Wyrażenia algebraiczne

Umiejętność zapisywania zależności za pomocą wyrażeń algebraicznych i wykonywania działań na tych wyrażeniach pozwala na uogólnianie problemów i wykonywanie bardziej abstrakcyjnych obliczeń. Poniższa mapa myśli pokazuje ważne elementy, które będziemy tworzyć i analizować w poniższym materiale.

R1WZM8RSYRQ361

Mapa myśli. Lista elementów:

Nazwa kategorii: WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Nazwa kategorii: Co to jest wyrażenie algebraiczne?

Nazwa kategorii: Jest to wyrażenie w którym oprócz liczb oraz znaków działań występują litery.

Nazwa kategorii: np. 7x indeks górny 2 koniec indeksu górnego -3y indeks górny 2 koniec indeksu górnego , 2ab indeks górny 2 koniec indeksu górnego (a+3b)

Nazwa kategorii: Jak tworzymy nazwę wyrażenia algebraicznego?

Nazwa kategorii: Wyrażenia algebraiczne przyjmują nazwę od ostatniego wykonywanego działania.

Nazwa kategorii: np. 3x+2y jest to suma
Nazwa kategorii: np. 3(x-y) jest to iloczyn

Nazwa kategorii: Budowanie wyrażeń algebraicznych.

Nazwa kategorii: np. obwód prostokąta o bokach x i y jest równy 2x+2y
Nazwa kategorii: np. za 3 kilogramy jabłek po a zł za kilogram zapłacono - 3a złotych

Nazwa kategorii: Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.

Nazwa kategorii: Wartość liczbową wyrażenia algebraicznego obliczamy podstawiając liczby zamiast liter.

Nazwa kategorii: np. dla k=2 i m=-1 wyrażenie 2k indeks górny 2 koniec indeksu górnego -m jest równe: 2·(2) indeks górny 2 koniec indeksu górnego -(-1)=2·4+1=8+1=9

Mapa myśli. Lista elementów:

Nazwa kategorii: WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Nazwa kategorii: Co to jest wyrażenie algebraiczne?

Nazwa kategorii: Jest to wyrażenie w którym oprócz liczb oraz znaków działań występują litery.

Nazwa kategorii: np. 7x indeks górny 2 koniec indeksu górnego -3y indeks górny 2 koniec indeksu górnego , 2ab indeks górny 2 koniec indeksu górnego (a+3b)

Nazwa kategorii: Jak tworzymy nazwę wyrażenia algebraicznego?

Nazwa kategorii: Wyrażenia algebraiczne przyjmują nazwę od ostatniego wykonywanego działania.

Nazwa kategorii: np. 3x+2y jest to suma
Nazwa kategorii: np. 3(x-y) jest to iloczyn

Nazwa kategorii: Budowanie wyrażeń algebraicznych.

Nazwa kategorii: np. obwód prostokąta o bokach x i y jest równy 2x+2y
Nazwa kategorii: np. za 3 kilogramy jabłek po a zł za kilogram zapłacono - 3a złotych

Nazwa kategorii: Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego.

Nazwa kategorii: Wartość liczbową wyrażenia algebraicznego obliczamy podstawiając liczby zamiast liter.

Nazwa kategorii: np. dla k=2 i m=-1 wyrażenie 2k indeks górny 2 koniec indeksu górnego -m jest równe: 2·(2) indeks górny 2 koniec indeksu górnego -(-1)=2·4+1=8+1=9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisywanie treści zadań z użyciem liter

Rozwiązując różne zadania, często zapisujemy wyrażenia arytmetyczne i obliczamy ich wartości.
W wyrażeniach arytmetycznych występują: liczby, znaki działań i nawiasy, np.

8 \cdot (12 + 5)

32 - 4

W zadaniach poniżej niektóre dane zapisane są za pomocą liter. Będziemy budować wyrażenia, w których, oprócz liczb, znaków działań i nawiasów, wystąpią litery.

Przykład 1

Kasia jest $3$ razy młodsza od swojej mamy, a mama jest o $4$ lata młodsza od taty Kasi.
Oznaczmy literą $m$ wiek mamy.
Wówczas wiek Kasi to $m : 3$ , a wiek taty to $m + 4$ .
Obejrzyj film i zobacz, jak obliczyć wiek Kasi i taty.

R1VFnQ9DRJmrl1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R86ZJFoHQKHGb1

Ćwiczenie 1

Robert jest $2$ razy młodszy od swojej mamy, a mama jest o $5$ lat młodsza od taty Roberta. Oznaczmy literą $t$ wiek taty.

Przeciągnij i upuść.

$\frac{t}{5}$ , $t - 5$ , $t + 5$ , $\frac{t - 5}{2}$ , $\frac{t}{2}$

............ $-$ wiek mamy Roberta
............ $-$ wiek Roberta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTVxuf5HUWEW91

Ćwiczenie 2

Robert jest $2$ razy młodszy od swojej mamy, a mama jest o $5$ lat młodsza od taty Roberta. Oznaczmy literą $r$ wiek Roberta.

Przeciągnij i upuść.

$r + 5$ , $2 r$ , $r + 2$ , $2 r + 5$ , $2 (r + 5)$

............ $-$ wiek mamy Roberta
............ $-$ wiek taty Roberta

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1CmRs2DlTIN11

Ćwiczenie 3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rm1hLdpEtFqKF1

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RTRYOjH5EAxXG2

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne?
Jak tworzymy nazwę wyrażenia algebraicznego?

Ważne!

Wyrażenia, w których występują: liczby, litery, znaki działań i nawiasy nazywamy wyrażeniami algebraicznymi, np.

2 \cdot a + 6

(x + 3) \cdot (x - 1)

p - 8

\frac{4 + y + x}{3}

Każda z liter w wyrażeniu algebraicznym oznacza pewną liczbę.
Przy zapisywaniu wyrażeń algebraicznych wprowadzono pewne umowy, np.:
Nie zapisujemy znaku mnożenia między liczbą i literą lub między literami
$3 \cdot p$ lub $p \cdot 3$ to $3 p$
$a \cdot c$ to $a c$ .
Nie piszemy liczb $1$ i $- 1$ przed literą.
$1 \cdot x$ lub $1 x$ to $x$
$- 1 \cdot x$ lub $- 1 x$ to $- x$ .
Znak dzielenia zastępujemy kreską ułamkową.
$a : b$ to $\frac{a}{b}$ .

Przykład 2

Odczytamy nazwy następujących wyrażeń algebraicznych.

$4 x$ – iloczyn liczby $4$ przez $x$ ;
$2 x + 1$ – suma iloczynu liczby $2$ przez $x$ i liczby $1$ ;
$5 x - 2$ – różnica iloczynu liczby $5$ przez $x$ i liczby $2$ ;
$\frac{x + 3}{2}$ – iloraz sumy wyrażenia $x$ i liczby $3$ przez liczbę $2$ ;
$\frac{(2 x + 1)}{2} \cdot 3$ – iloczyn, którego pierwszym czynnikiem jest iloraz sumy wyrażenia $2 x$ i liczby $1$ przez liczbę $2$ , a drugim czynnikiem jest liczba $3$ .

Ponieważ dokładne nazwanie skomplikowanego wyrażenia algebraicznego jest uciążliwe, dlatego często nazywane jest od ostatniego działania, które wykonujemy (zgodnie z kolejnością wykonywania działań).

Ważne!

Wyrażenie algebraiczne nazywamy od ostatniego wykonywanego działania.

RzRk1OVWZDKz3

Ćwiczenie 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1409woMgA7x8

Ćwiczenie 7

Przeciągnij i upuść lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej wyrażenie algebraiczne.
różnica podwojonej liczby

x

i liczby

y

2 x - y

, 2.

\frac{x + y}{2}

, 3.

x^{2} + y

, 4.

2 (x - y)

suma kwadratu liczby

x

i liczby

y

2 x - y

, 2.

\frac{x + y}{2}

, 3.

x^{2} + y

, 4.

2 (x - y)

iloraz sumy liczb

x

y

przez liczbę

2

2 x - y

, 2.

\frac{x + y}{2}

, 3.

x^{2} + y

, 4.

2 (x - y)

iloczyn liczby

2

i różnicy liczy

x

y

2 x - y

, 2.

\frac{x + y}{2}

, 3.

x^{2} + y

, 4.

2 (x - y)

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1U43y9nPs1Ch2

Ćwiczenie 8

Połącz w pary wyrażenia algebraiczne, stosując podane wyżej uproszczenia. Iloraz liczby

x

y

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2} + c

, 2.

\frac{a + b}{2}

, 3.

\frac{x}{y}

, 4.

5 c

, 5.

\frac{m}{2} + 6

Iloczyn liczb

5

c

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2} + c

, 2.

\frac{a + b}{2}

, 3.

\frac{x}{y}

, 4.

5 c

, 5.

\frac{m}{2} + 6

Liczba dwa razy mniejsza od sumy liczb

a

b

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2} + c

, 2.

\frac{a + b}{2}

, 3.

\frac{x}{y}

, 4.

5 c

, 5.

\frac{m}{2} + 6

Liczba o

6

większa od połowy liczby

m

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2} + c

, 2.

\frac{a + b}{2}

, 3.

\frac{x}{y}

, 4.

5 c

, 5.

\frac{m}{2} + 6

Suma kwadratu liczby

a

i liczby

c

Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2} + c

, 2.

\frac{a + b}{2}

, 3.

\frac{x}{y}

, 4.

5 c

, 5.

\frac{m}{2} + 6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1GjDUMUF7IR92

Ćwiczenie 9

Zeszyt kosztuje

a

złotych, długopis

b

złotych, a ołówek

c

złotych. Zapisz za pomocą wyrażenia algebraicznego. Ile złotych trzeba zapłacić za zeszyt, długopis i

3

ołówki. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{a + b}{a + c}

, 2.

a + b + 3 c

, 3.

10 b - 5 c

, 4.

4 a + 2 c

Ile złotych trzeba zapłacić za

4

zeszyty i

2

ołówki. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{a + b}{a + c}

, 2.

a + b + 3 c

, 3.

10 b - 5 c

, 4.

4 a + 2 c

O ile złotych więcej kosztuje

10

długopisów niż

5

ołówków. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{a + b}{a + c}

, 2.

a + b + 3 c

, 3.

10 b - 5 c

, 4.

4 a + 2 c

Ile razy więcej kosztuje zeszyt z długopisem niż zeszyt z ołówkiem. Możliwe odpowiedzi: 1.

\frac{a + b}{a + c}

, 2.

a + b + 3 c

, 3.

10 b - 5 c

, 4.

4 a + 2 c

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

W sklepie cukierniczym sprzedawane są cukierki owocowe w cenie po $a zł$ za kilogram oraz cukierki czekoladowe w cenie po $b zł$ za kilogram.
Ania i Hania postanowiły zakupić mieszanki cukierków na urodzinowe przyjęcie.

R1crSnAuoZ0OL

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, dostępny w internecie: Pexels.com/Unsplash.com, licencja: CC BY 3.0.

Ania kupiła $3 kg$ cukierków owocowych i $1 kg$ cukierków czekoladowych, a Hania $2 kg$ cukierków owocowych i $3 kg$ cukierków czekoladowych.

R1IgYYXhaLeue

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RfZxHGuUzMR9u

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1YBT4Tz2KiJq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wyrażenia algebraiczne w geometrii

R1IWsmRbmGhiq2

Ćwiczenie 11

Połącz w pary obwód figury z odpowiednim wyrażeniem algebraicznym. Obwód trójkąta równobocznego o boku

a

. Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a + 2 b

, 2.

3 a

, 3.

b + 2 a

, 4.

a + 2 b

, 5.

4 a

Obwód równoległoboku o bokach

a

b

. Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a + 2 b

, 2.

3 a

, 3.

b + 2 a

, 4.

a + 2 b

, 5.

4 a

Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie

a

i ramionach

b

. Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a + 2 b

, 2.

3 a

, 3.

b + 2 a

, 4.

a + 2 b

, 5.

4 a

Obwód kwadratu o boku

a

. Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a + 2 b

, 2.

3 a

, 3.

b + 2 a

, 4.

a + 2 b

, 5.

4 a

Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie

b

i ramionach

a

. Możliwe odpowiedzi: 1.

2 a + 2 b

, 2.

3 a

, 3.

b + 2 a

, 4.

a + 2 b

, 5.

4 a

Połącz w pary obwód figury z odpowiednim wyrażeniem algebraicznym.

Obwód trójkąta równobocznego o boku $a$ .
Obwód równoległoboku o bokach $a$ i $b$ .
Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie $a$ i ramionach $b$ .
Obwód kwadratu o boku $a$ .
Obwód trójkąta równoramiennego o podstawie $b$ i ramionach $a$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

ReLrJ5bVWSzgg1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RNdzo0z6yGaOM

Połącz opis figury z wyrażeniem algebraicznym, które opisuje jej pole. Figura złożona z prostokąta, którego krótszy bok ma długość

a

, natomiast dłuższy bok jest trzy razy dłuższy oraz z kwadratu o boku

a

. Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2}

, 2.

a^{2} + 3 a \cdot a

, 3.

2 a^{2}

, 4.

\frac{(a + 2 a) \cdot a}{2}

Trapez o wysokości

a

, krótszej podstawie równej wysokości oraz dłuższej podstawie dwa razy dłuższej od wysokości. Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2}

, 2.

a^{2} + 3 a \cdot a

, 3.

2 a^{2}

, 4.

\frac{(a + 2 a) \cdot a}{2}

Figura złożona z dwóch takich samych równoległoboków, których podstawy mają długość

a

i wysokości mają taką samą długość jak podstawy. Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2}

, 2.

a^{2} + 3 a \cdot a

, 3.

2 a^{2}

, 4.

\frac{(a + 2 a) \cdot a}{2}

Figura złożona z dwóch takich samych równoległoboków, w których podstawy mają długość

a

i wysokości są dwa razy krótsze od podstaw. Możliwe odpowiedzi: 1.

a^{2}

, 2.

a^{2} + 3 a \cdot a

, 3.

2 a^{2}

, 4.

\frac{(a + 2 a) \cdot a}{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Poniższy rysunek przedstawia dwie figury o polach $a$ oraz $b$ . Z figur tych zbudowano inne.
Połącz w pary figury i ich pola.

RxCXHbxsyn91B

R12BgPdgsFGgq

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R15OhSUmkXMUe

Dane są dwie figury, trójkąt o polu

a

oraz prostokąt o polu

b

. Z figur tych zbudowano inne.
Połącz w pary figury i ich pola. Figura złożona z jednego prostokąta i dwóch trójkątów. Możliwe odpowiedzi: 1.

3 a + b

, 2.

2 a + 3 b

, 3.

b - 2 a

, 4.

2 a + b

Figura złożona z prostokąta, a którego wycięto dwa trójkąty. Możliwe odpowiedzi: 1.

3 a + b

, 2.

2 a + 3 b

, 3.

b - 2 a

, 4.

2 a + b

Figura złożona z czterech trójkątów i z prostokąta, z którego wycięto jeden trójkąt. Możliwe odpowiedzi: 1.

3 a + b

, 2.

2 a + 3 b

, 3.

b - 2 a

, 4.

2 a + b

Figura złożona z trzech prostokątów i dwóch trójkątów. Możliwe odpowiedzi: 1.

3 a + b

, 2.

2 a + 3 b

, 3.

b - 2 a

, 4.

2 a + b

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Przykład 3

W pewnej klasie jest $d$ dziewcząt, a chłopców jest o $3$ więcej niż dziewcząt.
Liczbę wszystkich uczniów tej klasy możemy zapisać za pomocą wyrażenia: $d + d + 3$ .
Obliczmy, ilu uczniów jest w tej klasie, jeżeli jest w niej $10$ dziewcząt lub $12$ dziewcząt.
Jeżeli $d = 10$ , zatem $d + d + 3 = 10 + 10 + 3 = 23$ .
Jeżeli $d = 12$ , zatem $d + d + 3 = 12 + 12 + 3 = 27$ .

Wartość wyrażenia algebraicznego za każdym razem jest inna. Zależy ona od tego, jaką liczbę wstawimy zamiast litery w tym wyrażeniu.

RctskNpbboh3T2

Ćwiczenie 14

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

Zmieniając za pomocą suwaków liczby $m$ i $n$ , możesz sprawdzić, jaka jest wartość wyrażenia $- 2 m + 0, 5 n$ dla wybranych liczb $m$ i $n$ .

Podaj wartość wyrażenia $- 2 m + 0, 5 n$ dla

$m = 6$ , $n = - 10$ ,
$m = - 8$ , $n = 4$ ,
$m = - 17$ , $n = - 12$ ,
$m = 11$ , $n = 16$ .

Rg3fsXfspXKuD1

$- 17$
$18$
$28$
$- 14$

Rxks1PeQWMkp72

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

R1ecH0jZnOKxJ2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$13$
$110$
$0$
$2$

RIkHgrCIIpk2h

Ćwiczenie 17

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisywanie treści zadań z użyciem liter

Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne?Jak tworzymy nazwę wyrażenia algebraicznego?

Wyrażenia algebraiczne w geometrii

Wartość liczbowa wyrażenia algebraicznego

Jak zbudowane jest wyrażenie algebraiczne?
Jak tworzymy nazwę wyrażenia algebraicznego?