Definicje i twierdzenia z planimetrii, równań i nierówności, liczb rzeczywistych oraz geometrii analitycznej na płaszczyźnie kartezjańskiej
W tej lekcji przedstawione zostaną definicje i twierdzenia dotyczące geometrii płaszczyzny, czyli planimetrii. Będą one odnosić się do równań i nierówności, liczb rzeczywistych a także geometrii analitycznej na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Jeżeli dwa trójkąty mają odpowiadające sobie boki równe, to te trójkąty są przystające.
Jeżeli , , to trójkąt jest przystający do trójkąta .
Zapisujemy symbolicznie
Jeżeli , , to trójkąt jest przystający do trójkąta .
Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm przyległym do niego kątom drugiego trójkąta, to trójkąty te są przystające.
Jeżeli , i , to trójkąt jest przystający do trójkąta .
Deltoidem nazywamy czworokąt, którego jedna z przekątnych leży na jego osi symetrii.
Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty odpowiadające są równe, to proste te są równoległe.
Jeżeli dwie proste przecięte są trzecią prostą i utworzone w ten sposób kąty naprzemianległe są równe, to proste te są równoległe.
Dwusieczną kąta nazywamy półprostą o początku w wierzchołku tego kąta, która dzieli ten kąt na dwa kąty o jednakowych miarach.
Figurę nazywamy osiowosymetryczną, jeżeli istnieje taka prosta , iż każdy punkt figury po przekształceniu w symetrii względem prostej należy do figury .
Prostą nazywamy osią symetrii figury .
Figurę nazywamy środkowosymetryczną, jeżeli istnieje taki punkt , że obraz każdego punktu figury w symetrii względem punktu też należy do tej figury. Punkt nazywamy wtedy środkiem symetrii figury .
Figury, które mają ten sam kształt i tę samą wielkość, nazywamy przystającymi.
Jednomianem nazywamy wyrażenie algebraiczne, które jest liczbą, literą lub iloczynem liczb i liter.
Jednomianami podobnymi nazywamy jednomiany, w których występują takie same czynniki literowe w tej samej potędze.
Jednomiany podobne różnią się współczynnikiem liczbowym lub kolejnością czynników. Jednomiany podobne występujące w sumie algebraicznej nazywamy wyrazami podobnymi sumy algebraicznej.
Dwie półproste o wspólnym początku rozcinają płaszczyznę na dwie części. Każdą z tych części, wraz z tymi półprostymi, nazywamy kątem.
Wierzchołkiem kąta nazywamy wspólny początek obu półprostych, a każdą z półprostych nazywamy ramieniem kąta.
Proste i są przecięte prostą
Kąty: i , i , i oraz i to pary kątów odpowiadających.
Kąty i oraz i to pary kątów naprzemianległych wewnętrznych.
Kąty i oraz i to pary kątów naprzemianległych zewnętrznych.
RbEzYmrOaJGlj1
Kąty przyległe to dwa kąty wypukłe, które mają jedno ramię wspólne, a pozostałe ramiona dopełniają się do prostej.
Kąty wierzchołkowe to dwa kąty wypukłe, które mają wspólny wierzchołek i przedłużeniem ramion jednego kąta są odpowiednie ramiona drugiego kąta.
RaR20cqGYTeNK1 Na przykład i na rysunku są kątami przyległymi. Pary kątów wierzchołkowych to i oraz i .
Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty odpowiadające są równe.
Rr5UcKAk2jckw1 Jeżeli dwie proste równoległe przetniemy trzecią prostą, to tak utworzone kąty naprzemianległe wewnętrzne są równe oraz kąty naprzemianległe zewnętrzne są równe.
RTJZSFX4bhf0k1
Dwa kąty o równych miarach są przystające.
Kąty wierzchołkowe mają równe miary.
Kąty, których miara jest mniejsza od lub równa , nazywamy kątami wypukłymi.
Kąty, których miara jest większa od , ale mniejsza od , to kąty wklęsłe.
R1Y80EaqeuRhx1
Kątem zewnętrznym trójkąta nazywamy każdy kąt przyległy do kąta wewnętrznego tego trójkąta.
, – kąty zewnętrzne, przyległe do kąta
Kołem o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest mniejsza bądź równa .
– koło o środku w punkcie i promieniu
Liczba przeciwna do danej liczby to taka liczba , że zachodzi równość
Liczba spełnia dane równanie, jeżeli po podstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu działań po obu stronach równania, otrzymamy prawdziwą równość liczbową.
Mówimy, że liczba spełnia daną nierówność, jeżeli po wstawieniu jej w miejsce niewiadomej i wykonaniu wskazanych działań otrzymamy nierówność liczbową prawdziwą.
