej środek, a następnie z każdej strony po sześć dwucentymetrowych odcinków, licząc od środka. Na środku listewki przywiązano sznurek i zawieszono go na statywie. Widok typowej szkolnej dźwigni przedstawiono na rysunku.
RosOeXS3rUau3
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na ramionach zawieszono po jednym ciężarku, na ostatnich dziurkach licząc od środka. Ramiona pozostają w równowadze, a więc ciężarki mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Model dźwigni dwustronnej
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Po lewej stronie dźwigni na szóstym znaczniku (licząc od środka) zawieszono jeden ciężarek.
Dobrano liczbę ciężarków, którą należało zawiesić po prawej stronie w takiej samej odległości od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (listwa pozostawała pozioma).
RZJqVXkZIifqT
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na ramionach zawieszono po dwa ciężarki przyczepione do siebie, na ostatnich dziurkach licząc od środka. Ramiona pozostają w równowadze, a więc zestawy ciężarków mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Symetrycznie obciążona dźwignia dwustronna
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Dobrano liczbę ciężarków, którą należało zawiesić po prawej stronie na trzecim znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
R1AvtPIH6Sd2L
Ilustracja przedstawiająca typowy szkolny model dźwigni dwustronnej. Wzdłuż ramiona mają po sześć dziurek, rozmieszczonych w równych odstępach, służących do zawieszania obciążenia. Na szóstej dziurce jednego z ramion zawieszono ciężarek. Na trzeciej dziurce drugiego zawieszono dwa ciężarki. Ramiona pozostają w równowadze, a więc zestawy ciężarków mają taką samą masę, a wskazówka wskazuje środkową przedziałkę na skali.
Niesymetrycznie obciążona dźwignia dwustronna w równowadze
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Dobrano liczbę ciężarków, którą należało zawiesić po prawej stronie na drugim znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
Po lewej stronie dźwigni zawieszono cztery ciężarki na piątym znaczniku, licząc od środka.
Dobrano liczbę ciężarków, którą należało zawiesić po prawej stronie na czwartym znaczniku, licząc od środka, aby dźwignia pozostała w równowadze (pręt wisiał poziomo).
Dobrano kilka innych kombinacji liczby ciężarków i miejsc ich zawieszenia, tak aby dźwignia pozostała w równowadze.
Wyniki pomiarów zapisano w tabeli.
Uzupełniono tabelę, obliczając:
1. masę ciężarków ( $m$ = masa jednego ciężarka $\times$ liczba ciężarków), pamiętając o wyrażeniu jej w kilogramach;
2. siłę ciężkości ciężarków, korzystając ze wzoru $F = m \cdot g$ ;
3. iloczyn siły ciężkości i odległości punktu zawieszenia ciężarków od osi obrotu dźwigni.

Podsumowanie

Z przeprowadzonych obserwacji widać, że dźwignia pozostaje w równowadze nawet wtedy, gdy siły przyłożone po dwóch stronach osi obrotu nie są jednakowe.
Dźwignia pozostaje w równowadze, gdy siły przyłożone po dwóch stronach osi obrotu mają taki sam kierunek i zwrot (działanie jednej z nich usiłuje obrócić dźwignię zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugiej – przeciwnie) oraz iloczyn wartości sił i ramion tych sił jest taki sam po obu stronach osi obrotu. Wniosek ten możemy zapisać wzorem: $F_{L} \cdot r_{L} = F_{P} \cdot r_{P}$ . Warunek ten jest prawdziwy dla sił prostopadłych do dźwigni, ale z takimi właśnie mieliśmy do czynienia w chwili, gdy dźwignia znajdowała się w stanie równowagi.

Zapamiętaj!

Dźwignia dwustronna pozostaje w równowadze, jeśli iloczyn siły i ramienia siły ma taką samą wartość po obu stronach punktu podparcia dźwigni, czyli:

F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}

oraz siły po obu stronach osi obrotu mają taki sam zwrot i są prostopadłe do dźwigni.

RMNCy7qKSni4u

Ilustracja przedstawiająca zasadę działania dźwigni dwustronnej. Na rysunku zaznaczone są dwie siły oraz odległości pomiędzy nimi a punktem podparcia. Sztywna belka podparta jest blisko jednego z końców. Punkty przyłożenia sił F1 i F2 leżą po obu stronach punktu podparcia. Odległość między skierowaną w dół siłą F2 a punktem podparcia wynosi r2. Odległość między skierowaną w dół siłą F1, przyłożoną do końca belki, a punktem podparcia wynosi r1. Odległość r2 jest mniejsza niż odległość r1. Siła F2 jest większa od siły F1. — Mała siła może zrównoważyć dużą siłę, jeśli ma odpowiednio duże ramię
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Kamień, który podnoszono na pierwszym filmie, miał masę $100 kg$ . Do podnoszenia użyto stalowego pręta o długości $1, 5 m$ . Punkt podparcia pręta (dźwigni) znajdował się w odległości $30 cm$ od końca pręta wsuniętego pod kamień. Oblicz:

wartość siły, jaką kamień działał na koniec pręta;
wartość siły, jaką muszą działać ręce na drugi koniec dźwigni po podniesieniu kamienia, aby dźwignia była w równowadze.

Kamień został uniesiony na wysokość $5 cm$ . Oblicz:

pracę wykonaną przez siłę podnoszącą kamień;
przesunięcie w dół końca pręta, na który naciskały ręce;
pracę wykonaną przez siłę, jaką działały ręce.
R1JiZjIlkC9oT
Ilustracja przedstawiająca rozkład sił na dźwigni dwustronnej podczas podnoszenia kamienia. Sytuacja opisana w zadaniu, a więc sztywna belka podparta bliżej jednego z końców. Punkty przyłożenia sił $F_{1}$ i $F_{2}$ znajdują się na końcach belki. Siła $F_{1}$ , wynosząca tysiąc niutonów, skierowana jest pionowo w dół i odległa jest o trzy dziesiąte metra od punktu podparcia. Siła $F_{2}$ , której wartość nie jest znana, skierowana jest pionowo w dół i odległa jest o półtora metra od punktu zaczepienia wektora siły $F_{1}$ .
Rozkład sił na dźwigni dwustronnej podczas podnoszenia kamienia
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Analiza zadania:
Praca wykonana przez pręt podczas podnoszenia kamienia wynosiła: $W_{1} = F_{1} \cdot s_{1}$ .
Praca wykonana przez ręce podczas podnoszenia kamienia wynosiła: $W_{2} = F_{2} \cdot s_{2}$ .
Warunek równowagi dźwigni dwustronnej:
$F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}$ .
Wielkości wymagane:
$s_{1}$ – wysokość, na jaką podniesiono kamień;
$s_{2}$ – odległość, na jaką przesunął się drugi koniec pręta;
$F_{2}$ – siła, jaką ręce działają na pręt;
$r_{2}$ – odległość między punktem podparcia a końcem dźwigni;
$F_{1}$ – ciężar kamienia;
$r_{1}$ – odległość między punktem podparcia a kamieniem;
$L$ – długość dźwigni.
Dane:
$m = 100 kg$ ,
$g = 10 \frac{N}{kg}$ ,
$r_{1} = 30 cm = 0, 3 m$ ,
$L = 1, 5 m$ ,
$r_{2} = L - r_{1} = 1, 5 m - 0, 3 m = 1, 2 m$ ,
$s_{1} = 5 cm = 0, 05 m$ .
Szukane:
$F_{1} = ?$
$F_{2} = ?$
$s_{2} = ?$
$W_{1} = ?$
$W_{2} = ?$
Obliczenia:
Obliczamy ciężar kamienia, czyli wartość siły $F_{1}$ :
$F_{1} = m \cdot g = 100 kg \cdot 10 \frac{N}{kg} = 1000 N$ .
Teraz skorzystamy z warunku równowagi dźwigni i obliczamy siłę $F_{2}$ , jaką ręce naciskają na pręt:
$F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2} | : r_{2}$
$F_{2} = \frac{F_{1} \cdot r_{1}}{r_{2}}$
$F_{2} = \frac{1000 N \cdot 0, 3 m}{1, 2 m} = 250 N$ .
Odpowiedź $I$ :
Ręce naciskały pręt siłą $250 N$ , czyli $4$ razy mniejszą niż ciężar kamienia. Pracę wykonaną przez siłę, jaką pręt działał na podnoszony kamień, obliczymy ze wzoru na pracę. Należy pamiętać, że praca wykonana przez siłę podnoszącą kamień była równa iloczynowi ciężaru kamienia $(1000 N)$ i wysokości, na jaką go podniesiono ( $0, 05 m$ ): $W_{1} = F_{1} \cdot s_{1} = 1000 N \cdot 0, 05 m = 50 J$ .
Odpowiedź $II$ :
Siła równoważąca ciężar kamienia wykonała pracę $50 J$ . Do obliczenia pracy rąk naciskających na drugi koniec pręta potrzebna jest znajomość drogi, na której ta siła działała. Na podstawie podobieństwa trójkątów po prawej i lewej stronie osi obrotu możemy zapisać następującą proporcję: $\frac{s_{2}}{r_{2}} = \frac{s_{1}}{r_{1}}$
$\frac{s_{2}}{1, 2 m} = \frac{0, 05 m}{0, 3 m}$ , czyli $s_{2} = \frac{0, 05}{0, 3} \cdot 1, 2 m = 0, 2 m$ .
Zatem praca siły $F_{2}$ wynosi $W_{2} = F_{2} \cdot s_{2} = 250 N \cdot 0, 2 m = 50 J$ .
Odpowiedź $III$ :
Ręce przesunęły się w dół o $20 cm$ i wykonały pracę o wartości $50 J$ . Widzimy więc, że praca wykonana przez siły po obu stronach dźwigni ma taką samą wartość, z tym że działając mniejszą siłą, musieliśmy pracować na dłuższej drodze.

Blok nieruchomy

Prawie na każdym placu budowy mamy do czynienia z praktycznym wykorzystaniem bloku nieruchomego.

Blok nieruchomyblok nieruchomyBlok nieruchomy to zamocowany na osi krążek (talerz) z przerzuconą przezeń liną. Słowo „nieruchomy” nie dotyczy ruchu obrotowego talerza, przez który przerzucono linę. Osadzony na osi krążek nie wykonuje ruchu postępowego. Jeśli się porusza, mamy do czynienia z blokiem przesuwnym (ruchomym).

Zasadę działania bloku nieruchomego ilustruje poniższy rysunek.

RYUOZtk9lRdK6

Ilustracja przedstawiająca zasadę działania bloku nieruchomego. Na rysunku zaznaczony jest promień bloku oraz siły działające na linę w obydwu kierunkach. Bloczek przymocowany jest od dołu poziomej powierzchni płaskiej. Jest to gruby talerz osadzony na osi, na którego obwodzie znajduje się rowek linowy zapobiegający ześlizgiwaniu się liny. Oś jest przymocowana do nieruchomego, przytwierdzonego statywu. Obie siły działają wzdłuż liny w dół, z punktem zaczepienia w skrajnych punktach liny leżących na bloczku. — Zasada działania bloku nieruchomego
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.

Blok nieruchomy jest rodzajem dźwigni dwustronnej. Ponieważ ramiona obu sił są takie same (ich wartość jest równa promieniowi koła), to podobnie jest w przypadku sił po obu stronach osi obrotu. Innymi słowy, jeśli za pomocą bloku chcemy podnieść porcję cegieł o ciężarze $300 N$ , to drugi koniec liny musimy ciągnąć w dół z siłą o wartości $300 N$ . Użycie bloku nieruchomego nie zmienia wartości siły, jakiej należy użyć, ale pozwala zmienić kierunek jej działania. Przykład takiej sytuacji pokazano na kolejnym rysunku.

RBz4PybIaNSsE

Ilustracja przedstawiająca przykład wykorzystania bloku nieruchomego. Kajakarz ciągnie za linę przeciągniętą przez blok nieruchomy na brzegu. Bloczek przytwierdzony jest do pionowej powierzchni. Jeden z końców liny zaczepiony jest na przodzie kajaku, drugi koniec jest trzymany przez kajakarza. Kajakarz ciągnie linę, jest więc ona napięta. — Przykład wykorzystania bloku nieruchomego
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 1

Odpowiedz na pytanie: dlaczego użycie bloku nieruchomego ułatwia nam pracę, mimo że musimy działać siłą o takiej samej wartości, jakiej użylibyśmy bez korzystania z bloku? Odpowiedź zapisz w polu poniżej.

R1Sp3D41d63Se

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Jaki największy ładunek może podciągnąć do góry robotnik korzystający z bloku nieruchomego? Masa robotnika wynosi $80 kg$ . Odpowiedź zapisz w polu poniżej.

