Pole koła
Już w starożytności genialny twórca i myśliciel – Archimedes – zaznaczył swój wkład w rozwój matematyki. W traktacie „O mierzeniu okręgu” pokazał, że pole koła jest równe polu trójkąta równoramiennego, którego podstawą jest odcinek o długości równej obwodowi koła, a wysokością jest promień koła.
Problemem starożytnej matematyki greckiej była również kwadratura koła - czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła.
Czy problem szkoły pitagorejskiej udało się rozwiązać, czy też okazało się to niemożliwe?
W tym materiale zajmiemy się zastosowaniem wzoru na pole koła, aby pogłębiać wiedzę i analizować starożytne problemy geometrii.
Koło
Kołem o środku w punkcie i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu jest mniejsza bądź równa .
– koło o środku w punkcie i promieniu
Pole koła
Tytuł apletu: Pole koła. Aplet składa się z dwudziestu sześciu etapów. Etap pierwszy. Treść: Naszym zadaniem jest wyznaczenie pola koła o promieniu r. Najpierw podzielimy koło na pewną liczbę równych wycinków tego koła. Ilustracja: Grafika obok przedstawia koło o promieniu r. Narysowano poziomą styczną do dolnej części koła i podpisano pod nią pi razy r. Nad linią zapisano r. Etap drugi. Treść: Zacznijmy od czterech takich wycinków. W tym celu wybierzemy pionowym suwakiem liczbę cztery. Podzieliśmy koło na cztery wycinki koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie cztery, koło zostało podzielone na cztery równe części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Dwie ćwiartki po lewej stronie są niebiskie, a dwie ćwiartki po prawej stronie czerwone. Etap trzeci. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebieski suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, ćwiartki koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap czwarty: Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Niebieska linia suwaka zostaje przedłużona o czerwoną część. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że ćwiartki koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap piąty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę cztery części koła łączą się w jedno koło. Etap szósty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na osiem części. Podzieliliśmy koło na osiem wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie osiem, koło zostało podzielone na osiem równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Cztery części po lewej stronie są niebiskie, a cztery części po prawej stronie czerwone. Etap siódmy. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap ósmy. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dziewiąty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę osiem części koła łączą się w jedno koło. Etap dziesiąty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na dziesięć części. Podzieliliśmy koło na dziesięć wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dziesięć, koło zostało podzielone na dziesięć równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Pięć części po lewej stronie są niebiskie, a pięć części po prawej stronie czerwone. Etap jedenasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwunasty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap trzynasty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap czternasty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na szesnaście części. Podzieliliśmy koło na szesnaście wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie szesnastu, koło zostało podzielone na szesnaście równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Osiem części po lewej stronie są niebiskie, a osiem części po prawej stronie czerwone. Etap piętnasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap szesnasty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap siedemnasty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap osiemnasty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na dwadzieścia cztery części. Podzieliliśmy koło na dwadzieścia cztery wycinki koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dwudziestym czwartym, koło zostało podzielone na dwadzieścia cztery równe części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Dwanaście części po lewej stronie są niebiskie, a dwanaście części po prawej stronie czerwone. Etap dziewiętnasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwudziesty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dwudziesty pierwszy. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap dwudziesty drugi. Treść: teraz podzielimy koło na dużą, ale ograniczoną liczbę wycinków. Podzieliliśmy koło na dwieście wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dwieście, koło zostało podzielone na dwieście równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Sto części po lewej stronie są niebiskie, a sto części po prawej stronie czerwone. Etap dwudziesty trzeci. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwudziesty czwarty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą prostokąt. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dwudziesty piąty. Treść: Teraz, przy dużej liczbie podziału koła na wycinki widać, ze suma tych wycinków koła zbliża się do kształtu prostokąta. Jego wymiary to : długość równa połowie obwodu, czyli pi razy r, wysokość to długość promienia okręgu. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap dwudziesty szósty. Treść: Tak więc pole koła o promieniu r ma wartość pole koła równa się pi razy r do kwadratu. Ilustracja: Nad prostokątem utworzonym z wycinków koła pojawia się wzór pi razy r do kwadratu.
Pole koła o promieniu jest równe iloczynowi liczby i kwadratu promienia.
Obliczanie pola koła
Oblicz pole koła o promieniu .
Do wzoru na pole koła wstawiamy .
Pole koła jest równe .
Obwód małego znaku zakazu wynosi . Oblicz, ile blachy potrzeba na jego wykonanie.
Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.
Korzystamy ze wzoru na pole koła.
Przyjmijmy , wtedy
Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około blachy.
Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe . Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o boku długości ?
