Funkcja i jej własności. Część I
W tabeli przedstawione zostały średnie wyniki pomiarów temperatury powietrza w Warszawie w okresie od do stycznia.
Dzień miesiąca | Temperatura w |
---|---|
Zauważmy, że powyższe przyporządkowanie jest funkcją. Dni miesiąca są argumentami tej funkcji, a wyniki pomiarów temperatury powietrza są jej wartościami.
Odczytajmy miejsce zerowe tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja ta przyjmuje wartości dodatnie oraz wartości ujemne.
Rozwiązanie:
Temperatura powietrza w Warszawie była równa w dniu stycznia, czyli miejscem zerowym tej funkcji jest ten jeden argument.
Ponieważ dodatnia temperatura powietrza w Warszawie była stycznia, stycznia oraz stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości dodatnie.
Ponieważ ujemna temperatura powietrza w Warszawie była stycznia, stycznia, stycznia, to funkcja przyjmuje dla tych trzech argumentów wartości ujemne.
Oś dzieli wykres funkcji tak, że każdy punkt wykresu, który leży powyżej osi , ma takie współrzędne, że druga jest dodatnia. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości dodatnie.
Podobnie każdy punkt wykresu, który leży poniżej osi , ma takie współrzędne, że druga jest ujemna. Mówimy wtedy, że funkcja przyjmuje wartości ujemne.
Rozpatrzmy funkcję określoną wzorem . Obliczymy wartości tej funkcji dla argumentów ze zbioru .
Aby odczytać z wykresu funkcji, jaką wartość przyjmuje ona dla danego argumentu , wystarczy narysować prostą równoległą do osi , na której leżą wszystkie punkty, których pierwsza współrzędna jest równa (o takiej prostej mówimy, że ma równanie ). Otrzymamy wtedy dokładnie jeden punkt przecięcia tej prostej z wykresem funkcji. Druga współrzędna tego punktu jest szukaną wartością.
W praktyce często analizujemy wykresy, szukając na nich argumentów, dla których funkcja osiąga pewne szczególne wartości (co było szerzej skomentowane w przykładach wstępnych). Istotną umiejętnością jest odczytanie z wykresu funkcji jej wartości najmniejszej i wartości największej, o ile da się takie wartości wyznaczyć.
Aby odczytać z wykresu, czy i dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość , wystarczy dorysować prostą równoległą do osi , na której leżą wszystkie punkty, których druga współrzędna jest równa (o takiej prostej mówimy, że ma równanie ). Jeżeli taka prosta przecina wykres danej funkcji, to odczytując pierwszą współrzędną każdego z punktów przecięcia, wyznaczymy argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość .
Odczytaj z wykresu funkcji liczbę rozwiązań równania .
Dany jest wykres funkcji .
Odczytajmy miejsca zerowe, dziedzinę i zbiór wartości tej funkcji.
Wskażmy argumenty, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie i ujemne.
Rozwiązanie
Miejsca zerowe tej funkcji to i , ponieważ funkcja dla tych argumentów przyjmuje wartość . Dziedziną tej funkcji jest przedział , a zbiorem wartości tej funkcji jest przedział .
Ta funkcja przyjmuje wartości ujemne dla argumentów z przedziałów i , a wartości dodatnie dla argumentów z przedziału .
Dany jest wykres funkcji .
Obserwujmy, jak przy zmianie położenia punktu na wykresie zmieniają się wartości tej funkcji dla poszczególnych argumentów.
R11XBaMUKjpKx1 REXOuPeiWnkuy1 R1O4Mw6Lkocst1
Funkcję nazywamy rosnącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów rosną wartości funkcji.
Funkcję nazywamy malejącą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów maleją wartości funkcji.
Funkcję nazywamy stałą, jeżeli wraz ze wzrostem argumentów wartość funkcji pozostaje stała.
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji .
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji .
Odczytaj z wykresu i zapisz:
dziedzinę funkcji ,
zbiór wartości funkcji ,
miejsca zerowe funkcji ,
zbiór argumentów, w którym funkcja jest rosnąca,
zbiór argumentów, w którym funkcja jest malejąca,
dla jakich argumentów funkcja jest stała,
dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne,
największą i najmniejszą wartość funkcji .
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji .
Odczytaj z wykresu i zapisz:
dziedzinę funkcji ,
zbiór wartości funkcji ,
miejsca zerowe funkcji ,
zbiór argumentów, w którym funkcja jest rosnąca,
zbiór argumentów, w którym funkcja jest malejąca,
dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie,
dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości ujemne,
największą i najmniejszą wartość funkcji .
Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od ,
funkcja jest rosnąca,
funkcja ma jedno miejsce zerowe,
największa wartość funkcji wynosi .
Opisz wykres funkcji określonej w zbiorze liczb naturalnych mniejszych od , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów większych od ,
funkcja jest rosnąca,
funkcja ma jedno miejsce zerowe,
największa wartość funkcji wynosi .
Narysuj wykres funkcji określonej w zbiorze , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartość ujemną dla jednego argumentu,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
najmniejsza wartość funkcji wynosi .
Opisz wykres funkcji określonej w zbiorze , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartość ujemną dla jednego argumentu,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
najmniejsza wartość funkcji wynosi .
Narysuj wykres funkcji określonej dla każdego argumentu , wiedząc, że:
funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów , takich że ,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów , takich że ,
punkt należy do wykresu funkcji.
Opisz wykres funkcji określonej dla każdego argumentu , wiedząc, że:
funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów , takich że ,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów , takich że ,
punkt należy do wykresu funkcji.
Narysuj wykres funkcji określonej dla każdego argumentu , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu ,
funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów spełniających warunek
,funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Opisz wykres funkcji określonej dla każdego argumentu , wiedząc, że:
funkcja przyjmuje wartości ujemne dla każdego argumentu ,
funkcja jest rosnąca w zbiorze argumentów spełniających warunek
,funkcja ma jedno miejsce zerowe.
Narysuj wykres funkcji, wiedząc, że:
funkcja jest stała w zbiorze argumentów , takich że ,
funkcja nie ma wartości największej,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów , takich że .
Opisz wykres funkcji, wiedząc, że:
funkcja jest stała w zbiorze argumentów , takich że ,
funkcja nie ma wartości największej,
funkcja ma dwa miejsca zerowe,
funkcja jest malejąca w zbiorze argumentów , takich że .