Suma wyrazów ciągu geometrycznego - Zintegrowana Platforma Edukacyjna

W tym materiale poznasz podstawowe twierdzenie dotyczące sumy $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego. Zamieszczone tu przykłady pokazują sposoby rozwiązywania ćwiczeń związanych z tym pojęciem.

Twierdzenie o sumie

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Twierdzenie o sumie

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to suma $S_{n}$ jego $n$ początkowych wyrazów jest równa:

$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ dla $q \neq 1$ albo $S_{n} = n a_{1}$ dla $q = 1$ .

R1MUhCm2kdUxn1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przykład 1

Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = \frac{1}{2}$ oraz $q = 2$ .

Iloraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest różny od $1$ , więc suma $S_{10}$ jego dziesięciu początkowych wyrazów jest równa

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 2^{10}}{- 1} =

= \frac{1}{2} \cdot (2^{10} - 1) = \frac{1024 - 1}{2} = \frac{1023}{2} = 511 \frac{1}{2}

Przykład 2

Oblicz sumę wyrazów od ósmego do dwunastego ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 3$ oraz $q = - 2$ .

Suma, którą należy obliczyć, to $a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12}$ . Zrobimy to dwoma sposobami.

sposób $I$ :

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy $S_{12}$ oraz $S_{7}$ , odpowiednio dwunastu i siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

S_{12} = a_{1} \frac{1 - q^{12}}{1 - q} = 3 \cdot \frac{1 - {(- 2)}^{12}}{1 - (- 2)} = 3 \cdot \frac{1 - 2^{12}}{3} = 1 - 2^{12} = 1 - 4096 = - 4095

S_{7} = a_{1} \frac{1 - q^{7}}{1 - q} = 3 \cdot \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - (- 2)} = 3 \cdot \frac{1 + 2^{7}}{3} = 1 + 2^{7} = 1 + 128 = 129

Zatem

a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12} = S_{12} - S_{7} = - 4095 - 129 = - 4224

sposób $II$ :

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są $a_{8}$ , $a_{9}$ , ..., $a_{12}$ , to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest ósmy wyraz ciągu $(a_{n})$ i którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu $(a_{n})$ czyli $q = - 2$ . Zatem

a_{8} + a_{9} + \dots + a_{12} = a_{8} \cdot \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = a_{1} q^{7} \cdot \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 3 \cdot {(- 2)}^{7} \cdot \frac{1 — {(- 2)}^{5}}{1 - (- 2)} =

= - 3 \cdot 128 \cdot \frac{1 + 2^{5}}{3} = - 128 \cdot 33 = - 4224

Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 27$ oraz $a_{4} = 1$ . Ile początkowych wyrazów tego ciągu trzeba dodać, żeby otrzymać $40 \frac{1}{3}$ ?

Na początek obliczmy iloraz tego ciągu. Ponieważ $a_{4} = a_{1} q^{3}$ , więc $q^{3} = \frac{a_{4}}{a_{1}} = \frac{1}{27}$ . Stąd $q = \frac{1}{3}$ . Pozostaje obliczyć $n$ , dla którego $S_{n} = 40 \frac{1}{3}$ . Ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego otrzymujemy

27 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{1 - \frac{1}{3}} = 40 \frac{1}{3}

Równanie to przekształcamy równoważnie

27 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{3})}^{n}}{\frac{2}{3}} = \frac{121}{3}

{1 - (\frac{1}{3})}^{n} = \frac{121}{3 \cdot 27} \cdot \frac{2}{3}

{(\frac{1}{3})}^{n} = 1 - \frac{242}{243}

{(\frac{1}{3})}^{n} = \frac{1}{243}

{(\frac{1}{3})}^{n} = {(\frac{1}{3})}^{5}

Stąd $n = 5$ . Zatem należy dodać pięć początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ .

Przykład 4

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu $(a_{n})$ jest określona wzorem $S_{n} = 3^{n + 1} - 3$ dla każdej liczby całkowitej $n \geq 1$ .

Oblicz czwarty wyraz ciągu $(a_{n})$ .
Udowodnij, że ciąg $(a_{n})$ jest geometryczny oraz oblicz iloraz tego ciągu.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że czwarty wyraz ciągu jest równy $S_{4} - S_{3}$ , czyli
$a_{4} = (3^{5} - 3) - (3^{4} - 3) = 3^{5} - 3^{4} = 3^{4} (3 - 1) = 81 \cdot 2 = 162$ .
Wyznaczmy wzór na $n$ –ty wyraz ciągu $(a_{n})$ . Postępujemy podobnie jak w punkcie 1. Dla każdej liczby całkowitej $n > 1$ otrzymujemy
$a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (3^{n + 1} - 3) - (3^{n} - 3) = 3^{n + 1} - 3^{n} = 3^{n} (3 - 1) =$
$= 2 \cdot 3^{n} = 6 \cdot 3^{n - 1}$ .

To oznacza, że $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = 6$ , a iloraz $q = 3$ .

Przykład 5

Stosunek sumy ośmiu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy jego czterech początkowych wyrazów jest równy $82$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

Trzeba zauważyć najpierw, że $q \neq 1$ . Gdyby $q = 1$ , to $S_{8} = 8 a_{1}$ , $S_{4} = 4 a_{1}$ , więc $\frac{S_{8}}{S_{4}} = \frac{8 a_{1}}{4 a_{1}} = 2 \neq 82$ . Wobec tego ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczamy sumę ośmiu i sumę czterech jego początkowych wyrazów

S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}

S_{4} = a_{1} \frac{1 - q^{4}}{1 - q}

Ich stosunek jest równy $82$ , zatem

82 = \frac{a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}}{a_{1} \frac{1 - q^{4}}{1 - q}} = \frac{1 - q^{8}}{1 - q^{4}} = \frac{(1 - q^{4}) (1 + q^{4})}{1 - q^{4}} = 1 + q^{4}

Stąd $q^{4} = 81$ , czyli $q = 3$ lub $q = - 3$ .

Ćwiczenie 1

R1SSBmCSn0rQa

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy $a_{1} = 512 \cdot {(\frac{3}{2})}^{1} = 768$ , a iloraz jest równy $q = \frac{3}{2}$ . Możemy teraz obliczyć sumę ośmiu początkowych wyrazów tego ciągu

S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q} = 768 \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}} = 768 \cdot 2 \cdot ({(\frac{3}{2})}^{8} - 1) = 1536 \cdot (\frac{6561}{256} - 1) =

= 1536 \cdot \frac{6305}{256} = 37830

Ćwiczenie 2

R5OXPktjIoBPQ

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ $a_{6} = a_{3} q^{3}$ , więc $32 = - 4 q^{3}$ , stąd $q^{3} = - 8$ , czyli $q = - 2$ . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy $(- 4)$ , więc $a_{3} = a_{1} q^{2}$ , stąd $- 4 = a_{1} {(- 2)}^{2}$ . Zatem $a_{1} = - 1$ .

Możemy teraz obliczyć sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = - 1 \cdot \frac{1 - {(- 2)}^{10}}{1 + 2} = 341

Ćwiczenie 3

R11EsR3W2dP3P

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy najpierw, że jeżeli $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q$ , to wyrazy tego ciągu o numerach parzystych także tworzą ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest $a_{2}$ oraz którego iloraz jest równy $q^{2}$ , gdyż $a_{2 n} = a_{1} q^{2 n - 1} = a_{1} q \cdot q^{2 n - 2} = a_{2} {(q^{2})}^{n - 1}$ .

Zatem mamy obliczyć sumę sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(b_{n})$ , w którym $b_{1} = a_{2} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ oraz iloraz $q_{b} = q^{2} = {(\frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}$ . Suma ta jest więc równa

S_{6} = b_{1} \frac{1 - q_{b}^{6}}{1 - q_{b}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot (1 - \frac{1}{4096}) = \frac{4095}{2048}

Ćwiczenie 4

RoOBmShA0jDo3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Długości odcinków łamanej są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, w którym $a_{1} = 640$ oraz $q = \frac{1}{2}$ .

Długość łamanej jest więc sumą $n$ początkowych wyrazów tego ciągu. Ponieważ $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , więc otrzymujemy równanie $1270 = 640 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}}$ , stąd $\frac{1270}{640} \cdot \frac{1}{2} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ , czyli $\frac{127}{128} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}$ .

Stąd ${(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{128} = {(\frac{1}{2})}^{7}$ .

Zatem $n = 7$ , czyli łamana składa się z siedmiu odcinków.

Ćwiczenie 5

RT1xr35cm2fnf

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma $7$ pierwszych wyrazów ciągu jest równa $S_{7} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = \frac{81}{8} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{7}}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{81}{8} \cdot \frac{1 - \frac{128}{2187}}{\frac{1}{3}} = \frac{243}{8} \cdot \frac{2059}{2187} = \frac{2059}{72}$ .

Ćwiczenie 6

R17znFulRPtIh

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcając wzór na sumę pierwszych ośmiu wyrazów ciągu $S_{8} = a_{1} \frac{1 - q^{8}}{1 - q}$ , otrzymujemy $30 + 30 \sqrt{2} = a_{1} \frac{1 - {(\sqrt{2})}^{8}}{1 - \sqrt{2}}$ , stąd $a_{1} = \frac{30 (1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})}{1 - 2^{4}} = \frac{30 (1 - 2)}{1 - 16} = \frac{30}{15} = 2$ .

Ćwiczenie 7

R1HcQ4Z1regM2

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego

a_{n}

jest równy

(- 8)

, iloraz tego ciągu jest równy

\frac{1}{2}

oraz suma pierwszych

n

wyrazów jest równa

(- 15 \frac{3}{4})

. Wyznacz

n

-ty wyraz tego ciągu geometrycznego. Uzupełnij zdanie, przeciągając w lukę odpowiedni wyraz lub kliknij w lukę i wybierz odpowiedź z listy rozwijalnej. Odpowiedź: Szukanym wyrazem jest 1.

(a_{5}) = \frac{1}{4}

, 2.

(a_{6}) = - \frac{1}{4}

, 3.

(a_{7}) = - \frac{1}{4}

, 4.

(a_{7}) = - \frac{1}{3}

, 5.

(a_{5}) = \frac{3}{4}

, 6.

(a_{6}) = - \frac{1}{3}

, 7.

(a_{6}) = \frac{1}{4}

, 8.

(a_{5}) = - \frac{2}{3}

, 9.

(a_{7}) = \frac{1}{4}

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcając wzór na sumę pierwszych $n$ wyrazów $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , otrzymujemy $- 15 \frac{3}{4} = - 8 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{n}}{1 - \frac{1}{2}}$ , skąd kolejno

\frac{63}{4} = 16 \cdot (1 - {(\frac{1}{2})}^{n})

\frac{63}{64} = 1 - {(\frac{1}{2})}^{n}

{(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{1}{64} = {(\frac{1}{2})}^{6}

i ostatecznie $n = 6$ .
Szósty wyraz rozważanego ciągu obliczamy ze wzoru

a_{6} = a_{1} q^{5} = - 8 {\cdot (\frac{1}{2})}^{5} = - \frac{1}{4}

Ćwiczenie 8

RLEKEaeJK202N

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Przekształcając wzór ogólny ciągu, otrzymujemy $a_{n} = {(- 2)}^{n + 1} = {(- 2)}^{2} \cdot {(- 2)}^{n - 1} = 4 \cdot {(- 2)}^{n - 1}$ , stąd możemy odczytać pierwszy wyraz tego ciągu $a_{1} = 4$ oraz iloraz $q = - 2$ .

Sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu obliczamy ze wzoru $S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , czyli $- 340 = 4 \cdot \frac{1 - {(- 2)}^{n}}{1 - (- 2)}$ , stąd kolejno

- 340 = \frac{4}{3} (1 - {(- 2)}^{n})

- 255 = 1 - {(- 2)}^{n}

{(- 2)}^{n} = 256 = {(- 2)}^{8}

Ostatecznie $n = 8$ . Po zsumowaniu pierwszych ośmiu wyrazów tego ciągu otrzymamy $(- 340)$ .

Ćwiczenie 9

RHCEOiMJi1OP3

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Ponieważ ciąg jest geometryczny, więc ma postać

(a_{1}, a_{1} q, a_{1} q^{2}, a_{1} q^{3}, a_{1} q^{4}, a_{1} q^{5})

Wiemy, że suma wyrazów stojących na pozycjach nieparzystych wynosi

a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4} = 63

oraz suma wyrazów stojących na pozycjach parzystych wynosi

a_{1} q + a_{1} q^{3} + a_{1} q^{5} = 126

Drugie równanie przekształcamy do postaci $q (a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4}) = 126$ i wstawiając do niego wartość z pierwszego równania, otrzymujemy $q \cdot 63 = 126$ , stąd $q = 2$ .

Wstawiając wyliczony iloraz do równania $a_{1} + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{4} = 63$ , mamy

a_{1} + {4 a}_{1} + {16 a}_{1} = 63

czyli $21 a_{1} = 63$ i ostatecznie $a_{1} = 3$ .

Obliczamy szósty wyraz tego ciągu $a_{6} = a_{1} q^{5} = 3 \cdot 2^{5} = 96$ .

Ćwiczenie 10

RuTwWG0miLOTl

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Suma, którą należy obliczyć, to $a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10}$ . Obliczymy ją dwoma sposobami.

sposób $I$ :

Zauważmy, że wystarczy obliczyć sumy $S_{10}$ oraz $S_{5}$ odpowiednio dziesięciu i pięciu początkowych wyrazów tego ciągu, a następnie od pierwszej z obliczonych sum odjąć drugą.

$S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 5 \cdot \frac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = 5 \cdot \frac{2^{10} - 1}{1} = 5 (1024 - 1) = 5115$ ,

$S_{5} = a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 5 \cdot \frac{1 - 2^{5}}{1 - 2} = 5 \cdot \frac{2^{5} - 1}{1} = 5 (32 - 1) = 155$ .

Zatem

a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = S_{10} - S_{5} = 5115 - 155 = 4960

sposób $II$ :

Zauważmy, że ciąg, którego kolejnymi wyrazami są $a_{6}$ , $a_{7}$ , $a_{8}$ , $a_{9}$ , $a_{10}$ , to pięciowyrazowy ciąg geometryczny, którego pierwszym wyrazem jest szósty wyraz ciągu $(a_{n})$ oraz którego iloraz jest taki sam, jak iloraz ciągu $(a_{n})$ , czyli $q = 2$ .

Zatem

a_{6} + a_{7} + a_{8} + a_{9} + a_{10} = a_{6} \cdot \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = a_{1} q^{5} \cdot \frac{1 - q^{5}}{1 - q} = 5 \cdot 2^{5} \cdot \frac{1 — 2^{5}}{1 - 2} =

= 5 \cdot 32 \cdot 31 = 4960

Ćwiczenie 11

R1wALDZke7oTs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważmy, że sumę trzech pierwszych wyrazów możemy obliczyć jako sumę sumy dwóch pierwszych wyrazów i wyrazu trzeciego

S_{3} = S_{2} + a_{3} = S_{2} + a_{1} q^{2} = 21 + a_{1} q^{2}

stąd $129 = 21 + a_{1} q^{2}$ , czyli $a_{1} q^{2} = 108$ .

Sumę dwóch pierwszych wyrazów obliczamy jako

S_{2} = a_{1} + a_{1} q = a_{1} (1 + q)

czyli $a_{1} (1 + q) = 21$ . Zauważmy, że $a_{1} \neq 0$ oraz $1 + q \neq 0$ . Gdyby tak nie było, to ostatnie równanie byłoby sprzeczne (po lewej stronie byłoby $0$ , a po prawej stronie $21$ ).

Dzieląc równanie $a_{1} q^{2} = 108$ stronami przez równanie $a_{1} (1 + q) = 21$ , otrzymujemy $\frac{a_{1} q^{2}}{a_{1} (1 + q)} = \frac{108}{21}$ , czyli $\frac{q^{2}}{1 + q} = \frac{36}{7}$ .

Korzystając z własności proporcji, otrzymujemy równanie kwadratowe $7 q^{2} = 36 + 36 q$ , które przekształcamy do postaci $7 q^{2} - 36 q - 36 = 0$ .

Równanie to ma dwa rozwiązania $q = - \frac{6}{7}$ lub $q = 6$ .

Otrzymujemy więc dwa ciągi, pierwszy o ilorazie $q = - \frac{6}{7}$ i pierwszym wyrazie $a_{1} = \frac{108}{q^{2}} = \frac{108}{{(\frac{6}{7})}^{2}} = \frac{108 \cdot 49}{36} = 147$ oraz drugi o ilorazie $q = 6$ i pierwszym wyrazie $a_{1} = \frac{108}{q^{2}} = \frac{108}{36} = 3$ .

Piąty wyraz jest równy w pierwszym ciągu

a_{5} = a_{1} q^{4} = 147 \cdot {(- \frac{6}{7})}^{4} = \frac{3 \cdot 1296}{49} = \frac{3888}{49}

w drugim ciągu

a_{5} = a_{1} q^{4} = 3 \cdot 6^{4} = 3888

Ćwiczenie 12

R1ZfiuaC1iP8I

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Sześć pierwszych nieparzystych wyrazów ciągu geometrycznego tworzy następujący ciąg:

(a_{1}, a_{3}, a_{5}, a_{7}, a_{9}, a_{11}) = (a_{1}, a_{1} q^{2}, a_{1} q^{4}, a_{1} q^{6}, a_{1} q^{8}, a_{1} q^{10})

Zauważmy, że jest to też ciąg geometryczny $(b_{n})$ , o pierwszym wyrazie $b_{1} = a_{1} = 7$ oraz ilorazie równym

{Q = q}^{2} = {(- \frac{1}{2})}^{2} = \frac{1}{4}

Obliczmy sumę tego ciągu

S_{6} = b_{1} + b_{2} + \dots + b_{6} = b_{1} \frac{1 - Q^{6}}{1 - Q} = 7 \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{6}}{1 - \frac{1}{4}} = 7 \cdot \frac{1 - \frac{1}{4096}}{\frac{3}{4}} =

= 7 \cdot \frac{4095}{4096} \cdot \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot 1365}{1024} = \frac{9555}{1024}

Ćwiczenie 13

W pewnym ciągu suma $n$ początkowych wyrazów wyraża się wzorem $S_{n} = 4^{n + 1} - 4$ . Wykaż, że jest to ciąg geometryczny.

R1cv8MXnVYDJ1

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Najpierw wyznacz wzór na $n$ -ty wyraz ciągu, a następnie zwróć uwagę, jaką ma on postać.

Wyznaczmy wzór na $n$ –ty wyraz ciągu $(a_{n})$ . Zauważmy, że $n$ –ty wyraz ciągu, dla każdej liczby całkowitej $n > 1$ , jest równy

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1} = (4^{n + 1} - 4) - (4^{n} - 4) = 4^{n + 1} - 4^{n} = 4^{n} (4 - 1) =

= 3 \cdot 4^{n} = 12 \cdot 4^{n - 1}

To oznacza, że $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym, w którym pierwszy wyraz $a_{1} = 12$ , a iloraz $q = 4$ .

Ćwiczenie 14

Stosunek sumy dziesięciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do sumy pierwszych pięciu wyrazów ciągu geometrycznego jest równy $33$ . Oblicz iloraz tego ciągu.

RCmunfZqKsijm

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Korzystając ze wzoru na sumę $n$ pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego, wyznacz sumy $S_{10}$ i $S_{5}$ , a następnie wykorzystaj podaną zależność.

Ze wzoru na sumę pierwszych $n$ wyrazów ciągu geometrycznego liczymy opisane sumy

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q}

S_{5} = a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q}

Ich stosunek jest równy

33 = \frac{a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q}}{a_{1} \frac{1 - q^{5}}{1 - q}} = \frac{1 - q^{10}}{1 - q^{5}} = \frac{(1 - q^{5}) (1 + q^{5})}{1 - q^{5}} = 1 + q^{5}

stąd $q^{5} = 32$ , czyli $q = 2$ .

Ćwiczenie 15

Wykaż, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej $n$ zachodzi równość
$(5 - 3) + (5^{2} - 3^{2}) + (5^{3} - 3^{3}) + \dots + (5^{n} - 3^{n}) = \frac{5^{n + 1} - 2 \cdot 3^{n + 1} + 1}{4}$ .

RljXcoVdi8Jal

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zapisując podaną sumę w następujący sposób

(5 - 3) + (5^{2} - 3^{2}) + (5^{3} - 3^{3}) + \dots + (5^{n} - 3^{n}) =

= (5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{n}) - (3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n})

otrzymujemy różnicę sum pierwszych $n$ wyrazów dwóch ciągów geometrycznych.

W pierwszym ciągu $a_{1} = 5$ oraz $q = 5$ , czyli suma $n$ wyrazów tego ciągu wynosi $5 + 5^{2} + 5^{3} + \dots + 5^{n} = 5 \cdot \frac{1 - 5^{n}}{1 - 5}$ .

W drugim ciągu $a_{1} = 3$ oraz $q = 3$ , czyli suma $n$ wyrazów tego ciągu wynosi $3 + 3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n} = 3 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3}$ .

Szukana różnica jest więc równa:

5 \cdot \frac{1 - 5^{n}}{1 - 5} - 3 \cdot \frac{1 - 3^{n}}{1 - 3} = \frac{5 - 5^{n + 1}}{- 4} - \frac{3 - 3^{n + 1}}{- 2} =

= \frac{5^{n + 1} - 5}{4} + \frac{6 - 2 \cdot 3^{n + 1}}{4} = \frac{5^{n + 1} - 2 \cdot 3^{n + 1} + 1}{4}

Ćwiczenie 16

Uzasadnij, że suma wszystkich potęg liczby $3$ o wykładnikach naturalnych mniejszych od $10$ jest równa $\frac{3^{10} - 1}{2}$ .

RfNKpwCgt5Jqg

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Chcemy obliczyć sumę $3^{0} + 3^{1} + 3^{2} + \dots + 3^{9}$ . Zauważmy, że jest to suma dziesięciowyrazowego ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy $a_{1} = 1$ oraz $q = 3$ . Sumę tego ciągu obliczamy ze wzoru

S_{10} = a_{1} \frac{1 - q^{10}}{1 - q} = 1 \cdot \frac{1 - 3^{10}}{1 - 3} = \frac{3^{10} - 1}{2}

Ćwiczenie 17

Wiedząc, że w pewnym ciągu geometrycznym pierwszy wyraz jest równy $a_{1}$ , ostatni wyraz jest równy $a_{n}$ oraz suma wszystkich $n$ wyrazów jest równa $S_{n}$ , wyznacz sumę odwrotności wyrazów tego ciągu.

RXelhVPU1UoBT

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

$S_{n} = a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + \dots + a_{1} q^{n - 1}$ . Suma odwrotności wyrazów tego ciągu jest równa

\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n}} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{1} q} + \frac{1}{a_{1} q^{2}} + \dots + \frac{1}{a_{1} q^{n - 1}}

Wspólnym mianownikiem wszystkich ułamków jest $a_{1} q^{n - 1}$ i suma ma postać

\frac{q^{n - 1} + q^{n - 2} + \dots + q + 1}{a_{1} q^{n - 1}} = \frac{q^{n - 1} + q^{n - 2} + \dots + q + 1}{a_{n}}

Mnożąc licznik i mianownik przez $a_{1}$ , otrzymujemy $\frac{S_{n}}{a_{1} \cdot a_{n}}$ .

Ćwiczenie 18

Wykaż, że różnica liczb $\underset{2 n}{\underset{⏟}{11 . . . 1}} - \underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}}$ , gdzie w zapisie odjemnej występuje $2 n$ jedynek, a w zapisie odjemnika $n$ dwójek, jest kwadratem liczby naturalnej.

R9Jb8E0wlh5Eb

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Liczbę, w zapisie której występuje $2 n$ jedynek, możemy zapisać jako sumę $10^{2 n - 1} + 10^{2 n - 2} + \dots + 10^{2} + 10 + 1$ .

Jest to suma ciągu geometrycznego składającego się z $2 n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz $a_{1} = 1$ oraz iloraz $q = 10$ .

Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymujemy

\frac{1 - q^{2 n}}{1 - q} = \frac{1 - 10^{2 n}}{1 - 10} = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 1)

Drugą z liczb, w zapisie której występuje $n$ dwójek, możemy zapisać jako sumę $2 \cdot 10^{n} + 2 \cdot 10^{n - 1} + \dots + 2 \cdot 10 + 2$ .

Jest to suma ciągu geometrycznego, składającego się z $n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz o $a_{1} = 2$ oraz iloraz $q = 10$ .

Zapisując sumę takiego ciągu, otrzymujemy

a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1)

\underset{2 n}{\underset{⏟}{11 . . . 1}} - \underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}} = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 1) - \frac{2}{9} (10^{n} - 1) = \frac{1}{9} (10^{2 n} - 2 \cdot 10^{n} + 1) =

= \frac{{(10^{n} - 1)}^{2}}{3^{2}} = {(\frac{10^{n} - 1}{3})}^{2}

Liczba $\frac{10^{n} - 1}{3}$ jest naturalna, ponieważ $10^{n} - 1 = \underset{n - 1}{\underset{⏟}{99 . . . 9}}$ , czyli dzieli się przez $3$ .

Ćwiczenie 19

Oblicz sumę $2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 . . . 22}}$ , gdzie w zapisie ostatniego składnika występuje $n$ dwójek.

RyCHoEzI7tUrs

Źródło: Zespół autorski Politechniki Łódzkiej, licencja: CC BY 3.0.

Zauważ, że każdy składnik przedstawionej sumy jest sumą coraz większej liczby wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazie początkowym $a_{1} = 2$ i ilorazie $q = 10$ .

Zauważmy, że kolejne składniki występujące w sumie możemy zapisać następująco

22 = 2 \cdot 10 + 2

222 = 2 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 2

2222 = 2 \cdot 10^{3} + 2 \cdot 10^{2} + 2 \cdot 10 + 2

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

\underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}} = 2 \cdot 10^{n - 1} + 2 \cdot 10^{n - 2} + \dots + 2 \cdot 10 + 2

Możemy zauważyć też, że każda z powyższych liczb jest sumą innej liczby wyrazów (kolejno $2$ , $3$ , $4$ , ..., $n$ ) ciągu geometrycznego, w którym pierwszy wyraz jest równy $2$ i iloraz jest równy $q = 10$ . Sumę takiego ciągu obliczamy ze wzoru

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 2 \cdot \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1)

czyli rozważane liczby są równe kolejno

22 = \frac{2}{9} (10^{2} - 1)

222 = \frac{2}{9} (10^{3} - 1)

2222 = \frac{2}{9} (10^{4} - 1)

i tak dalej aż do ostatniego wyrazu

\underset{n}{\underset{⏟}{22 . . . 2}} = \frac{2}{9} (10^{n} - 1)

Zauważmy jeszcze, że

2 = \frac{2}{9} (10 - 1)

Obliczmy teraz szukaną sumę

2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 . . . 22}} = \frac{2}{9} (10 - 1) + \frac{2}{9} (10^{2} - 1) + \frac{2}{9} (10^{3} - 1) +

\frac{2}{9} (10^{4} - 1) + \dots + \frac{2}{9} (10^{n} - 1) = \frac{2}{9} (10 + 10^{2} + 10^{3} + 10^{4} + \dots + 10^{n}) - \frac{2}{9} n

Zapisana w nawiasie suma kolejnych potęg liczby $10$ jest ciągiem geometrycznym, składającym się z $n$ wyrazów, w którym pierwszy wyraz jest równy $10$ i iloraz jest równy $10$ . Korzystając ze wzoru na sumę takiego ciągu, otrzymujemy

S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q} = 10 \cdot \frac{1 - 10^{n}}{1 - 10} = \frac{10}{9} (10^{n} - 1)

Stąd

2 + 22 + 222 + \dots + \underset{n}{\underset{⏟}{2 . . . 22}} = \frac{2}{9} \cdot \frac{10}{9} (10^{n} - 1) - \frac{2}{9} n = \frac{2}{9} (\frac{10^{n + 1} - 10}{9} - n)