Symetria osiowa - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

Analizując przykłady zawarte w tym materiale: poznasz definicję symetrii osiowej, skonstruujesz figurę symetryczną do danej względem pewnej prostej, poznasz przykłady występowania symetrii w otaczającym nas świecie. Rozwiązując ćwiczenia – sprawdzisz ukształtowane umiejętności.

Symetria punktu względem prostej

Symetria osiowa

Definicja: Symetria osiowa

Punkt $A'$ jest symetryczny do punktu $A$ względem prostej $m$ ( $A'$ jest obrazem punktu $A$ w symetrii względem prostej $m$ ) jeżeli spełnione są jednocześnie następujące warunki:

punkty $A$ i $A'$ leżą na prostej prostopadłej do prostej $m$ ,
punkty $A$ i $A'$ leżą po przeciwnych stronach prostej $m$ ,
odległość punktu $A$ od prostej $m$ jest taka sama jak odległość punktu $A'$ od prostej $m$ .
RkKXRv5SfZWjO1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Jeżeli punkt $A$ leży na prostej $m$ to $A = A'$ .

RSEOqIysL3JuL1

Rysunek punktu A prim symetrycznego do punktu A względem prostej m. Punkty A i A prim pokrywają się i leżą na prostej m. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Symetrię względem prostej nazywamy symetrią osiową.

Przykład 1

Znajdziemy punkt $A'$ symetryczny do punktu $A$ względem prostej $m$ .

R1MGhKVGNkJdC1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Figury symetryczne względem prostej

Przykład 2

Każdy punkt figury $M_{1}$ jest obrazem odpowiedniego punktu należącego do figury $M$ w symetrii względem prostej $p$ . Figury $M$ i $M_{1}$ są symetryczne względem prostej $p$ .

R7OUONAKZdoGi1

Rysunek figur M i M z indeksem dolnym jeden symetrycznej do M względem prostej p. Do figury M z indeksem dolnym jeden należą punkty A z indeksem dolnym jeden, B z indeksem dolnym jeden, C z indeksem dolnym jeden, które są obrazem punktów A, B i C figury M w symetrii osiowej względem prostej p. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ważne!

W symetrii osiowej obrazem

punktu jest punkt
odcinka jest odcinek tej samej długości
wielokąta jest wielokąt o tym samym obwodzie i polu
okręgu jest okrąg o tym samym promieniu

Ćwiczenie 1

Obejrzyj film, a następnie na jego podstawie wykonaj polecenie poniżej.

R1VIBLjQS6ThB1

R1SuklX1psyox

Punkty $A$ i $A'$ znajdują się po tej samej stronie prostej $m .$
Odległość punkt $A'$ od prostej $m$ jest mniejsza niż odległość punktu $A$ od prostej $m .$
Punkty $A$ i $A'$ leżą w tej samej odległości od prostej $m .$
Odcinek $AA'$ jest prostopadły do prostej $m .$
Środek odcinka $AA'$ należy do prostej $m .$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 2

Obejrzyj film i odpowiedz na pytania w nim zawarte.

RZKQbhDM6EoMk1

RqGDd5gngrjUk

Punkty $AA'$ znajdują się po tej samej stronie prostej $m .$
Punkty $A$ i $A'$ znajdują się po przeciwnych stronach prostej $m .$
Punkt $A'$ leży dalej od prostej $m$ niż punkt $A .$
Punkty $A$ i $A'$ leżą w tej samej odległości od prostej $m .$
Odcinek $AA'$ jest prostopadły do prostej $m .$
Środek odcinka $AA'$ należy do prostej $m .$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Polecenie 1

Przesuń punkt $B$ , tak aby był on symetryczny do punktu $A$ względem prostej $m$ .

R12N0SDyBJr0f1

R18qvHkSijSke

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 3

RidFZi9LgrHf5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RkEzUhM3gMWiC1

Rysunek prostej m. Zaznaczone punkty C, D, E, I, F, G, H. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RSw5rLz3IMEks

$C$ i $G$ oraz $E$ i $F$
$E$ i $F$ oraz $D$ i $H$
$I$ i $F$ oraz $D$ i $H$
$E$ i $F$

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 4

Narysuj prostą $m$ i punkt $X$ nieleżący na tej prostej. Znajdź punkt symetryczny do punktu $X$ względem prostej $m$ .

R1ZIfxjnEvyrp

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję punku symetrycznego do punktu $X$ względem prostej $m$ , zakładając, że punkt $X$ nie należy do podanej prostej.

Wykreśl prostą prostopadłą do prostej $m$ i przechodzącą przez punkt $X$ .

Należy wykreślić prostą prostopadłą do prostej $m$ i przechodzącą przez punkt $X$ .

REuSvTw4e6Bmy

Opis konstrukcji:

1.Rysujemy dowolną prostą $m$ korzystając z linijki.

2.Zaznaczamy punkt $X$ leżący poza prostą $m$ .

3. Kreślimy prosta prostopadłą do prostej $m$ przechodzącą przez punkt $X$ .

4. Za pomocą cyrkla mierzymy odległość miedzy punktem $X$ , a prostą $m$ .

5. Odkładamy taką sama odległość od prostej $m$ do punktu $X^{'}$ .

Ćwiczenie 5

Jak myślisz – jaka figura będzie obrazem kwiatka w symetrii względem prostej?
Sprawdź swoje przypuszczenia, „obrysowując” punktem $P$ kontury kwiatka.

Rh561K1Aj0XtN1

R1N9jg25XJT6F2

Ćwiczenie 5

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 6

Jak myślisz – jaka figura jest obrazem wielokąta w symetrii osiowej?
Jaki jest stosunek obwodów tych figur? A ich pól?
Sprawdź swoje przypuszczenia.

RGeTorDiIVCBa1

Obrazem wielokąta w symetrii osiowej jest dokładnie taka sama figura. Obwód i pole tych figur również nie ulga zmianie. Ruch punktu $P$ odbywa się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, natomiast ruch punktu $P^{'}$ jest już zgodny z ruchem wskazówek zegara.

RH4S432YBJEn12

Ćwiczenie 6

Poniżej znajdują się zdania dotyczące obrazu wielokąta względem symetrii osiowej. Kliknij w lukę aby rozwinąć listę, a następnie wybierz prawidłową odpowiedź. Obraz prostokąta o wymiarach

3 cm \times 4 cm

względem prostej

k

ma obwód równy 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

, a jego pole jest równe 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

.
Obraz kwadratu o boku długości

5 cm

względem prostej

k

ma obwód równy 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

, a jego pole jest równe 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

.
Obraz trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych długości

6 cm

oraz

8 cm

i przeciwprostokątnej długość

10 cm

ma obwód równy 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

, a jego pole jest równe 1.

25 {cm}^{2}

, 2.

24 cm

, 3.

24 {cm}^{2}

, 4.

14 cm

, 5.

20 cm

, 6.

12 {cm}^{2}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 7

Na rysunku obrazem niebieskiego wielokąta jest wielokąt zielony. Zmieniając położenie punktu $B$ (czyli położenie prostej), zaobserwuj jak zmienia się obraz zielonego wielokąta.
Zmieniaj położenie wierzchołków niebieskiego wielokąta. Co zauważasz? Czy możesz tak zmienić położenie wierzchołków, aby figury pokryły się?

RGjkio693aeHk1

Położenie punktu $B$ można zmieniać tak, że niebieski wielokąt będzie miał z prostą punkty wspólne lub nie. Zauważ, że jeżeli prosta dzieli wielokąt to pewne fragmenty wielokąta i jego obrazu pokrywają się. Zastanów się, jaki kształt powinien mieć niebeski wielokąt oraz jak powinna być położona prosta, by pokrył się z zielonym wielokątem.

Niebieski wielokąt i jego zielony obraz są figurami symetrycznymi. Przesuwając niebieskie punkty można ułożyć prostokąt, wtedy niebieska figura pokryje się z zieloną jeśli prosta $A B$ będzie przechodziła przez środki równoległych boków.

R1U2AJTpzG1rq2

Ćwiczenie 7

Dany jest czworokąt

A B C D

oraz prosta

k

. Wiadomo, że czworokąt nie leży na podanej prostej. Odległość punktu

A

od prostej

k

wynosi

6 cm

, odległość punktu

B

od prostej

k

jest dwa razy większa, a odległość miedzy punktem

C

a prostą

k

jest o

4 cm

mniejsza od odległości miedzy punktem

D

a prostą

k

, która wynosi

9 cm

. Obrazem podanego czworokąta jest czworokąt

A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}

. Wynika stąd, że: Odległość punktu

A

od prostej

k

wynosi 1.

10

, 2.

12

, 3.

3

, 4.

5

, 5.

9

, 6.

6

, 7.

4

cm

Odległość punktu

B

od prostej

k

wynosi 1.

10

, 2.

12

, 3.

3

, 4.

5

, 5.

9

, 6.

6

, 7.

4

cm

Odległość punktu

C

od prostej

k

wynosi 1.

10

, 2.

12

, 3.

3

, 4.

5

, 5.

9

, 6.

6

, 7.

4

cm

Odległość punktu

D

od prostej

k

wynosi 1.

10

, 2.

12

, 3.

3

, 4.

5

, 5.

9

, 6.

6

, 7.

4

cm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ciekawostka

Symetria występuje również w przyrodzie. Jest to jednak najczęściej symetria nie względem prostej, ale płaszczyzny.

Ćwiczenie 8

Wskaż prostą, która będzie osią symetrii figury przedstawionej na zdjęciu.

R1UGNpL1cUxoK1
Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przyjrzyj się dokładnie rysunkom. Na rysunku $1$ mamy do czynienia z figurą z symetrycznymi zdobieniami, natomiast rysunki $2$ , $3$ , $4$ przedstawiają lustrzane odbicie pejzażu w tafli wody.

R1XFVv4Gj4FN92

Ćwiczenie 8

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

RVXW26IhN4Geh2

Ćwiczenie 9

RYIC0jNlA5RFu2

Ćwiczenie 9

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R11XNx2n6hJgY2

Ćwiczenie 10

RXz2Jsufqn73B2

Ćwiczenie 10

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 11

Rd2fPbtVSTKT1

R1N2btCd9QZ5N2

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 12

Jaka figura będzie obrazem w symetrii osiowej trójkąta równobocznego o boku długości $7 cm$ ?
A okręgu o promieniu $6 cm$ ? A odcinka o długości $9 cm$ ?

R1XypZM5fImJG

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 13

Bałwanki przedstawione na rysunku byłyby symetryczne względem prostej $p$ , gdyby nie $5$ szczegółów. Znajdź te szczegóły.

RJgQmJBoPQA8E1

Rysunek dwóch bałwanków. Między nimi poprowadzona prosta p. — Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1AHclhdYkJQD2

Ćwiczenie 13

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 14

Narysuj dowolny czworokąt. Znajdź jego obraz w symetrii względem prostej

Opisz konstrukcję obrazu w symetrii względem prostej dowolnego czworokąta.

nie mającej z nim punktów wspólnych
przechodzącej przez dokładnie jeden z jego wierzchołków
zawierającej jeden z jego boków
zawierającej jego przekątną
przecinającej dwa jego sąsiednie boki

Możesz za każdym razem wybierać inny czworokąt.

R1ZZzYiIyh2kl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

R1VuJ2elV5s282

Ćwiczenie 15

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 16

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości $3 cm$ i $4 cm$ przekształć przez symetrię względem:

prostej zawierającej krótszą przyprostokątną
prostej zawierającej przeciwprostokątną.

R1eq4CGAKKoFb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję obrazu trójkąta prostokątnego o wymiarach w symetrii względem:

prostej zawierającej krótszą przyprostokątną
prostej zawierającej przeciwprostokątną.

W obu przypadkach dwa wierzchołki trójkąta leżą na osi symetrii, należy znaleźć obraz trzeciego wierzchołka. Wykorzystaj konstrukcję z filmu z przykładu $1$ .

Przyjmujemy, że jeden bok kratki ma $1 cm$ .

R1VqsyD7fOtYD

Rysujemy trójkąt prostokątny o podanych wymiarach tak, że bok o długości $3 cm$ leży na prostej $m$ . Wynika, stąd że dwa wierzchołki leżące na prostej pokrywają się ze swoim obrazem. Wyznaczamy obraz trzeciego wierzchołka leżącego poza prostą $m$ .
Rysujemy trójkąt prostokątny o podanych wymiarach tak, że bok o długości $4 cm$ leży na prostej $m$ . Wynika, stąd że dwa wierzchołki leżące na prostej pokrywają się ze swoim obrazem. Wyznaczamy obraz trzeciego wierzchołka leżącego poza prostą $m$ .

Ćwiczenie 17

R74hM9nuI890s3

Trójkąt równoboczny

A B C

o boku długości

4 cm

przekształcono przez symetrię względem prostych zawierających jego boki. Powstałe trójkąty, wraz z trójkątem

A B C

utworzyły wielokąt. Odpowiedz na pytania, ile wynosi obwód tego wielokąta i ile razy zwiększyło się jego pole, wpisując wynik w puste pola. Odpowiedź: Obwód wielokąta wynosi Tu uzupełnij

cm

, a jego pole zwiększyło się Tu uzupełnij razy.

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ćwiczenie 18

Narysuj dwie przecinające się proste $k$ i $p$ . Znajdź obraz prostej $k$ w symetrii względem prostej $p$ .

RG80LxznWGpha

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Opisz konstrukcję obrazu prostej $k$ względem prostej $p$ , wiedząc, że obydwie proste się przecinają pod dowlonym kątem.

Na prostej $k$ obierz dwa punkty i znajdź ich obrazy w symetrii względem prostej $p$ . Przez otrzymane obrazy punktów poprowadź prostą.

R16MFaa8OtGb0

Za pomocą linijki wykreśl dwie proste $k$ i $p$ tak, aby przecinały się pod dowolnym kątem.
Jeżeli proste będą przecinać się pod kątem prostym to obraz prostej $k$ w symetrii względem prostej $p$ pokryje się całkowicie z prostą $k$ .
Jeżeli miara kąta między prostymi będzie inny niż $90 °$ , to obieramy na prostej $k$ dwa punkty i znajdujemy ich obrazy w symetrii względem prostej $p$ . Możemy użyć do tego cyrkla i ekierki.
Przez otrzymane obrazy punktów poprowadzimy prostą i oznaczamy ją $k^{'}$ .