R4QACvyHgUFn9

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

Robotnik może podnieść ładunek o masie równej masie swojego ciała, czyli $80 kg$ .

Dźwignia jednostronna

Zapamiętaj!

Dźwignią jednostronną nazywamy sztywny pręt podparty w jednym punkcie, do którego siły są przyłożone po jednej stronie punktu podparcia.

Belka (sztywny pręt) może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt podparcia. W dowolnych dwóch punktach belki możemy do niej przykładać siły; będą one leżały po jednej stronie osi obrotu. Odległość punktu przyłożenia siły od osi obrotu nazywamy ramieniem siły.

Rfc9wlclIQXAr

Ilustracja przedstawiająca zasadę działania dźwigni jednostronnej. Na rysunku zaznaczone są dwie siły oraz odległości pomiędzy nimi a punktem podparcia. Sztywna belka podparta jest na jednym z końców. Punkty przyłożenia sił F1 i F2 leżą po tej samej stronie punktu podparcia. Odległość między skierowaną w dół siłą F2 a punktem podparcia wynosi r2. Odległość między skierowaną w górę siłą F1, przyłożoną do drugiego końca belki, a punktem podparcia, wynosi r1. Siła F2 jest większa od siły F1. — Zasada działania dźwigni jednostronnej
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.

Dźwignia ta różni się od dwustronnej położeniem punktu podparcia – osi obrotu. Jak wygląda warunek równowagi takiej dźwigni? Siły działające na dźwignię jednostronną muszą mieć przeciwne zwroty, tak aby działanie jednej powodowało obrót belki zgodnie z ruchem wskazówek zegara, a drugiej w kierunku przeciwnym. Ponadto iloczyny wartości siły i jej ramienia muszą mieć taką samą wartość dla obu sił, czyli:

F_{1} \cdot r_{2} = F_{2} \cdot r_{2}

A oto kilka przykładów dźwigni jednostronnejdźwignia jednostronnadźwigni jednostronnej spotykanych w naszym otoczeniu.

Przykłady zastosowań dźwigni jednostronnej w naszym otoczeniu

R1S9lsy9o1idE

Taczki – przykład dźwigni jednostronnej
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.

RWPuKdSbuqrYU

Ludzka żuchwa – przykład dźwigni jednostronnej
Źródło: Krzysztof Jaworski, licencja: CC BY 3.0.

R1371XoFbluZe

Ludzkie ramię – przykład dźwigni jednostronnej
Źródło: ContentPlus, licencja: CC BY 3.0.

Kołowrót

Inną maszyną prostą, dzięki której można wykonywać pracę, działając mniejszą siłą, jest kołowrótkołowrótkołowrót.

Kołowrót studzienny można jeszcze czasami zobaczyć na wsi, a na pewno w skansenie.

RmtksRiDJGAw3

Zdjęcie przedstawiające studnię na tle domu. Elementem studni jest kołowrót studzienny. Na zdjęciu zaznaczone jest ramię dźwigni, oś obrotu, średnica kołowrotu oraz siła ciężkości wiaderka. Ramię dżwigni to odległość między osią obrotu a miejscem, do którego należy przyłożyć siłę, aby wprawić w ruch kołowrót. Oś obrotu przebiega oznaczona przerywaną linią, przebiego przez środek kołowrotu i jest osią, wokół której on się obraca. Wektor siły ciężkości zaczepiony jest w środku masy wiaderka i skierowany pionowo w dół. — Kołowrót studzienny jako przykład kołowrotu - dźwigni dwustronnej
Źródło: Izvora (https://commons.wikimedia.org), Krzysztof Jaworski, licencja: CC BY 3.0.

Zapamiętaj!

Kołowrotem nazywamy umieszczony na osi walec o pewnym promieniu (np. o promieniu $r$ ), do którego doczepiono korbę o pewnej długości (np. o długości $L$ ) i na który nawinięta jest lina lub łańcuch (cięgno).

R1Iqout5svQf5

Jak działa kołowrót?
Źródło: Krzysztof Jaworski, Kevin MacLeod (http://incompetech.com), Tomorrow Sp. z o.o., licencja: CC BY 3.0.

Widzimy więc, że kołowrót, w zależności od położenia korby, to na przemian dźwignia jednostronna i dwustronna. Jeśli pominiemy opory ruchu, możemy zastosować znaną nam już zależność:

F_{1} \cdot r = F_{2} \cdot L

gdzie $r$ – promień walca kołowrotu, $L$ – długość ramienia korby.

Przykładając mniejszą siłę do korby o długości $L$ , wywołamy więc działanie większej siły na cięgnie kołowrotu.

Ćwiczenie 3

R1Br8cUgNPVVS

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R1LtyL6l0nH61

Schemat przedstawia wiadro wiszące na linie owiniętej na kołowrocie. Widoczne są: wiadro o masie m, wektor siły Fc zaczepiony w środku masy wiadra i skierowany pionowo w dół, lina zaczepiona na rączce wiadra i ciągnąca się pionowo w górę, do kołowrotu o średnicy r, ramię siły l zaczepione na osi kołowrotu i skierowane poziomo w prawo, kończące się w punkcie zaczepienia wektora siły F, skierowanego pionowo w dół. — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Dane:
$r=\frac{30\,\mathrm{cm}}{2}=15\,\mathrm{cm}$
$l=45\,\mathrm{cm}$
$m=15\,\mathrm{kg}$

Szukane:
$F=?$

Rozwiązanie:
$F_c=m\cdot g$
$F\cdot l=F_c\cdot r$
$F=\frac{r}{l}\cdot F_c=\frac{r}{l}\cdot m\cdot g$
$F=\frac{15\,\mathrm{cm}}{45\,\mathrm{cm}}\cdot 15\,\mathrm{kg}\cdot 10\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}=50\,\mathrm{N}$

Przykładem kołowrotu, którym posługuje się chyba każdy z nas, są pedały roweru połączone korbą z tarczą zębatą, tak zwaną zębatką przednią.

R7wImAXkh7KNv

Ilustracja przedstawiająca zasadę działania kołowrotu na przykładzie rowerowego mechanizmu korbowego. Zaznaczone są: siła napięcia łańcucha, ramię siły napięcia łańcucha, siła nacisku stopy rowerzysty oraz ramię siły nacisku stopy rowerzysty. Ramię siły napięcia łańcucha to wektor z punktem zaczepienia w osi obrotu i grotem w miejscu zaczepienia wektora siły napięcia łańcucha, który znajduje się w pierwszym punkcie zaczepienia ogniwa łańcucha na zębatce. Ramię siły nacisku stopy rowerzysty to wektor z punktem zaczepienia w osi obrotu i grotem w miejscu zaczepienia wektora siły nacisku stopy rowerzysty, którym jest środek pedału. — Kołowrót jest przykładem maszyny prostej mającej szerokie zastosowanie również obecnie
Źródło: Keithonearth (https://commons.wikimedia.org), Krzysztof Jaworski, licencja: CC BY-SA 3.0.

Ćwiczenie 4

RXDKJCbE9qpNX

Rowerzysta naciska na pedał roweru siłą

300 N

. Korba pedału ma długość

17, 5 cm

, a promień zębatki wynosi

8 cm

.
Uzupełnij poniższe luki. Kliknij w nie, aby rozwinąć listę, a następnie wybierz poprawną odpowiedź w każdym przypadku. Zębatka działa na łańcuch z siłą

F =

656, 25 N

, 2.

548, 35 N

, 3. większej, 4.

628, 10 N

, 5.

586, 15 N

, 6. mniejszej. Aby zwiększyć tę siłę, nie zmieniając siły nacisku na pedał, należy zmienić zębatkę na taką o 1.

656, 25 N

, 2.

548, 35 N

, 3. większej, 4.

628, 10 N

, 5.

586, 15 N

, 6. mniejszej średnicy.

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R1RnQlQFkBuYr

Ilustracja przedstawiająca schemat rowerowego mechanizmu korbowego. Zaznaczone są: siła napięcia łańcucha Fx, promień r zębatki, siła nacisku stopy rowerzysty F na pedał oraz odległość l pedału od środka zębatki. — Źródło: Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, licencja: CC BY 3.0.

Dane:
$F=300\,\mathrm{N}$
$l=17,5\,\mathrm{cm}$
$r=8\,\mathrm{cm}$

Szukane:
$F_x=?$

Rozwiązanie:
$F\cdot l=F_x\cdot r$
$F_x=\frac{l}{r}\cdot F$
$F_x=\frac{17,5\,\mathrm{cm}}{8\,\mathrm{cm}}\cdot 300\,\mathrm{N}=656,25\,\mathrm{N}$
Popatrzmy na wzór na $F_x$ . Zauważmy, że aby $F_x$ było jak największe, to $r$ musi być mniejsze.

Wyznaczenie masy ciała za pomocą dźwigni dwustronnej

Doświadczenie 2

Wyznaczenie masy ciała za pomocą dźwigni dwustronnej, innego ciała o znanej masie i linijki.

Co będzie potrzebne

szkolny model dźwigni dwustronnej lub prosty patyk, kijek, plastikowy pręt o długości około $30 cm$ . Można też wykorzystać tekturową rurę, na którą była nawinięta folia spożywcza – ważne, aby element nie był zbyt gładki i miał jednakową średnicę na całej długości;
trzy kawałki sznurka lub mocnej nici (nie powinny być zbyt gładkie ani śliskie);
dwie małe, jednakowe torebki foliowe;
linijka;
odważnik lub inny przedmiot o znanej masie – może to być torebka budyniu lub tabliczka czekolady, której masę podano na opakowaniu (ten przedmiot też będziemy nazywać odważnikiem);
przedmiot do zważenia – na przykład piórnik.

Instrukcja

Na środku kijka zawiąż kawałek sznurka na tyle ciasno, by patyk sam się z niego nie wysuwał, ale na tyle luźno, by można go było przesuwać.
Chwyć za sznurek, podnieś patyk, sprawdź, czy wisi poziomo, a jeśli nie, przesuń nieco sznurek i sprawdź równowagę – postępuj tak aż do uzyskania idealnego wypoziomowania. Zaznacz położenie sznurka, przy którym patyk wisi poziomo.
Do uchwytów każdej torebki foliowej przywiąż kawałek sznurka zakończony pętelką. Pętelki muszą być na tyle duże, aby łatwo dały się nasunąć na końce patyka. To są szalki naszej wagi.
Do jednej szalki włóż odważnik, a do drugiej ważony przedmiot, zawieś szalki na końcach patyka i ostrożnie zacznij podnosić wagę za środkowy sznurek.
Jeśli waga przechyla się w jedną stronę, szalkę po tej stronie przesuń bliżej środka. Staraj się, by szalka zawierająca lżejszy przedmiot wisiała prawie na końcu patyka. Sprawdź, czy podniesiona waga jest w równowadze. Jeśli nie, powtarzaj czynność przesuwania cięższego przedmiotu aż do uzyskania równowagi.
Gdy szalki znajdą się w takim miejscu, że patyk wiszący na środkowym sznurku jest w równowadze – zaznacz położenia szalek.
Linijką zmierz odległość od środka do szalki zawierającej odważnik i zapisz:
$r_{1} = \dots cm$
Linijką zmierz odległość od środka do szalki zawierającej ważone ciało i zapisz:
$r_{2} = \dots cm$
Zapisz masę odważnika:
$m_{1} = \dots g$

Podsumowanie

Teraz przystąpimy do obliczania nieznanej masy ważonego ciała. Oznaczmy ją $m_{x}$ .
Wiemy, że nasz patyk z szalkami zawieszony na środkowym sznurku stanowił dźwignię dwustronną, a to oznacza, że w momencie uzyskania równowagi spełniony był warunek:
$F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}$ .
Siłami $F_{1}$ i $F_{2}$ są tu ciężary przedmiotów umieszczonych w szalkach, czyli:
$F_{1} = m_{1} \cdot g$ .
Po podstawieniu tych sił do warunku równowagi dźwigni otrzymujemy równanie:
$m_{1} \cdot g \cdot r_{1} = m_{x} \cdot g \cdot r_{2} | : g$ ,
$m_{1} \cdot r_{1} = m_{x} \cdot r_{2} | : r_{2}$ ,
$m_{x} = m_{1} \cdot \frac{r_{1}}{r_{2}}$ .
Podstawiamy dane zanotowane podczas wykonywania pomiarów i obliczamy masę przedmiotu.

Wykonano doświadczenie.

Doświadczenie 2

Wyznaczenie masy ciała za pomocą dźwigni dwustronnej, innego ciała o znanej masie i linijki.

Co będzie potrzebne

szkolny model dźwigni dwustronnej lub prosty patyk, kijek, plastikowy pręt o długości około $30 cm$ . Można też wykorzystać tekturową rurę, na którą była nawinięta folia spożywcza – ważne, aby element nie był zbyt gładki i miał jednakową średnicę na całej długości;
trzy kawałki sznurka lub mocnej nici (nie powinny być zbyt gładkie ani śliskie);
dwie małe, jednakowe torebki foliowe;
linijka;
odważnik lub inny przedmiot o znanej masie – może to być torebka budyniu lub tabliczka czekolady, której masę podano na opakowaniu (ten przedmiot też będziemy nazywać odważnikiem);
przedmiot do zważenia – na przykład piórnik.

Instrukcja

Na środku kijka zawiązano kawałek sznurka na tyle ciasno, by patyk sam się z niego nie wysuwał, ale na tyle luźno, by można go było przesuwać.
Chwycono za sznurek, podniesiono patyk, sprawdzono, czy wisi poziomo – ponieważ nie wisiał poziomo, przesunięto nieco sznurek i sprawdzono równowagę; postępowano tak aż do uzyskania idealnego wypoziomowania. Zaznaczono położenie sznurka, przy którym patyk wisi poziomo.
Do uchwytów każdej torebki foliowej przywiązano kawałek sznurka zakończony pętelką. Pętelki muszą być na tyle duże, aby łatwo dały się nasunąć na końce patyka. To są szalki wagi.
Do jednej szalki włożono odważnik, a do drugiej ważony przedmiot, zawieszono szalki na końcach patyka i ostrożnie zaczęto podnosić wagę za środkowy sznurek.
Waga przechyliła się w jedną stronę, więc szalkę po tej stronie przesunięto bliżej środka. Starano się, by szalka zawierająca lżejszy przedmiot wisiała prawie na końcu patyka. Sprawdzono, czy podniesiona waga jest w równowadze. Powtarzano czynność przesuwania cięższego przedmiotu aż do uzyskania równowagi.
Gdy szalki znalazły się w takim miejscu, że patyk wiszący na środkowym sznurku był w równowadze – zaznaczono położenia szalek.
Linijką zmierzono odległość od środka do szalki zawierającej odważnik i zapisano:
$r_{1} = \dots cm$
Linijką zmierzono odległość od środka do szalki zawierającej ważone ciało i zapisano:
$r_{2} = \dots cm$
Zapisano masę odważnika:
$m_{1} = \dots g$

Podsumowanie

Teraz przystąpimy do obliczania nieznanej masy ważonego ciała. Oznaczmy ją $m_{x}$ .
Wiemy, że nasz patyk z szalkami zawieszony na środkowym sznurku stanowił dźwignię dwustronną, a to oznacza, że w momencie uzyskania równowagi spełniony był warunek:
$F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}$ .
Siłami $F_{1}$ i $F_{2}$ są tu ciężary przedmiotów umieszczonych w szalkach, czyli:
$F_{1} = m_{1} \cdot g$ .
Po podstawieniu tych sił do warunku równowagi dźwigni otrzymujemy równanie:
$m_{1} \cdot g \cdot r_{1} = m_{x} \cdot g \cdot r_{2} | : g$ ,
$m_{1} \cdot r_{1} = m_{x} \cdot r_{2} | : r_{2}$ ,
$m_{x} = m_{1} \cdot \frac{r_{1}}{r_{2}}$ .
Po podstawieniu danych można wyznaczyć masę przedmiotu.