Obliczamy najpierw średnicę koła, w kształcie którego jest konfetti.
bo . Mamy
Ponieważ , zatem w kwadracie o boku zmieści się kół o średnicy każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć konfetti.
Hania, Lena i Zosia wybrały się do pizzerii. Hania zamówiła małą pizzę z pomidorami o średnicy , a Lena i Zosia wspólną dużą pizzę z szynką o średnicy .
Ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani?
Rozwiązanie:
Pizza Hani ma średnicę , czyli
Zatem pole pizzy Hani wynosi:
Analogicznie obliczymy pole drugiej pizzy.
zatem
Aby obliczyć, ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani wykonamy działanie:
Pizza Leny i Zosi jest razy większa od pizzy Hani.
Tymon i Kuba zamówili w pizzerii okrągłą pizzę o średnicy , która została podzielona na osiem takich samych kawałków. Tymon zjadł pięć kawałków pizzy, a Kuba trzy kawałki. O ile większa była porcja, którą zjadł Tymon od porcji Kuby?
Pani Kwiatkowska wygospodarowała w swoim ogrodzie dwie rabaty: pierwszą w kształcie prostokąta o bokach długości i oraz drugą, w kształcie koła o promieniu . W której rabacie pani Kwiatkowska może posadzić więcej bratków?
Rozwiązanie:
Obliczymy pole prostokątnej rabaty.
Pole prostokątnej rabaty wynosi zatem .
Obliczymy pole okrągłej rabaty.
Pole okrągłej rabaty wynosi zatem .
Pani Kwiatkowska posadzi więcej bratków w rabacie w kształcie prostokąta.
Na działce w kształcie kwadratu o boku Pani Bratkowska wygospodarowała rabatę o kształcie koła o promieniu . Jakim procentem działki jest rabata?
Adam i Karol chcą zamówić pizzę na kolację. Adam twierdzi, że bardziej opłaca się zamówić największą pizzę o średnicy za złotych. Karol twierdzi, że bardziej opłaca się kupić dwie pizze, z których każda ma średnicę i kosztuje złotych. Który z nich ma rację?
Rozwiązanie
Aby sprawdzić, która opcja bardziej się opłaca, obliczymy pola, jakie mają pizze. Zauważmy, że w obu przypadkach rachunek wyniesie tyle samo, więc wystaczy porównać pola pizz.
Pierwsza pizza ma średnicę , przy czym
.
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.
Teraz obliczymy pole pizzy.
Pizze w drugiej opcji mają średnicę , przy czym
.
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.
Teraz obliczymy pole jednej pizzy.
Nie zapominamy o tym, że w drugim przypadku zamówione zostałyby dwie pizze.
, zatem to Adam ma rację.
Obliczymy, czy większy promień ma kolorowa nalepka w kształcie koła o polu , czy czarno‑biała nalepka w kształcie koła o obwodzie ?
Rozwiązanie
Najpierw obliczymy promień kolorowej nalepki o danym polu.
bo .
Analogicznie obliczymy promień czarno‑białej nalepki o danym obwodzie.
bo .
Ponieważ , zatem druga nalepka ma większy promień.
Obliczymy pole zaznaczonej części figury.
Przyjmiemy, że pole jednej kratki jest równe .
Rozwiązanie:
Najpierw obliczymy pole mniejszego okręgu o promieniu .
Pole okręgu o promieniu jest równe:
Pole kwadratu o boku jest równe:
Pole zamalowanej części () obliczymy ze wzoru:
Pole zamalowanej części jest równe .
Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny, która jest ograniczona przez dwa współśrodkowe okręgi.
Grafika przedstawia pierścień kołowy z podpisanymi elementami.
Środek obu okręgów oznaczono literą S.
Promień okręgu wewnętrznego oznaczono małą literą r.
Promień okręgu zewnętrznego oznaczono dużą literą R.
Część płaszczyzny, która jest ograniczona przez dwa współśrodkowe okręgi podpisano pierścień kołowy.
Pole pierścienia kołowego obliczamy ze wzoru:
Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy , a większego .
Obliczymy pole zaznaczonego pierścienia.
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy, że promień mniejszego koła jest równy .
Promień drugiego koła jest równy:
Pole pierścienia kołowego obliczymy ze wzoru:
Pole pierścienia jest równe .
Wokół klombu w kształcie koła o średnicy ogrodnik wykonał brukowany chodnik o szerokości . Obliczymy, jaką powierzchnię ma chodnik.
Rozwiązanie:
Powierzchnię chodnika obliczymy korzystając ze wzoru na pole pierścienia kołowego.
Promień klombu wynosi .
Promień okręgu utworzonego przez klomb wraz z chodnikiem wynosi .
Zatem
Chodnik ma powierzchnię około .
Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe .
Oblicz pole zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku.