Pole koła

Już w starożytności genialny twórca i myśliciel – Archimedes – zaznaczył swój wkład w rozwój matematyki. W traktacie „O mierzeniu okręgu” pokazał, że pole koła jest równe polu trójkąta równoramiennego, którego podstawą jest odcinek o długości równej obwodowi koła, a wysokością jest promień koła.
Problemem starożytnej matematyki greckiej była również kwadratura koła - czyli skonstruowanie kwadratu, którego pole jest równe polu danego koła.
Czy problem szkoły pitagorejskiej udało się rozwiązać, czy też okazało się to niemożliwe?
W tym materiale zajmiemy się zastosowaniem wzoru na pole koła, aby pogłębiać wiedzę i analizować starożytne problemy geometrii.

Koło

RBG3Q91VBXxVo1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Koło

Definicja: Koło

Kołem o środku w punkcie $S$ i promieniu r nazywamy zbiór tych punktów płaszczyzny, których odległość od punktu $S$ jest mniejsza bądź równa $r$ .

R13wGbahCLVk01

Rysunek koła o środku w punkcie S i promieniu r. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$K (S, r)$ – koło o środku w punkcie $S$ i promieniu $r$

R1KdDOjF7dRRw11

Tytuł apletu: Pole koła. Aplet składa się z dwudziestu sześciu etapów. Etap pierwszy. Treść: Naszym zadaniem jest wyznaczenie pola koła o promieniu r. Najpierw podzielimy koło na pewną liczbę równych wycinków tego koła. Ilustracja: Grafika obok przedstawia koło o promieniu r. Narysowano poziomą styczną do dolnej części koła i podpisano pod nią pi razy r. Nad linią zapisano r. Etap drugi. Treść: Zacznijmy od czterech takich wycinków. W tym celu wybierzemy pionowym suwakiem liczbę cztery. Podzieliśmy koło na cztery wycinki koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie cztery, koło zostało podzielone na cztery równe części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Dwie ćwiartki po lewej stronie są niebiskie, a dwie ćwiartki po prawej stronie czerwone. Etap trzeci. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebieski suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, ćwiartki koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap czwarty: Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Niebieska linia suwaka zostaje przedłużona o czerwoną część. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że ćwiartki koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap piąty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę cztery części koła łączą się w jedno koło. Etap szósty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na osiem części. Podzieliliśmy koło na osiem wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie osiem, koło zostało podzielone na osiem równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Cztery części po lewej stronie są niebiskie, a cztery części po prawej stronie czerwone. Etap siódmy. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap ósmy. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dziewiąty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę osiem części koła łączą się w jedno koło. Etap dziesiąty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na dziesięć części. Podzieliliśmy koło na dziesięć wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dziesięć, koło zostało podzielone na dziesięć równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Pięć części po lewej stronie są niebiskie, a pięć części po prawej stronie czerwone. Etap jedenasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwunasty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap trzynasty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap czternasty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na szesnaście części. Podzieliliśmy koło na szesnaście wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie szesnastu, koło zostało podzielone na szesnaście równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Osiem części po lewej stronie są niebiskie, a osiem części po prawej stronie czerwone. Etap piętnasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap szesnasty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap siedemnasty. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap osiemnasty. Treść: Zwiększ liczbę podziału koła na przykład na dwadzieścia cztery części. Podzieliliśmy koło na dwadzieścia cztery wycinki koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dwudziestym czwartym, koło zostało podzielone na dwadzieścia cztery równe części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Dwanaście części po lewej stronie są niebiskie, a dwanaście części po prawej stronie czerwone. Etap dziewiętnasty. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwudziesty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą równoległobok. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dwudziesty pierwszy. Treść: Koło zastąpiliśmy figurą o takim samym polu, ale innym kształcie. Zanim przejdziemy do kolejnego etapu powróćmy suwakiem F do początku odcinka niebieskiego. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap dwudziesty drugi. Treść: teraz podzielimy koło na dużą, ale ograniczoną liczbę wycinków. Podzieliliśmy koło na dwieście wycinków koła. Ilustracja: Po lewej stronie znajduje się pionowy suwak od zera do dwustu z krokiem co dwa. Dzięki ustawianiu suwaka na poziomie dwieście, koło zostało podzielone na dwieście równych części wzdłuż pionowej i poziomej średnicy. Sto części po lewej stronie są niebiskie, a sto części po prawej stronie czerwone. Etap dwudziesty trzeci. Treść: Umieścimy te wycinku jeden obok drugiego. W tym celu przesuń suwak F do końca niebieskiego odcinka. Pod spodem znajduje się poziomy niebiesko‑czerwony suwak z podpisem F. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka według instrukcji, części koła zostają ułożone jedna bok drugiej od punktu D oznaczonego jako punkt styczności stycznej i koła. Etap dwudziesty czwarty. Treść: Teraz obróćmy niebieskie wycinki tak aby znalazły się pomiędzy czerwonymi. W tym celu przesuńmy suwak F do końca, po czerwonym odcinku. Ilustracja: Po przesunięciu nowego suwaka maksymalnie w prawą stronę powoduje, że części koła wpasowują się w siebie tworząc figurę o nierównych krawędziach przypominającą prostokąt. Podstawa ma długość pi razy r, a wysokość r. Etap dwudziesty piąty. Treść: Teraz, przy dużej liczbie podziału koła na wycinki widać, ze suma tych wycinków koła zbliża się do kształtu prostokąta. Jego wymiary to : długość równa połowie obwodu, czyli pi razy r, wysokość to długość promienia okręgu. Ilustracja: Po przesunięciu suwaka w lewą stronę dziesięć części koła łączą się w jedno koło. Etap dwudziesty szósty. Treść: Tak więc pole koła o promieniu r ma wartość pole koła równa się pi razy r do kwadratu. Ilustracja: Nad prostokątem utworzonym z wycinków koła pojawia się wzór pi razy r do kwadratu.