Na przykład:
Sprawdzimy, czy liczba spełnia nierówność .
Podstawmy w miejsce .
Nierówność jest prawdziwa.
Liczba spełnia daną nierówność. Liczba jest jednym z rozwiązań nierówności.
Liczba wymierna to liczba, którą można przedstawić w postaci ułamka , gdzie i są liczbami całkowitymi i .
Liczbę naturalną większą od nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli jej jedynymi dzielnikami są liczby i . Liczby naturalne większe od , które nie są liczbami pierwszymi, nazywamy liczbami złożonymi. Liczby i nie są ani liczbami pierwszymi, ani złożonymi.
Liczbami wymiernymi są liczby naturalne, całkowite i ułamki.
Najmniejszą wspólną wielokrotnością liczb naturalnych dodatnich i (oznaczamy NWW ) nazywamy najmniejszą liczbę naturalną dodatnią, która jest podzielna przez liczbę i liczbę .
Największym wspólnym dzielnikiem dodatnich liczb naturalnych i (oznaczamy NWD ) nazywamy największą liczbę naturalną, która jest jednocześnie dzielnikiem liczby i liczby .
Nierówności nazywamy równoważnymi, jeżeli posiadają ten sam zbiór rozwiązań.
Nierównością pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.
Na przykład
, .
W dowolnym trójkącie długość każdego boku jest mniejsza od sumy długości pozostałych boków.
Z odcinków o długościach , , można zbudować trójkąt wtedy i tylko wtedy, gdy
Obrazem figury w symetrii środkowej jest figura do niej przystająca.
Obrazem figury w symetrii osiowej jest figura do niej przystająca.
Obwód wielokąta to suma długości wszystkich jego boków.
Część prostej zawartej między dwoma punktami, wraz z tymi punktami.
Odległość między dwiema dowolnymi liczbami na osi liczbowej jest równa długości odcinka łączącego punkty odpowiadające tym liczbom.
Odległość środka okręgu wpisanego w wielokąt od każdego z boków tego wielokąta jest równa promieniowi tego okręgu.
Liczba odwrotna do danej liczby to taka liczba , że
Odwrotnością liczby , gdzie , jest liczba .
Okręgiem o środku w punkcie i promieniu nazywamy zbiór tych wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest równa .
– okrąg o środku w punkcie i promieniu
Jeżeli na okręgu leżą wszystkie wierzchołki trójkąta, to taki okrąg nazywamy okręgiem opisanym na trójkącie. O trójkącie mówimy, że jest wpisany w okrąg.
Na każdym trójkącie można opisać okrąg. Środek tego okręgu leży na przecięciu symetralnych boków tego trójkąta.
Jeśli każdy z boków wielokąta jest styczny do okręgu, to ten wielokąt nazywamy opisanym na okręgu. Okrąg nazywamy wtedy wpisanym w wielokąt.
Punkt, w którym przecinają się proste zawierające wysokości trójkąta nazywamy ortocentrum trójkąta i oznaczamy go najczęściej dużą literą .
Pole równoległoboku jest równe iloczynowi wysokości równoległoboku i długości podstawy, do której ta wysokość została poprowadzona.
Prosta dzieli płaszczyznę na dwie części. Każdą z nich, wraz z tą prostą, nazywamy półpłaszczyzną. Prosta ta jest brzegiem każdej z tych półpłaszczyzn.
Procentem nazywamy część pewnej wielkości. Jeden procent tej wielkości to jedna setna tej wielkości.
Promilem nazywamy część pewnej wielkości. Jeden promil tej wielkości to jedna tysięczna tej wielkości.
Równość postaci dla i nazywamy proporcją.
Wyrazy i nazywają się skrajnymi, a wyrazy i środkowymi.
Przez jeden punkt przechodzi nieskończenie wiele prostych.
Przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta.
Przekątna wielokąta to odcinek łączący dwa wierzchołki tego wielokąta, nieleżące przy tym samym boku.
Niech będzie liczbą naturalną większą od .
Wielokąt o – bokach ma przekątnych.
Dwa kwadraty są przystające, jeżeli ich boki są równe lub równe są ich przekątne.
Dwusieczne kątów trójkąta przecinają się w jednym punkcie.
Redukcją wyrazów podobnych nazywamy przekształcenie sumy algebraicznej, polegające na wykonaniu dodawania lub odejmowania wyrazów podobnych. W wyniku redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy prostszą postać sumy algebraicznej.
Kąt, którego miara jest mniejsza od , ale większa od , nazywamy kątem ostrym.
Kąt, którego miara jest równa , nazywamy kątem prostym.
Kąt, którego miara jest większa od , ale mniejsza od , nazywamy kątem rozwartym.
R4xt9CECkO25Y1
Jeśli w równoległoboku wszystkie boki są równe, to równoległobok nazywamy rombem.
Liczbę, która spełnia dane równanie, nazywamy rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania.
Każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie dziesiętne skończone lub nieskończone okresowe.
Mówimy, że równania z tymi samymi niewiadomymi, które mają tą samą dziedzinę są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy posiadają taki sam zbiór rozwiązań.
Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, z których w przynajmniej jednym występuje co najmniej jedna zmienna zwana niewiadomą.
Na przykład:
Równaniem pierwszego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy równanie, w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze.
Na przykład
Równanie, które nie ma rozwiązania, nazywamy równaniem sprzecznym.
Równanie, które jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą, nazywamy równaniem tożsamościowym.
Równaniem z jedną niewiadomą nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych, w których występuje dokładnie jedna niewiadoma.
Na przykład
Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych, nazywamy równoległobokiem.
Prostą mającą dwa punkty wspólne z okręgiem nazywamy sieczną okręgu.
Stosunkiem dwóch wielkości nazywamy iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości. Zapisuje się go zwykle w postaci ilorazu liczb naturalnych.
Prostą, mającą dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem, nazywamy styczną do okręgu.
Sumą algebraiczną nazywamy wyrażenie, które jest sumą jednomianów. Jednomiany te nazywamy wyrazami sumy.
Wyrażenie algebraiczne, w którym występuje odejmowanie jednomianów, jest także sumą algebraiczną, ponieważ odejmowanie możemy zastąpić dodawaniem jednomianów przeciwnych.
Suma miar kątów leżących przy jednym z ramion trapezu jest równa .
Niech będzie liczbą naturalną większą od .
Suma miar kątów – kąta jest równa .
Suma miar kątów trójkąta jest równa .
Symetralna odcinka to prosta prostopadła do tego odcinka, przechodząca przez jego środek.
Punkt jest symetryczny do punktu względem prostej ( jest obrazem punktu w symetrii względem prostej ), jeżeli
punkty i leżą na prostej prostopadłej do prostej ,
punkty i leżą po przeciwnych stronach prostej ,
odległość punktu od prostej jest taka sama jak odległość punktu od prostej .
RNb4vZ1DyxX0v1 Jeżeli punkt leży na prostej , to .
R14Uxwx3jrH1J1 Symetrię względem prostej nazywamy symetrią osiową.
Punkt jest symetryczny do punktu względem punktu ( jest obrazem punktu w symetrii względem punktu ) jeżeli
leży na prostej po przeciwnej stronie punktu niż punkt ,
jego odległość od punktu jest równa odległości punktu od punktu .
Symetrię względem punktu nazywamy symetrią środkową.
Środek ciężkości trójkąta dzieli każdą ze środkowych tego trójkąta w stosunku , licząc od wierzchołka.
Środkową boku trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Trójkąt ma trzy środkowe.
Jeśli czworokąt ma co najmniej jedną parę boków równoległych, to nazywamy go trapezem.
Boki równoległe trapezu nazywamy jego podstawami, zaś dwa pozostałe boki to ramiona trapezu.
Trapez, w którym przynajmniej jeden kąt ma miarę , nazywamy trapezem prostokątnym.
W trapezie prostokątnym ramię prostopadłe do podstawy jest zarazem wysokością.
Trapez, którego ramiona są równe i nie jest równoległobokiem, nazywamy trapezem równoramiennym.
Wartość bezwzględna liczby jest to odległość liczby od zera na osi liczbowej.
Dwie wielkości dodatnie nazywamy odwrotnie proporcjonalnymi, jeżeli wraz ze wzrostem jednej z nich pewną liczbę razy, druga maleje tyle samo razy.
Dwie wielkości dodatnie nazywamy wprost proporcjonalnymi, jeżeli iloraz odpowiadających sobie wartości tych wielkości jest stały.
Wielokątem foremnym nazywamy wielokąt, który ma wszystkie boki równe i wszystkie kąty równe.
Wielokąty przystające mają odpowiadające sobie boki równej długości oraz równe miary odpowiadających sobie kątów.
Liczbę, która występuje na początku uporządkowanego jednomianu, nazywamy współczynnikiem liczbowym tego jednomianu.
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta z prostą zawierającą przeciwległy bok i prostopadły do tej prostej. Trójkąt ma trzy wysokości.
Zbiór rozwiązań nierówności jest to zbiór wszystkich liczb, które spełniają daną nierówność.
Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równania.