Podsumowanie

Maszyny proste to urządzenia ułatwiające wykonanie pracy. Należy podkreślić, że nie zmniejszają one wykonanej pracy, ale pozwalają wykonać ją z użyciem mniejszej siły.
Jedną z maszyn prostych jest dźwignia dwustronna. To sztywny pręt podparty w jednym punkcie, do którego siły są przyłożone po obu stronach punktu podparcia. Dźwignia dwustronna jest w równowadze, jeśli iloczyn siły i ramienia siły ma taką samą wartość dla obu stron punktu podparcia dźwigni, czyli: $F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}$ , oraz siły po obu stronach osi obrotu mają taki sam zwrot.
Blok nieruchomy jest rodzajem dźwigni dwustronnej. To koło zamocowane na osi, przez które przerzucono linę. Ponieważ ramiona obu sił są takie same (czyli równe promieniowi koła), to również siły po obu stronach osi obrotu mają taką samą wartość. Użycie bloku nieruchomego pozwala zmienić kierunek działania siły.
Dźwignią jednostronną nazywamy sztywną belkę (kij, pręt, rurę) podpartą na jednym z końców. W przypadku dźwigni jednostronnej punkty przyłożenia sił $F_{1}$ i $F_{2}$ leżą po tej samej stronie punktu podparcia. Belka może obracać się wokół osi przechodzącej przez punkt podparcia. W dowolnych dwóch punktach belki możemy przykładać siły; będą one leżały po jednej stronie osi obrotu.
Dźwignia jednostronna jest w równowadze, gdy siły działające na dźwignię mają przeciwne zwroty, a iloczyny wartości siły i jej ramienia – taką samą wartość dla obu sił, czyli:
$F_{1} \cdot r_{1} = F_{2} \cdot r_{2}$ .
Rfc9wlclIQXAr
Ilustracja przedstawiająca zasadę działania dźwigni jednostronnej. Na rysunku zaznaczone są dwie siły oraz odległości pomiędzy nimi a punktem podparcia. Sztywna belka podparta jest na jednym z końców. Punkty przyłożenia sił $F_{1}$ i $F_{2}$ leżą po tej samej stronie punktu podparcia. Odległość między skierowaną w dół siłą $F_{2}$ a punktem podparcia wynosi $r_{2}$ . Odległość między skierowaną w górę siłą $F_{1}$ , przyłożoną do drugiego końca belki, a punktem podparcia, wynosi $r_{1}$ . Siła $F_{2}$ jest większa od siły $F_{1}$ .
Zasada działania dźwigni jednostronnej
Źródło: Dariusz Adryan, licencja: CC BY 3.0.
Inną maszyną prostą jest kołowrót, czyli umieszczony na osi walec o promieniu $r$ , do którego doczepiono korbę o długości $L$ i na który nawinięta jest lina lub łańcuch.
Kołowrót to na przemian dźwignia jednostronna i dwustronna. Jeśli pominiemy opory ruchu, to możemy do niego zastosować znaną nam zależność:
$F_{1} \cdot r = F_{2} \cdot L$ .
Oznacza to, że przykładając mniejszą siłę do korby o długości $L$ , wywołamy działanie większej siły na cięgnie kołowrotu.

Słownik

blok nieruchomy

maszyna prosta w postaci okrągłej tarczy osadzonej w obudowie obrotowo (na nieruchomej osi) i mającej na obwodzie rowek, przez który przechodzi lina. W zależności od tego, czy obudowa krążka może się z nim poruszać, czy też jest nieruchoma, rozróżnia się krążki: ruchome i nieruchome (stałe).

dźwignia dwustronna

sztywny pręt podparty w jednym punkcie, do którego siły są przyłożone po obu stronach punktu podparcia.

dźwignia jednostronna

sztywny pręt podparty w jednym punkcie, do którego siły są przyłożone po jednej stronie punktu podparcia.

kołowrót

maszyna prosta będąca walcem o promieniu $r$ z umocowaną na jego końcu korbą o ramieniu $L > r$ . Osią obrotu kołowrotu jest jego oś symetrii. Na kołowrót jest nawinięta lina, której jeden koniec jest przymocowany do kołowrotu, a na drugi działa siła obciążająca $Q$ . Siła poruszająca $F$ działa prostopadle do ramienia korby i jest równa

F = \frac{r}{L} \cdot Q

Zadania podsumowujące rozdział

RbRjo6Q6jcV0v

Ćwiczenie 5

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.

R8SQWn6E3noRY21

Ćwiczenie 6

Kierując się zasadą działania, przypisz narzędzie do jednej z poniższych kategorii maszyn prostych.

dziadek do orzechów, nożyczki, siekiera, żuchwa, kończyna (ręka lub noga), śruba, waga dźwigniowa, obcęgi, kołowrotek wędkarski, bloczek jachtowy, sekator, ręczna wciągarka budowlana, taczki

Dźwignia jednostronna
Dźwignia dwustronna
Kołowrót
Blok nieruchomy
Elementy niepasujące do żadnej kategorii

Źródło: ZPE, licencja: CC BY 3.0.