Ważne!

Pole koła o promieniu $r$ jest równe iloczynowi liczby $π$ i kwadratu promienia.

P = π r^{2}

RwNi0fi4MXsuS1

Rysunek koła o promieniu r. Zapis: P równa się pi razy r do potęgi drugiej. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczanie pola koła

Przykład 1

Oblicz pole koła o promieniu $4 dm$ .
Do wzoru na pole koła wstawiamy $r = 4$ .

P = π \cdot 4^{2} = 16 π

Pole koła jest równe $16 π {dm}^{2}$ .

Przykład 2

Obwód małego znaku zakazu wynosi $60 π cm$ . Oblicz, ile ${cm}^{2}$ blachy potrzeba na jego wykonanie.

Rw5tP0uzPY7C71

Rysunek o kształcie koła znaku zakazu skrętu w prawo. Obwód koła czerwony, na białym tle przekreślona na czerwono, czarna zgięta pod kątem prostym strzałka, skierowana w prawo. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Obliczymy najpierw promień koła, w kształcie którego jest znak – korzystamy ze wzoru na obwód koła.

L = 2 π r

60 π = 2 π r | : 2 π

r = 30

Korzystamy ze wzoru na pole koła.

P = π r^{2}

P = π \cdot 3 0^{2}

P = 900 π

Przyjmijmy $π \approx 3, 14$ , wtedy

P \approx 900 \cdot 3, 14 = 2826

Na wykonanie małego znaku zakazu potrzeba około $2826 {cm}^{2}$ blachy.

Przykład 3

Pole powierzchni jednego okrągłego konfetti jest równe $4 π {mm}^{2}$ . Ile takich konfetti można wyciąć z kwadratowej kartki papieru o boku długości $1, 2 cm$ ?
Obliczamy najpierw średnicę $d$ koła, w kształcie którego jest konfetti.

4 π = π r^{2}

r^{2} = 4

r = 2

bo $r > 0$ . Mamy

d = 2 r

d = 4

Ponieważ $1, 2 cm = 12 mm$ , zatem w kwadracie o boku $12 mm$ zmieści się $9$ kół o średnicy $4 mm$ każde.
Z kwadratowej kartki można wyciąć $9$ konfetti.

Przykład 4

Hania, Lena i Zosia wybrały się do pizzerii. Hania zamówiła małą pizzę z pomidorami o średnicy $15 cm$ , a Lena i Zosia wspólną dużą pizzę z szynką o średnicy $30 cm$ .
Ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani?

Rozwiązanie:

Pizza Hani ma średnicę $d_{1} = 15 cm$ , czyli

d_{1} = 2 r_{1}

2 r_{1} = 15

r_{1} = 7, 5

Zatem pole pizzy Hani wynosi:

P_{1} = π r_{1}^{2}

P_{1} = π {(7, 5)}^{2} = 56, 25 π

Analogicznie obliczymy pole drugiej pizzy.

d_{2} = 2 r_{2}

2 r_{2} = 30

r_{2} = 15

zatem

P_{2} = π r_{2}^{2}

P_{2} = π \cdot 15^{2} = 225 π

Aby obliczyć, ile razy pizza Leny i Zosi jest większa od pizzy Hani wykonamy działanie:

\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{225 π}{56, 25 π} = 4

Pizza Leny i Zosi jest $4$ razy większa od pizzy Hani.

Ćwiczenie 1

Tymon i Kuba zamówili w pizzerii okrągłą pizzę o średnicy $32 cm$ , która została podzielona na osiem takich samych kawałków. Tymon zjadł pięć kawałków pizzy, a Kuba trzy kawałki. O ile ${cm}^{2}$ większa była porcja, którą zjadł Tymon od porcji Kuby?

R10aGM2VA0Pg6

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$r = \frac{32}{2} = 16$
$P = π r^{2}$
$P = π \cdot 16^{2} = 256 π$
$P_{T} = \frac{5}{8} \cdot 256 π = 160 π$
$P_{K} = \frac{3}{8} \cdot 256 π = 96 π$
$P_{T} - P_{K} = 160 π - 96 π = 64 π \approx 64 \cdot 3, 14 \approx 201$

Odpowiedź: Porcja, którą zjadł Tymon była o około $201 {cm}^{2}$ większa od porcji, którą zjadł Kuba.

Przykład 5

Pani Kwiatkowska wygospodarowała w swoim ogrodzie dwie rabaty: pierwszą w kształcie prostokąta o bokach długości $3 m$ i $2 m$ oraz drugą, w kształcie koła o promieniu $1 m$ . W której rabacie pani Kwiatkowska może posadzić więcej bratków?

Rozwiązanie:

Obliczymy pole prostokątnej rabaty.

P_{▭} = a \cdot b

P_{▭} = 3 \cdot 2 = 6

Pole prostokątnej rabaty wynosi zatem $6 m^{2}$ .
Obliczymy pole okrągłej rabaty.

P_{○} = π r^{2}

P_{○} = π \cdot 1^{2} \approx 3, 14 \cdot 1 = 3, 14

Pole okrągłej rabaty wynosi zatem $3, 14 m^{2}$ .
Pani Kwiatkowska posadzi więcej bratków w rabacie w kształcie prostokąta.

Ćwiczenie 2

Na działce w kształcie kwadratu o boku $25 m$ Pani Bratkowska wygospodarowała rabatę o kształcie koła o promieniu $2 m$ . Jakim procentem działki jest rabata?

RWpoCKWGpOody

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$P_{dz} = 25^{2} = 625$
$P_{r} = π \cdot 2^{2} = 4 π \approx 4 \cdot 3, 14 = 12, 58$
$\frac{12, 58}{625} \cdot 100 % \approx 0, 02 \cdot 100 % = 2 %$

Odpowiedź: Rabata stanowi około $2 %$ działki.

Przykład 6

Adam i Karol chcą zamówić pizzę na kolację. Adam twierdzi, że bardziej opłaca się zamówić największą pizzę o średnicy $60 cm$ za $70$ złotych. Karol twierdzi, że bardziej opłaca się kupić dwie pizze, z których każda ma średnicę $40 cm$ i kosztuje $35$ złotych. Który z nich ma rację?

Rozwiązanie

Aby sprawdzić, która opcja bardziej się opłaca, obliczymy pola, jakie mają pizze. Zauważmy, że w obu przypadkach rachunek wyniesie tyle samo, więc wystaczy porównać pola pizz.

Pierwsza pizza ma średnicę $d_{1} = 60$ , przy czym
$d_{1} = 2 r_{1}$ .
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.

r_{1} = \frac{d_{1}}{2} = \frac{60}{2} = 30

Teraz obliczymy pole pizzy.

P_{1} = π {(r_{1})}^{2} = 900 π

Pizze w drugiej opcji mają średnicę $d_{2} = 40$ , przy czym
$d_{2} = 2 r_{2}$ .
Przekształcamy równość, podstawiamy liczby i otrzymujemy promień pizzy.

r_{2} = \frac{d_{2}}{2} = \frac{40}{2} = 20

Teraz obliczymy pole jednej pizzy.

P_{2} = π {(r_{2})}^{2} = 400 π

Nie zapominamy o tym, że w drugim przypadku zamówione zostałyby dwie pizze.

P_{c} = 2 P_{2} = 2 \cdot 400 π = 800 π

$P_{1} > P_{c}$ , zatem to Adam ma rację.

Przykład 7

Obliczymy, czy większy promień ma kolorowa nalepka w kształcie koła o polu $16 π {cm}^{2}$ , czy czarno‑biała nalepka w kształcie koła o obwodzie $10 π cm$ ?

Rozwiązanie

Najpierw obliczymy promień kolorowej nalepki o danym polu.

P_{1} = π r_{1}^{2}

π r_{1}^{2} = 16 π

r_{1}^{2} = 16

r_{1} = 4

bo $r_{1} > 0$ .
Analogicznie obliczymy promień czarno‑białej nalepki o danym obwodzie.

L_{2} = 2 π r_{2}

2 π r_{2} = 10 π

r_{2} = 5

bo $r_{2} > 0$ .

Ponieważ $5 > 4$ , zatem druga nalepka ma większy promień.

Przykład 8

Obliczymy pole zaznaczonej części figury.
Przyjmiemy, że pole jednej kratki jest równe $1$ .

Rrfkhn5fPDClc

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku długości cztery, wewnątrz którego umieszczono niezamalowane koło, którego średnica ma długość cztery. Wewnątrz tego niezamalowanego koła umieszczono dwa zamalowane koła, których średnicę mają długość dwa. Mniejsze koła mają ze sobą jeden punkt wspólny. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Najpierw obliczymy pole mniejszego okręgu o promieniu $1$ .

P_{1} = π r_{1}^{2}

P_{1} = π \cdot 1^{2} = 1 π

Pole okręgu o promieniu $r_{2} = 2$ jest równe:

P_{2} = π r_{2}^{2}

P_{2} = π \cdot 2^{2} = 4 π

Pole kwadratu o boku $4$ jest równe:

P_{K} = 4^{2} = 16

Pole zamalowanej części ( $P_{Z}$ ) obliczymy ze wzoru:

P_{Z} = P_{K} - P_{2} + 2 P_{1}

P_{Z} = 16 - 4 π + 2 π = 16 - 2 π

Pole zamalowanej części jest równe $16 - 2 π$ .

Ważne!

Pierścieniem kołowym nazywamy część płaszczyzny, która jest ograniczona przez dwa współśrodkowe okręgi.

R1FGHVDLKbPSx

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Grafika przedstawia pierścień kołowy z podpisanymi elementami.

Środek obu okręgów oznaczono literą S.
Promień okręgu wewnętrznego oznaczono małą literą r.
Promień okręgu zewnętrznego oznaczono dużą literą R.
Część płaszczyzny, która jest ograniczona przez dwa współśrodkowe okręgi podpisano pierścień kołowy.

Pole pierścienia kołowego obliczamy ze wzoru:

$P = π R^{2} - π r^{2} = π (R^{2} - r^{2})$

Ćwiczenie 3

Promień mniejszego z kół na rysunku jest równy $11$ , a większego $17$ .

R1PXNNIH7c2Y51

Rysunek pierścienia kołowego. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RUBtZtZKBdZ0y

$121 π$
$289$
$168 π$
$410 π$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 9

Obliczymy pole zaznaczonego pierścienia.

RciXMF503lca1

Ilustracja przedstawia pierścień kołowy. Wewnętrzne, niezamalowane koło ma średnicę o długości cztery. Długość odcinka między kołem zewnętrznym a wewnętrznym wynosi trzy. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że promień $r$ mniejszego koła jest równy $2$ .
Promień $R$ drugiego koła jest równy:

R = 2 + 3 = 5

Pole pierścienia kołowego obliczymy ze wzoru:

P = π (R^{2} - r^{2})

P = π (5^{2} - 2^{2}) = π (25 - 4) = 21 π

Pole pierścienia jest równe $21 π$ .

Przykład 10

Wokół klombu w kształcie koła o średnicy $10 m$ ogrodnik wykonał brukowany chodnik o szerokości $1, 5 m$ . Obliczymy, jaką powierzchnię ma chodnik.

Rozwiązanie:

Powierzchnię chodnika obliczymy korzystając ze wzoru na pole pierścienia kołowego.

P = π (R^{2} - r^{2})

Promień klombu wynosi $r = 5 m$ .
Promień okręgu utworzonego przez klomb wraz z chodnikiem wynosi $R = 5 + 1, 5 = 6, 5 m$ .
Zatem

P = π (6, 5^{2} - 5^{2}) = π (42, 25 - 25) = 17, 25 π

17, 25 \cdot 3, 14 \approx 54

Chodnik ma powierzchnię około $54 m^{2}$ .

R2vJSSsJ9Gocf

Ćwiczenie 4

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RR51NG0ipmrLY

Ćwiczenie 5

Połącz w pary długość średnicy i pole koła.

d = 4

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

d = 2

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

d = 2 π

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

d = 4 π

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

d = 1

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

d = π

Możliwe odpowiedzi: 1.

P = \frac{1}{2} π^{2}

, 2.

P = \frac{1}{4} π

, 3.

P = 2 π^{2}

, 4.

P = π^{2}

, 5.

P = π

, 6.

P = 4 π

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RKmGqyCmZTy3r

Ćwiczenie 6

$6.76 π$
$3,38 π$
$1,3 π$
$1,69 π$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

R1QZ9FcluqHxJ

$1 \frac{5}{9} π$
$\frac{7}{9} π$
$1 \frac{17}{81} π$
$\frac{7}{9} π^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 8

R1EEc8qddTelP

około $2826 {cm}^{2}$
około $706,5 {cm}^{2}$
około $900 {cm}^{2}$
około $225 {cm}^{2}$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 9

RiLvNRFmzXrNG

Jak zmieni się pole koła, gdy jego średnicę odpowiednio zmodyfikujemy jego średnicę? Połącz w pary. Zwiększając dwukrotnie średnicę Możliwe odpowiedzi: 1. zwiększymy pole koła

1, 96

razy., 2. zmniejszymy pole koła

36

-krotnie., 3. pole koła zwiększymy się czterokrotnie., 4. zmniejszymy pole koła

0, 64

razy. Zmniejszając sześciokrotnie średnicę Możliwe odpowiedzi: 1. zwiększymy pole koła

1, 96

razy., 2. zmniejszymy pole koła

36

-krotnie., 3. pole koła zwiększymy się czterokrotnie., 4. zmniejszymy pole koła

0, 64

razy. Zwiększając średnicę o

40 %

Możliwe odpowiedzi: 1. zwiększymy pole koła

1, 96

razy., 2. zmniejszymy pole koła

36

-krotnie., 3. pole koła zwiększymy się czterokrotnie., 4. zmniejszymy pole koła

0, 64

razy. Zmniejszając średnicę o

20 %

Możliwe odpowiedzi: 1. zwiększymy pole koła

1, 96

razy., 2. zmniejszymy pole koła

36

-krotnie., 3. pole koła zwiększymy się czterokrotnie., 4. zmniejszymy pole koła

0, 64

razy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 10

Przyjmij, że pole zielonego kwadratu jest równe $1$ .

R1DCdc8cW0yfJ1

Rysunek przedstawia kwadrat i koło umieszczone na siatce. Kwadrat zajmuje jedną kratkę, koło ma średnicę o długości sześciu kratek. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RoDJITf40FWup

Pole koła jest większe od $29$ .
Obwód koła jest mniejszy od $18$ .
Pole kola jest mniejsze od $28$ .
Obwód kola jest większy od $20$ .

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RtczGMl7Zryzj

Ćwiczenie 11

$6 m$
$3 m$
$32 m$
$10 m$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

R1bMKTxIEUHvY

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najpierw obliczymy promień koła. Wiemy, że jego średnica $d$ wynosi $18$ , więc
$d = 2 r$ ,
$r = \frac{d}{2} = 9$ .
Z treści zadania wynika, że pole kwadratu i koła są równe, co możemy zapisać jako
$P_{□} = P_{○}$ .
Podstawiamy wzory i obliczamy długość boku kwadratu, którą w równaniu oznaczymy literą $a$ .
$a^{2} = π r^{2}$
Podstawiamy liczby do otrzymanej równości.
$a^{2} = 81 π$
$a = 9 \sqrt{π}$
Mając długość boku kwadratu, obliczamy jego obwód.
$L_{□} = 4 a = 36 \sqrt{π}$

Ćwiczenie 13

R1G1QuaPvU8Cl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najpierw obliczymy promień pierwszego koła.
$π {(r_{1})}^{2} = 16 π | : π$
$r_{1} = 4$
Możemy teraz obliczyć obwód pierwszego koła.
$L_{1} = 2 π r_{1} = 8 π$
Następnie obliczymy promień drugiego koła.
$π {(r_{2})}^{2} = 169 π | : π$
$r_{2} = 13$
Możemy teraz obliczyć obwód drugiego koła.
$L_{2} = 2 π r_{2} = 26 π$
Obliczamy stosunek obwodów kół.
$\frac{L_{1}}{L_{2}} = \frac{8 π}{26 π} = \frac{4}{13}$

RbkntGGYp6oeL

Ćwiczenie 14

$R > r$
$R < r$
$\frac{r}{R} > 2$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 15

RKfKZH8RbsS0L

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli koło i kwadrat mają równe pola, to prawdziwa jest równość
$π r^{2} = a^{2}$ .
Z równości tej otrzymujemy
$a = r \sqrt{π}$ .
Długość obwodu koła wynosi
$L_{○} = 2 π r$ .
Obwód kwadratu wynosi
$L_{□} = 4 a = 4 r \sqrt{π}$ .
Możemy teraz obliczyć stosunek obwodu koła do obwodu kwadratu.
$\frac{L_{○}}{L_{□}} = \frac{2 π r}{4 r \sqrt{π}} \cdot \frac{\sqrt{π}}{\sqrt{π}} = \frac{\sqrt{π}}{2}$

R1EiCMGB0c2w2

Ćwiczenie 16

Jeśli dwa koła mają równe pola, to są przystające.
Jeśli dwa koła są współśrodkowe, to mają równe pola.
Pole koła wyraża się zawsze liczbą niewymierną.
Liczba wyrażająca pole koła może być równa liczbie wyrażającej obwód tego koła.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 17

ROTMgtvxTFev3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Oblicz pole zacieniowanej figury przedstawionej na rysunku.

R1e5kxYpQ04mz

Grafika przedstawia kwadrat o długości boku pięć. Z każdego rogu kwadratu wycięto ćwiartkę koła o promieniu długości dwa. Powstała wówczas nowa figura. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RhcjS7LMwN56h

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.